Equazioni frazionarie

Equazioni di primo grado: equazioni fratte

Home » Equazioni frazionarie

Sommario

Leggi...

In questo articolo trattiamo le equazioni frazionarie, ovvero quelle equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore di frazioni algebriche. Dopo aver illustrato la strategia risolutiva e le accortezze da utilizzare, ne elenchiamo i punti generali, esaminando alcuni esempi e un’applicazione alla fisica. Concludiamo con alcuni esercizi proposti al lettore.

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.

Introduzione

Leggi...

Un’equazione frazionaria è un’uguaglianza algebrica in cui l’incognita compare anche al denominatore di alcune frazioni, come ad esempio

$\begin{equation*} \frac{2}{x-3} = 3. \end{equation*}$

Rispetto alle equazioni classiche, ciò impone alcune attenzioni nella strategia risolutiva, che esamineremo in questo articolo.

Questo genere di equazioni emergono molto comunemente in problemi di proporzionalità, di fisica (velocità medie, resistori in parallelo) e in altre applicazioni. Vediamo subito nel dettaglio la strategia risolutiva mediante un esempio.

Strategia illustrata

Leggi...

Consideriamo l’equazione frazionaria (1). Ricordiamo che risolvere l’equazione significa determinare i numeri che, sostituiti all’incognita $x$ , rendono vera l’uguaglianza. In generale, soltanto uno o pochi numeri hanno questa proprietà.

Condizioni di esistenza (CE). Osserviamo subito che la quantità $\frac{2}{x-3}$ non è definita se $x=3$ . In tal caso infatti il denominatore della frazione si annulla e sappiamo che la divisione $\frac{2}{0}$ è impossibile. Bisognerà tenere a mente che
$x \neq 3 \qquad \text{o, equivalentemente,} \qquad x \in \mathbb{R} \setminus\{3\},$

è appunto una condizione necessaria per l’esistenza dell’equazione, cioè che essa abbia significato.
Eliminare i denominatori. L’idea fondamentale per risolvere queste equazioni è sfruttare il principio generale che “Operare in modo uguale su cose uguali produce risultati uguali” con l’obiettivo di eliminare i denominatori dall’equazione. Infatti, sapendo che le quantità $\frac{2}{x-3}$ e $3$ sono uguali, moltiplicarle entrambe per uno stesso fattore produce nuovamente un’uguaglianza vera.
Per quale fattore conviene moltiplicare $\frac{2}{x-3}$ e $3$ ? Se desideriamo “far sparire” il denominatore, è naturale moltiplicare proprio per $x-3$ : moltiplicando e poi dividendo $2$ per $(x-3)$ , si ottiene come risultato $2$ . Moltiplicando entrambi i membri per $x-3$ otteniamo la nuova equazione

$\frac{2}{\cancel{x-3}} \cdot \cancel{(x-3)} = 3\cdot(x-3) \iff 2 = 3(x-3).$
Svolgere i prodotti e risolvere l’equazione. A questo punto abbiamo una normale equazione algebrica di primo grado, risolvibile con tecniche classiche:
$\begin{aligned} 2 = 3x-9 \iff 2+9 = 3x \cancel{-9} \cancel{+9} \iff 3x = 11 \iff \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}} = \frac{11}{3} \iff x = \frac{11}{3}, \end{aligned}$

dove:
- nella prima equivalenza abbiamo aggiunto $9$ a entrambe i membri (sfruttando nuovamente il principio generale poiché desideravamo isolare il termine con la $x$ );
- nella terza equivalenza abbiamo diviso per $3$ entrambi i membri (sempre grazie al principio generale, perché desideravamo ottenere $x=\dots$ ).
Verificare le condizioni di esistenza. Sappiamo che l’equazione iniziale (1) non ha alcun significato se $x=3$ . Bisogna quindi assicurarsi che la soluzioni ottenute soddisfino questa condizione. In questo caso $\frac{11}{3} \neq 3$ , quindi la soluzione trovata soddisfa la condizione di esistenza ed è ammissibile. In caso contrario, sarebbe stato necessario scartarla e concludere che il valore trovato non fosse una soluzione dell’equazione (1).

Un altro esempio

Leggi...

Esercizio 1. Consideriamo ora la seguente equazione fratta con due frazioni:

$\frac{x}{x-2} = \frac{x-3}{x+2}.$

Condizioni di esistenza. Poiché ci sono due frazioni in cui $x$ compare al denominatore, dobbiamo assicurarci che entrambe siano ben definite, ovvero che entrambi i denominatori siano diversi da $0$ . Imponiamo quindi le condizioni di esistenza
$x- 2 \neq 0\quad \text{e} \quad x+2 \neq 0.$

Tali condizioni equivalgono a richiedere che $x \neq 2$ e $x \neq -2$ , che possiamo riassumere come

$x \neq \pm 2 \quad \text{o, equivalentemente,} \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,2\}.$

Dunque l’equazione è ben definita solo se la $x$ è diversa da $+2$ e da $-2$ . Dovremo tenere a mente questa limitazione nelle operazioni che svolgeremo e bisognerà infine controllare che le soluzioni la rispettino.
Eliminare i denominatori. Anche se vi sono due frazioni, l’idea è la stessa dell’esempio precedente: moltiplicare l’equazione per una quantità che faccia sparire i denominatori. In questo caso, affinché entrambi denominatori vengano semplificati, moltiplichiamo entrambi i membri per il loro prodotto $(x-2)(x+2)$ :
$\frac{x}{\cancel{x-2}} \cdot\cancel{(x-2)}(x+2) = \frac{x-3}{\cancel{x+2}} \cdot (x-2)\cancel{(x+2)} \iff x(x+2) = (x-3)(x-2),$

dove abbiamo appunto semplificato i termini.
Svolgere i prodotti e risolvere l’equazione. Ora che abbiamo semplificato le frazioni possiamo svolgere i prodotti e risolvere l’equazione:
$\begin{aligned} x^2+2x = x^2 -5x + 6 & \iff \cancel{x^2}+2x \cancel{- x^2} +5x = \cancel{x^2} \cancel{-5x} + 6 \cancel{-x^2}+ \cancel{5x} \\ & \iff 7x = 6 \\ & \iff x= \frac{6}{7}, \end{aligned}$

dove nella prima equivalenza abbiamo aggiunto la quantità $-x^2+5x$ a entrambi i membri col duplice scopo di eliminare gli addendi $x^2$ e di raccogliere al membro sinistro gli addendi con la $x$ , mentre nell’ultima equivalenza abbiamo diviso entrambi i membri dell’equazione per $7$ .
Verifica delle condizioni di esistenza. Poiché la soluzione ottenuta $x= \frac{6}{7}$ è diversa da $+2$ e da $-2$ , essa è accettabile.

Un’applicazione della fisica

Leggi...

Dagli esempi si può dedurre il seguente algoritmo generale.

Coefficiente numerico. Calcolare il massimo comune divisore dei coefficienti dei termini del polinomio.
Parte letterale. Per ciascuna variabile che compare in tutti i termini, scegliere l’esponente minimo. Se una variabile manca in anche un solo termine, non fa parte del fattore comune.
Massimo comune divisore. Il prodotto del coefficiente numerico e della parte letterale produce il MCD dei monomi. Scrivere ogni monomio come prodotto del MCD per il fattore rimanente.
Raccogliere. Applicare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma per scrivere il polinomio come prodotto tra il MCD e il polinomio residuale.
Verifica. Svolgere il prodotto finale ottenuto per verificare che sia uguale al polinomio di partenza.

Riassunto della strategia risolutiva

Leggi...

L’algoritmo standard si può riassumere quindi in 4 passi.

Condizioni di esistenza. Determinare i valori dell’incognita $x$ che rendono uguali a zero i denominatori, in modo da individuare le condizioni per cui l’equazione abbia senso.
Moltiplicare per il m.c.m. dei denominatori. Occorre poi moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per un polinomio che consenta di semplificare tutti i denominatori. Sebbene il prodotto dei denominatori funzioni allo scopo, a volte esso può condurre a calcoli superflui: la strategia più conveniente è individuare il minimo comune multiplo dei denominatori e moltiplicare per esso.
Svolgere i calcoli e risolvere l’equazione. Una volta semplificati i denominatori, abbiamo ricondotto l’equazione fratta a una di tipo classico, che possiamo risolvere con metodi standard.
Verifica delle condizioni di esistenza. Ottenute le soluzioni dell’equazione, occorre verificare quali soddisfino le condizioni di esistenza e scartare invece quelle che non le verificano.

Un’applicazione alla fisica

Leggi...

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’auto percorre $100\, \mathrm{km}$ a $80 \,\mathrm{km/h}$ e altri $100 \,\mathrm{km}$ alla velocità incognita $v$ . Sapendo che la velocità media complessiva è $90 \,\mathrm{km/h}$ , determinare $v$ .

Svolgimento Il tempo totale di viaggio è

$t = \frac{100}{80} + \frac{100}{v}.$

La velocità media è dunque

$\bar v = \frac{\text{spazio totale}}{\text{tempo totale}} = \frac{200}{t}.$

Imponendo $\bar v = 90 \,\mathrm{km/h}$ e sostituendo l’espressione di $t$ otteniamo l’equazione frazionaria

$\frac{200}{\tfrac{100}{80} + \tfrac{100}{v}} = 90 \iff \frac{200}{\frac{100 v + 100\cdot 80}{80 v}} = 90 \iff \frac{2\cancel{00} \cdot 8\cancel{0} v}{\cancel{100}(v+80)} = 9\cancel{0}.$

Le condizioni di esistenza sono $v \neq 0$ (affinché le frazioni nella prima equazione esistano) e $v \neq -80$ (affinché l’ultima frazione abbia significato). Moltiplicando per $v+80$ e risolvendo si ottiene

$16 v = 9v + 9 \cdot 80 \iff 7v = 720 \iff v= \frac{720}{7} \approx 102 \,\mathrm{km/h}.$

Tale soluzione soddisfa ovviamente le condizioni di esistenza e quindi è accettabile.

Esercizi proposti

Leggi...

$\displaystyle\frac{3x-4}{x+1}=2$ ;

$\displaystyle\frac{1}{x-1}+\frac{x+2}{x+4}=1$ ;

Un ciclista percorre metà del percorso a $24 \mathrm{km/h}$ e l’altra metà a $30 \mathrm{km/h}$ . Calcolare la velocità media $\bar{v}$ sull’intero percorso.