Esercizio 5 – Disequazioni fratte

Disequazioni fratte

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Risolvere la seguente disequazione fratta

    \[\dfrac{-x^2-3}{x^2+6x+8} \le 0\]

 

Soluzione.
Indichiamo con N(x) il numeratore e con D(x) il denominatore.
Si pone N(x) maggiore o uguale a zero mentre D(x) va posto maggiore di zero, ottenendo

    \[N(x) = -x^2-3 \ge 0\]

e senza perderci in calcoli inutili possiamo subito osservare che N(x) è sempre negativo poichè somma di termini non positivi, quindi

    \[N(x) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \nexists \, x \in \mathbb{R}\]

e

    \[D(x) = x^2+6x+8 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+4)(x+2)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x < - 4 \; \vee \; x >-2\]

Facciamo la regola dei segni

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Dal momento che il segno di disuguaglianza iniziale è un minore o uguale consideriamo gli intervalli denotati dal -, quindi

    \[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x < - 4 \; \vee \; x >-2 \right\}}\]

 


Fonte: L. Sasso – I colori della Matematica (Ed. Verde)