Frazioni algebriche – Esercizio 12
In questo dodicesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 11 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 13 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
Buona lettura!
Scarica gli esercizi svolti
Ottieni il documento contenente 50 esercizi risolti, contenuti in 52 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione delle frazioni algebriche.
Esercizio 
.
.Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12b562aca6ac59cae53b5aba055f1afb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right) = \\\\ & = y \, \dfrac{x^2-y^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)} \; \cdot \; \dfrac{y^4-2x^2y^2+x^4}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2-y^2 + 2y^2}{x^2-y^2} = \\\\ & = y \, \dfrac{\cancel{x^2}-2y^2-\cancel{x^2}}{(x^2+y^2)\underbrace{(x^2-y^2)}_{\text{differenza di quadrati}}} \; \cdot \; \dfrac{(y^2-x^2)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^2-y^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\\\ & = - \dfrac{2y^3}{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} \; \cdot \; \dfrac{(y-x)^2(y+x)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2\cancel{y^3}}{\cancel{(x^2+y^2)} \, (x-y)(x+y)} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y^{\cancel{4}}} \; \dfrac{\cancel{x^2+y^2}}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2}{(x-y)^2(x+y)^2} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y} = \\\\ & = - \dfrac{2}{y}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ccb191116d9035583791b3d86ddc57e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")