Esercizio misto 1

Disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Risolvere il seguente sistema

    \[\begin{cases} x^2-6x+9>0\\ \vert x^2-6x \vert > 9 \end{cases}\]

 

Soluzione. Risolviamo la prima disequazione del sistema x^2-6x+9>0.
Primo metodo: possiamo riscrivere x^2-6x+9=(x-3)^2 ed osserviamo che x^2-6x+9=(x-3)^2>0 per ogni x reale diverso da 3.
 
Secondo metodo (metodo della parabola): scriviamo l’equazione omogenea associata alla disequazione e risolviamola

    \[x^2-6x+9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3,\]

dopo di che rappresentiamo la parabola y=x^2-6x+9 come segue

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Dato che vogliamo gli intervalli dove la parabola y=x^2-6x+9 è positiva, dal grafico della parabola, deduciamo che la soluzione è

    \[\forall \, x \in \mathbb{R} \setminus\{3\}.\]

Osserviamo che i metodi conducono al medesimo risultato.
 
La seconda disequazione del sistema \vert x^2-6x \vert > 9 si puo’ risolvere impostando

    \[x^2-6x<-9 \quad \vee \quad x^2-6x>9\]

in quanto il membro destro della disuguaglianza è una costante.
 
Risolviamo la disequazione x^2-6x<-9.
Primo metodo: analogamente a prima possiamo subito osservare che x^2-6x+9 = (x-3)^2<0 per cui, dal momento che un quadrato non è mai strettamente negativo, non esistono soluzioni reali.
Secondo metodo (metodo della parabola): analogamente a quanto fatto in precedenza scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

    \[x^2-6x+9= 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3\]

quindi, utilizzando il grafico della parabola sopra rappresentato, otteniamo

    \[\nexists \, x \in \mathbb{R}\]

poichè la parabola non è mai negativa.
Osserviamo ancora che entrambi i metodi conducono alla medesima soluzione.
 
La seconda disequazione trova facile risoluzione con il metodo della parabola, pertanto scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

    \[\begin{aligned} & x^2-6x>9 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-6x-9>0 \quad \Rightarrow \quad x^2 -6x -9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3\pm 3 \sqrt{2}. \end{aligned}\]

Rappresentiamo la parabola y=x^2-6x-9

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e, dato che vogliamo gli intervalli dove la parabola è positiva, otteniamo

    \[x < 3 - 3\sqrt{2} \, \vee \, x > 3 + 3 \sqrt{2}.\]

Ponendo a sistema le soluzioni delle singole disequazioni che componevano il sistema iniziale, abbiamo

    \[\begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R} \setminus\{3\}\\ x < 3 - 3\sqrt{2} \, \vee \, x > 3 + 3 \sqrt{2} \end{cases}\]

che graficamente dà

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ovvero la soluzione finale è

    \[\boxcolorato{superiori}{x < 3 - 3\sqrt{2} \quad \vee \quad x > 3 + 3 \sqrt{2}.}\]

 


Fonte: Matematica.Verde 3A, Zanichelli