Equazioni irrazionali

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Risolvere la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{x^2+x+1} = x-1.$

Svolgimento.

Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo

$\sqrt{A(x)} = B(x)$

dobbiamo impostare il seguente sistema

$\begin{cases} A(x)\ge0\\ B(x)\ge0\\ A(x)=[B(x)]^2. \end{cases}$

Procediamo impostando il sistema:

$\begin{cases} x^2+x+1\ge0\\ x-1\ge 0\\ x^2+x+1= (x-1)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\ x\ge1\\ x^2+x+1= x^2+1-2x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R}\\ x\ge1\\ x = 0 \end{cases}$