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La divisione tra frazioni

Insiemi numerici Q e R

Home » La divisione tra frazioni

Benvenuti nella nostra guida sulla divisione tra frazioni!
In questo articolo studiamo questo concetto fondamentale dell’aritmetica e dell’algebra. Vedremo che la divisione, come ci si può aspettare, coincide con una moltiplicazione per una frazione “capovolta”, ne spiegheremo le motivazioni e le applicazioni, mediante esempi pratici che illustrano il tutto.
Cosa aspetti? Leggi questo breve e chiaro articolo e fai pratica con questa importante nozione!

Segnaliamo anche gli articoli della cartella Insiemi numerici Q e R, in particolare il primo esercizio della serie di espressioni con le frazioni, dove puoi applicare le nozioni presentate qui: Espressioni con i numeri razionali – Esercizio 1.

Buona lettura!

 
 

Sommario

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In questo articolo presentiamo il concetto di divisione tra frazioni, spiegandone il significato intuitivo e mostrando il metodo per svolgere tali calcoli. Il tutto viene illustrato con esempi ed esercizi svolti.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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Le frazioni rappresentano numeri razionali e pertanto con essi è possibile effettuare le operazioni di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In questo articolo ci focalizziamo su quest’ultima, rispondendo alle seguenti domande.

\[\quad\]

  • Che significato ha la divisione tra frazioni?
  • Come si calcola il risultato di una tale divisione?
  • Come si applicano questi concetti a problemi pratici?

 
 

Il significato della divisione tra frazioni

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La divisione è un’operazione matematica che si svolge tra due numeri: il primo, detto dividendo, viene appunto diviso per il secondo, che invece è detto divisore, e deve essere diverso da 0. Il significato della divisione è quello suggerito dal nome stesso dell’operazione: suddividere il dividendo in un numero di parti uguali date dal divisore. L’ammontare di ciascuna parte uguale è detta quoziente ed è il risultato della divisione:

\[\text{dividendo} \div \text{divisore} = \text{quoziente}.\]

Esempio 1.1. Effettuiamo la divisione tra 15 (dividendo) e 3 (divisore). Secondo la descrizione precedente, bisogna suddividere 15 in 3 parti uguali. Ciascuna parte sarà costituita da 5 unità, che è quindi il quoziente tra 15 e 3:

\[15 \div 3 = 5.\]

Ciò è corretto in quanto 3 parti ciascuna di 5 unità formano 15 unità totali:

\[5 \cdot 3 = 15.\]

Ci si può quindi assicurare che il risultato sia corretto effettuando la verifica

(1) \begin{equation*} \text{quoziente} \cdot \text{divisore} = \text{dividendo}. \end{equation*}

In tale senso, la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.

Sebbene l’idea di dividere il dividendo in tante parti uguali quante il divisore sia perfettamente sensata quando il divisore è un numero naturale, questa spiegazione sembra non essere adeguata quando il divisore è una frazione: cosa vuol dire suddividere una quantità in \frac{2}{3} parti uguali?

Per questo motivo, per definire la divisione tra frazioni, facciamo riferimento al significato dato da (1): il quoziente di una divisione è quel numero che, moltiplicato per il divisore, fornisce il dividendo.

Definizione 1.2. Date due frazioni \frac{a}{b} e \frac{c}{d}, con b,c,d \neq 0, la divisione \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} è quella frazione \frac{p}{q} tale che

\[\frac{p}{q} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\]

\[\quad\]

La divisione tra frazioni può anche essere a sua volta indicata come frazione, ovvero

\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}.\]

Esempio 1.3. Consideriamo le frazioni \frac{4}{5} e \frac{2}{3}. Secondo la definizione 1.2, la divisione \frac{4}{5} \div \frac{2}{3} è quella frazione \frac{p}{q} che soddisfa l’uguaglianza

\[\frac{p}{q}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5}.\]

Osserviamo che \frac{p}{q}= \frac{6}{5} rende vera questa uguaglianza, infatti

\[\frac{\cancelto{2}{6}}{5} \cdot \frac{2}{\cancel{3}} = \frac{4}{5}\]

e quindi deve essere il quoziente cercato. Ne concludiamo

\[\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{6}{5}.\]


 
 

Come calcolare la divisione tra frazioni?

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Nell’esempio precedente il quoziente \frac{6}{5} sembra essere stato “indovinato”. Con quale procedimento si può arrivare a questo risultato?

Ragioniamo di nuovo sulla divisione dell’esempio 1.3 e cerchiamo di capire come operare. Sappiamo che il quoziente moltiplicato per il divisore deve dare il dividendo, quindi cerchiamo una frazione \frac{p}{q} che soddisfi

\[ \frac{p}{q}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5}. \]

Come calcolare \frac{p}{q}? Osserviamo che, se questa uguaglianza è vera, deve rimanerlo se moltiplichiamo e dividiamo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da 0. Dato che il nostro scopo è ottenere \frac{p}{q}, vogliamo sbarazzarci del fattore \frac{2}{3} e quindi per farlo possiamo moltiplicare a sinistra e a destra per \frac{3}{2}, così da semplificare questo fattore indesiderato:

\[ \frac{p}{q}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \iff \frac{p}{q}\cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} = \frac{\cancelto{2}{4}}{5} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} \iff \frac{p}{q} = \frac{6}{5}. \]

In questo modo abbiamo ottenuto \frac{p}{q}, che è proprio uguale al dividendo \frac{4}{5} moltiplicato per l’inverso del divisore, ossia \frac{3}{2}.

Questo procedimento è generale. Infatti, voledo svolgere la divisione \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}, cerchiamo una frazione \frac{p}{q} che soddisfi

\[ \frac{p}{q} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}. \]

Volendo isolare \frac{p}{q}, basta moltiplicare entrambe le quantità in questa uguaglianza per l’inversa \frac{d}{c} della frazione \frac{c}{d}, così da semplificare questo fattore indesiderato:

\[ \frac{p}{q} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \iff \frac{p}{q} \cdot \frac{\cancel{c}}{\cancel{d}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{c}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \iff \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}. \]

Ne segue il principio generale:

\[\quad\]

La divisione tra due frazioni \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} si calcola moltiplicando il dividendo per la frazione inversa del divisore:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}. \]

\[\quad\]

Esempio 2.1. Calcoliamo la divisione

\[ \frac{7}{15} \div \frac{14}{10}. \]

Dal principio generale, ricaviamo

\[ \frac{7}{15} \div \frac{14}{10} = \frac{\cancel{7}}{\cancelto{3}{15}} \cdot \frac{\cancelto{2}{10}}{\cancelto{2}{14}} = \frac{1}{3}, \]

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo semplificato i fattori che comparivano sia ai numeratori che ai denominatori.


 
 

Esercizio 3.1. Calcolare la divisione

\[ \frac{11}{12} \div \frac{3}{4}. \]

Svolgimento.

Sappiamo che la divisione tra frazioni è il prodotto del dividendo per la frazione inversa del divisore, cioè

\[ \frac{11}{12} \div \frac{3}{4} = \frac{11}{\cancelto{3}{12}} \cdot \frac{\cancel{4}}{3} = \frac{11}{9}. \]


 
 

Esercizio 3.2. Calcolare la divisione

\[ \frac{16}{35} \div \frac{8}{15}. \]

Svolgimento.

Analogamente agli esempi precedenti, dobbiamo moltiplicare la prima frazione per l’inverso della seconda:

\[ \frac{16}{35} \div \frac{8}{15} = \frac{\cancelto{2}{16}}{\cancelto{7}{35}} \cdot \frac{\cancelto{3}{15}}{\cancel{8}} = \frac{6}{7}. \]


 
 

Esercizio 3.3. Calcolare

\[ \frac{7}{5} \div 3. \]

Svolgimento.

Anche in questo caso occorre moltiplicare il dividendo per l’inverso del divisore, che è \frac{1}{3}:

\[ \frac{7}{5} \div 3 = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{15}. \]


 
 

Esercizio 3.4. In un impasto servono \frac{15}{8} di \mathrm{kg} di farina ogni litro di acqua. Avendo a disposizione \frac{5}{2}\, \mathrm{kg} di farina, quanti litri di acqua si dovranno inserire nell’impasto?

Svolgimento.

I litri di acqua da inserire si calcolano dividendo la quantità di farina disponibile per il rapporto tra farina e acqua:

\[ \frac{5}{2} \div \frac{15}{8} = \frac{\cancel{5}}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancelto{4}{8}}{\cancelto{3}{15}} = \frac{4}{3}. \]

Per l’impasto occorre inserire dunque \frac{4}{3} \mathrm{L} di acqua. Il risultato poteva anche essere ottenuto mediante una proporzione:

\[ \frac{15}{8}\, \mathrm{kg} \div 1 \,\mathrm{L} = \frac{5}{2}\, \mathrm{kg} \div x\, \mathrm{L}, \]

dove x sono appunto i litri incogniti di acqua. Risolvendo rispetto a x si ottiene la stessa divisione tra frazioni.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.