Esercizio misto 1

Disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

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Esercizio. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

Risolvere il seguente sistema

$\begin{cases} x^2-6x+9>0\\ \vert x^2-6x \vert > 9 \end{cases}$

Soluzione. Risolviamo la prima disequazione del sistema $x^2-6x+9>0$ .
Primo metodo: possiamo riscrivere $x^2-6x+9=(x-3)^2$ ed osserviamo che $x^2-6x+9=(x-3)^2>0$ per ogni $x$ reale diverso da $3$ .

Secondo metodo (metodo della parabola): scriviamo l’equazione omogenea associata alla disequazione e risolviamola

$x^2-6x+9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3,$

dopo di che rappresentiamo la parabola $y=x^2-6x+9$ come segue

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Dato che vogliamo gli intervalli dove la parabola $y=x^2-6x+9$ è positiva, dal grafico della parabola, deduciamo che la soluzione è

$\forall \, x \in \mathbb{R} \setminus\{3\}.$

Osserviamo che i metodi conducono al medesimo risultato.

La seconda disequazione del sistema $\vert x^2-6x \vert > 9$ si puo’ risolvere impostando

$x^2-6x<-9 \quad \vee \quad x^2-6x>9$

in quanto il membro destro della disuguaglianza è una costante.

Risolviamo la disequazione $x^2-6x<-9$ .
Primo metodo: analogamente a prima possiamo subito osservare che $x^2-6x+9 = (x-3)^2<0$ per cui, dal momento che un quadrato non è mai strettamente negativo, non esistono soluzioni reali.
Secondo metodo (metodo della parabola): analogamente a quanto fatto in precedenza scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

$x^2-6x+9= 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3$

quindi, utilizzando il grafico della parabola sopra rappresentato, otteniamo

$\nexists \, x \in \mathbb{R}$

poichè la parabola non è mai negativa.
Osserviamo ancora che entrambi i metodi conducono alla medesima soluzione.

La seconda disequazione trova facile risoluzione con il metodo della parabola, pertanto scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

$\begin{aligned} & x^2-6x>9 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-6x-9>0 \quad \Rightarrow \quad x^2 -6x -9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3\pm 3 \sqrt{2}. \end{aligned}$