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Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 5

Equazioni di grado superiore al secondo risolte con l'uso della scomposizione

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Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 5

In questo quinto articolo sulle equazioni di grado superiore al secondo, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo tema. Segnaliamo anche il precedente Equazioni di grado superiore al secondo – Esercizio 4 per ulteriori problemi risolvibili con equazioni di grado superiore al secondo.
Buona lettura!

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 5 esercizi svolti sulle equazioni di grado superiore al secondo.

 

Esercizio (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione di grado superiore al secondo:

    \[x^4+3x^3+9x^2-3x-10=0.\]

Svolgimento.

Scomponiamo il polinomio a membro sinistro dell’equazione procedendo con Ruffini: i divisori di nostro interesse sono \pm 1, \pm2, \pm 5 e \pm 10. Un divisore che annulla il polinomio è x=1:

    \[P(1) = 1 + 3 + 9 -3 - 10 = 0\]

quindi

    \[\begin{array}{c|cccc|c} & 1 & 3 & 9 & -3 & -10 \\ 1 & & 1 & 4 & 13 &10 \\ \hline & 1 & 4 & 13 & 10 & 0 \end{array}\]

da cui

    \[x^4+3x^3+9x^2-3x-10 = (x-1)(x^3+4x^2+13x+10).\]

Per il polinomio x^3+4x^2+13x+10 applichiamo nuovamente Ruffini: i divisori di nostro interesse sono \pm 1, \pm2, \pm 5 e \pm 10. Un divisore che annulla il polinomio è x=-1:

    \[P(-1) = -1 + 4 -13 +10 = 0\]

quindi

    \[\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 4 & 13 & 10 \\ -1 & & -1 & -3 & -10 \\ \hline & 1 & 3 & 10 & 0 \end{array}\]

da cui

    \[x^3+4x^2+13x+10 = (x+1)(x^2+3x+10)\]

ottenendo infine

    \[x^4+3x^3+9x^2-3x-10 = (x-1)(x+1)(x^2+3x+10)\]

poichè il polinomio x^2+3x+10 è irriducibile, infatti se il discriminante è negativo:

    \[\Delta = b^2-4ac = 9 - 40<0.\]

Sfruttando la legge dell’annullamento del prodotto ponendo ogni fattore uguale a zero

    \[x-1= 0 \, \vee \, x+1=0 \qquad \Leftrightarrow \quad \boxed{x=1\, \vee \, x=- 1}.\]


 

 


Fonte: Matematica Verde 2 – Zanichelli

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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