M.C.D. e m.c.m. – Problema 6

Insieme numerico N

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Si vuole riempire completamente un parallelepipedo i cui spigoli misurano 60 cm, 80 cm e 120 cm con dei cubetti indeformabili uguali. Determina il numero minimo di cubetti necessari.

 

Soluzione.  Scomponiamo in fattori primi

    \[\begin{array}{|l} \llap{60 ~~~~} 2 \\  \llap{30 ~~~~} 2 \\  \llap{15 ~~~~} 3 \\ \llap{5 ~~~~} 5 \\ \llap{1 ~~~~} \end{array}\hspace{3cm} \begin{array}{|l} \llap{80 ~~~~} 2 \\  \llap{40 ~~~~} 2 \\  \llap{20 ~~~~} 2 \\ \llap{10 ~~~~} 2 \\ \llap{5 ~~~~} 5 \\ \llap{1 ~~~~}  \end{array}\hspace{3cm} \begin{array}{|l} \llap{120 ~~~~} 2 \\  \llap{60 ~~~~} 2 \\  \llap{30 ~~~~} 2 \\ \llap{15 ~~~~} 5 \\ \llap{3 ~~~~} 3 \\ \llap{1 ~~~~}  \end{array}\]


ottenendo

    \[60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \qquad 80 = 2^4 \cdot 5 \qquad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\]


Facendo il M.C.D. tra 60, 80 e 120 troviamo

    \[\text{M.C.D.}(60,80,120) = 2^2 \cdot 5 = 20\]


cioè il numero minimo di cubetti necessari a riempire ogni lato e quindi il loro volume è

    \[V^\star = 20^3 \, \text{cm}^3 = 8000 \, \text{cm}^3\]


Il volume del parallelepipedo è dato da

    \[V = 60 \cdot 80 \cdot 120 \, \text{cm}^3 = 576000 \, \text{cm}^3\]


quindi il minimo numero di cubetti è

    \[V:V^\star = 576000 : 80 = 72\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)