M.C.D. e m.c.m. – Problema 4

Insieme numerico N

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Un pasticcere ha a disposizione 48 cannoncini alla crema, 36 bignè, 72 crostatine alla frutta e 24 cannoli siciliani. Vuole confezionare il massimo numero possibile di vassoi uguali, ciascuno contenente tutti i tipi di pasticcini a disposizione, in modo da non avanzarne alcuno. Quanti vassoi puo’ preparare? Quanti pasticcini di ogni tipo deve contenere ogni vassoio?

 

Soluzione.  Cerchiamo il M.C.D. tra 48,36,72 e 24, quindi

    \[\begin{array}{|l} \llap{48 ~~~~} 2 \\  \llap{24 ~~~~} 2 \\  \llap{12 ~~~~} 2 \\ \llap{6 ~~~~} 2 \\ \llap{3 ~~~~} 3 \\ \llap{1 ~~~~} \end{array}\hspace{2cm} \begin{array}{|l} \llap{36 ~~~~} 2 \\  \llap{18 ~~~~} 2 \\  \llap{9 ~~~~} 3 \\ \llap{3 ~~~~} 3\\ \llap{1 ~~~~} \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{|l} \llap{72 ~~~~} 2 \\  \llap{36 ~~~~} 2 \\  \llap{18 ~~~~} 2 \\  \llap{9 ~~~~} 3 \\ \llap{3 ~~~~} 3\\ \llap{1 ~~~~} \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{|l} \llap{24 ~~~~} 2 \\  \llap{12 ~~~~} 2 \\  \llap{6 ~~~~} 2 \\  \llap{3 ~~~~} 3\\ \llap{1 ~~~~} \end{array}\]


cioè

    \[48 = 2^4 \cdot 3 \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 72 = 2^3 \cdot 3^2 \qquad 24 = 2^3 \cdot 3\]


pertanto

    \[\text{M.C.D.}(48,36,72,24) = 2^2 \cdot 3 = 12\]


dunque il pasticcere avrà 12 vassoi. In particolare ogni vassoio sarà composto da

    \[48 : 12 = 4\]


cannoncini alla crema, poi

    \[36 : 12 = 3\]


3 bignè, poi

    \[72 : 12 = 6\]


crostatine alla frutta ed infine

    \[24 : 12 = 2\]


cannoli siciliani.

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)