Espressioni con i radicali – Esercizio 9

Radicali: Operazioni

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\bigstar)
Semplificare la seguente espressione

    \[\left(\sqrt{2\sqrt{3}} \right)^2 + \left(2+\sqrt{3}\right)^2 + \left(1+2\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\right)(2\sqrt{2}-\sqrt{5}) - 2\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3}\right) - \left(\sqrt{2}-\sqrt{3} - 1\right)^2\]

 

Soluzione

Due radicali si dicono simili quando hanno stesso indice e radicando ma differente coefficiente. Le operazioni di somma e sottrazione si possono fare fra radicali simili. L’espressione diventa

    \[\begin{aligned} & \left(\sqrt{2\sqrt{3}} \right)^2 + \left(2+\sqrt{3}\right)^2 + \left(1+2\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\right)(2\sqrt{2}-\sqrt{5}) - 2\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3}\right) - \left(\sqrt{2}-\sqrt{3} - 1\right)^2 = \\\\ & = \left(\sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} \right)^2 \underbrace{+ 4 + 3 +4\sqrt{3}}_{\text{\footnotesize{quadrato del binomio $2+\sqrt{3}$}}} \overbrace{+1 + 4\cdot 3 + 2 \cdot 2\sqrt{3}}^{\text{\footnotesize{quadrato del binomio $1+2\sqrt{3}$}}} + \overbrace{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}^{\text{\footnotesize{differenza di quadrati}}}- 2\sqrt{2} -2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} +\\ & \quad - \underbrace{\left(2+3+1-2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)}_{\text{\footnotesize{quadrato di trinomio}}} = \\\\ & = \left(\sqrt[4]{2^2\cdot 3}\right)^2 + 7 + 4\sqrt{3} + 13 + 4\sqrt{3} + 4\cdot 2 - 5 -2\sqrt{2}-2\sqrt{2 \cdot 3} - (6 -2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2} ) = \\\\ & = \sqrt{2^2\cdot 3} + 7 + 4\sqrt{3} + 13 + 4\sqrt{3} + 8 - 5 -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} - 6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = \\\\ & = \cancel{2\sqrt{3}} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cancel{-2\sqrt{2}} \cancel{-2\sqrt{6}} + \cancel{2\sqrt{6}} \cancel{- 2\sqrt{3}} + \cancel{2\sqrt{2}} + 17= \\\\ & = 8\sqrt{3} + 17 \end{aligned}\]


Fonte: Matematica.verde 2 – Zanichelli