M.C.D. e m.c.m. – Calcolo 1

Insieme numerico N

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti numeri

    \[20, \quad 40, \quad 84\]

 

Soluzione. Procediamo facendo la scomposizione in fattori primi dei numeri

    \[\begin{array}{|l} \llap{20 ~~~~} 2 \\ \llap{10~~~~} 2 \\ \llap{5~~~~} 5 \\ \llap{1~~~~} \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{|l} \llap{40 ~~~~} 2 \\ \llap{20 ~~~~} 2 \\ \llap{10~~~~} 2 \\ \llap{5~~~~} 5 \\ \llap{1~~~~} \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{|l} \llap{84 ~~~~} 2 \\ \llap{42 ~~~~} 2 \\ \llap{21 ~~~~} 3 \\ \llap{7 ~~~~} 7 \\ \llap{1~~~~} \end{array}\]

da cui

    \[20 = 2^2 \cdot 5 \qquad 40 =2^3 \cdot 5 \qquad 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7.\]

Il M.C.D. è dato dal prodotto dei fattori primi comuni presi una sola volta con il minimo esponente, quindi

    \[\text{M.C.D.}(20, 40, 84) = 2^2 = 4\]

Il m.c.m. è dato dal prodotto dei fattori primi comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente, quindi

    \[\text{m.c.m.}(20, 40, 84) = 2^3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 = 840\]

Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)