Equazione con i radicali – Esercizio 4

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Esercizio. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$
Risolvere la seguente equazione

$5 + \dfrac{x}{\sqrt{5}} = \dfrac{x}{5} - \dfrac{3}{2\sqrt{5}}$

Soluzione.
Facciamo il minimo comune multiplo. Il m.c.m. è $10 = 2 \cdot 5$ dunque

$\dfrac{5 \cdot 10 + 2\sqrt{5}x}{10} = \dfrac{2x - 3\sqrt{5}}{10} \quad \Rightarrow \quad 50 + 2\sqrt{5}x = 2x - 3\sqrt{5}\quad \Rightarrow \quad 2(\sqrt{5} - 1)x = -50 - 3\sqrt{5}$

da cui

$x = \dfrac{-50 - 3\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$

Razionalizziamo

$\begin{aligned} x & = \dfrac{-50 - 3\sqrt{5}}{2(\sqrt{5} - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{(-50 - 3\sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{2(5 - 1)} = \dfrac{-50\sqrt{5}-15 - 50 - 3\sqrt{5}}{8} = \\\\ & = \dfrac{-53\sqrt{5} - 65}{8} \end{aligned}$