Equazioni frazionarie

Un’equazione frazionaria è un’uguaglianza algebrica in cui l’incognita compare anche al denominatore di alcune frazioni, come ad esempio

(1)

Rispetto alle equazioni classiche, ciò impone alcune attenzioni nella strategia risolutiva, che esamineremo in questo articolo.

Questo genere di equazioni emergono molto comunemente in problemi di proporzionalità, di fisica (velocità medie, resistori in parallelo) e in altre applicazioni. Vediamo subito nel dettaglio la strategia risolutiva mediante un esempio.

1. Condizioni di esistenza (CE). Osserviamo subito che la quantità non è definita se . In tal caso infatti il denominatore della frazione si annulla e sappiamo che la divisione è impossibile. Bisognerà tenere a mente che

   

   è appunto una condizione necessaria per l’esistenza dell’equazione, cioè che essa abbia significato.

2. Eliminare i denominatori. L’idea fondamentale per risolvere queste equazioni è sfruttare il principio generale che

   “Operare in modo uguale su cose uguali produce risultati uguali”

   con l’obiettivo di eliminare i denominatori dall’equazione. Infatti, sapendo che le quantità e sono uguali, moltiplicarle entrambe per uno stesso fattore produce nuovamente un’uguaglianza vera.

   Per quale fattore conviene moltiplicare e ? Se desideriamo “far sparire” il denominatore, è naturale moltiplicare proprio per : moltiplicando e poi dividendo per , si ottiene come risultato . Moltiplicando entrambi i membri per otteniamo la nuova equazione

   

3. Svolgere i prodotti e risolvere l’equazione. A questo punto abbiamo una normale equazione algebrica di primo grado, risolvibile con tecniche classiche:

   

   dove:

   • nella prima equivalenza abbiamo aggiunto a entrambe i membri (sfruttando nuovamente il principio generale poiché desideravamo isolare il termine con la );
   • nella terza equivalenza abbiamo diviso per entrambi i membri (sempre grazie al principio generale, perché desideravamo ottenere ).
4. Verificare le condizioni di esistenza. Sappiamo che l’equazione iniziale (1) non ha alcun significato se . Bisogna quindi assicurarsi che la soluzioni ottenute soddisfino questa condizione. In questo caso , quindi la soluzione trovata soddisfa la condizione di esistenza ed è ammissibile. In caso contrario, sarebbe stato necessario scartarla e concludere che il valore trovato non fosse una soluzione dell’equazione (1).

1. Condizioni di esistenza. Poiché ci sono due frazioni in cui compare al denominatore, dobbiamo assicurarci che entrambe siano ben definite, ovvero che entrambi i denominatori siano diversi da . Imponiamo quindi le condizioni di esistenza

   

   Tali condizioni equivalgono a richiedere che e , che possiamo riassumere come

   

   Dunque l’equazione è ben definita solo se la è diversa da e da . Dovremo tenere a mente questa limitazione nelle operazioni che svolgeremo e bisognerà infine controllare che le soluzioni la rispettino.

2. Eliminare i denominatori. Anche se vi sono due frazioni, l’idea è la stessa dell’esempio precedente: moltiplicare l’equazione per una quantità che faccia sparire i denominatori. In questo caso, affinché entrambi denominatori vengano semplificati, moltiplichiamo entrambi i membri per il loro prodotto :

   

   dove abbiamo appunto semplificato i termini.

3. Svolgere i prodotti e risolvere l’equazione. Ora che abbiamo semplificato le frazioni possiamo svolgere i prodotti e risolvere l’equazione:

   

   dove nella prima equivalenza abbiamo aggiunto la quantità a entrambi i membri col duplice scopo di eliminare gli addendi e di raccogliere al membro sinistro gli addendi con la , mentre nell’ultima equivalenza abbiamo diviso entrambi i membri dell’equazione per .

4. Verifica delle condizioni di esistenza. Poiché la soluzione ottenuta è diversa da e da , essa è accettabile.

1. Condizioni di esistenza. Determinare i valori dell’incognita che rendono uguali a zero i denominatori, in modo da individuare le condizioni per cui l’equazione abbia senso.
2. Moltiplicare per il m.c.m. dei denominatori. Occorre poi moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per un polinomio che consenta di semplificare tutti i denominatori. Sebbene il prodotto dei denominatori funzioni allo scopo, a volte esso può condurre a calcoli superflui: la strategia più conveniente è individuare il minimo comune multiplo dei denominatori e moltiplicare per esso.
3. Svolgere i calcoli e risolvere l’equazione. Una volta semplificati i denominatori, abbiamo ricondotto l’equazione fratta a una di tipo classico, che possiamo risolvere con metodi standard.
4. Verifica delle condizioni di esistenza. Ottenute le soluzioni dell’equazione, occorre verificare quali soddisfino le condizioni di esistenza e scartare invece quelle che non le verificano.

Esercizio 2 . Un’auto percorre a e altri alla velocità incognita . Sapendo che la velocità media complessiva è , determinare .

  Svolgimento Il tempo totale di viaggio è

La velocità media è dunque

Imponendo e sostituendo l’espressione di otteniamo l’equazione frazionaria

Le condizioni di esistenza sono (affinché le frazioni nella prima equazione esistano) e (affinché l’ultima frazione abbia significato). Moltiplicando per e risolvendo si ottiene

Tale soluzione soddisfa ovviamente le condizioni di esistenza e quindi è accettabile.

1. ;

 

2. ;

 

3. Un ciclista percorre metà del percorso a e l’altra metà a . Calcolare la velocità media sull’intero percorso.

1. ;
2. ;
3. .

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