Disequazioni di secondo grado – Esercizio 7

Disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

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Disequazioni di secondo grado – Esercizio 7

In questo settimo articolo sulle disequazioni di secondo grado, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni di secondo grado – Esercizio 6 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

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Ottieni il documento contenente 7 esercizi sulle disequazioni di secondo grado con il metodo della parabola

Esercizio $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ .

Risolvere il seguente sistema

$\begin{cases} x^2-6x+9>0\\ \vert x^2-6x \vert > 9. \end{cases}$

Svolgimento.

Risolviamo la prima disequazione del sistema $x^2-6x+9>0$

. Primo metodo: possiamo riscrivere $x^2-6x+9=(x-3)^2$

ed osserviamo che $x^2-6x+9=(x-3)^2>0$

per ogni $x$

reale diverso da $3$

. Secondo metodo (metodo della parabola): scriviamo l’equazione omogenea associata alla disequazione e risolviamola

$x^2-6x+9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3,$

dopo di che rappresentiamo la parabola $y=x^2-6x+9$ come segue

Dato che vogliamo gli intervalli dove la parabola $y=x^2-6x+9$ è positiva, dal grafico della parabola, deduciamo che la soluzione è

$\forall \, x \in \mathbb{R} \setminus\{3\}.$

Osserviamo che i metodi conducono al medesimo risultato. La seconda disequazione del sistema $\vert x^2-6x \vert > 9$ si puo’ risolvere impostando

$x^2-6x<-9 \quad \vee \quad x^2-6x>9$

in quanto il membro destro della disuguaglianza è una costante. Risolviamo la disequazione $x^2-6x<-9$ . Primo metodo: analogamente a prima possiamo subito osservare che $x^2-6x+9 = (x-3)^2<0$ per cui, dal momento che un quadrato non è mai strettamente negativo, non esistono soluzioni reali. Secondo metodo (metodo della parabola): analogamente a quanto fatto in precedenza scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

$x^2-6x+9= 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3$

quindi, utilizzando il grafico della parabola sopra rappresentato, otteniamo

$\nexists \, x \in \mathbb{R}$

poichè la parabola non è mai negativa. Osserviamo ancora che entrambi i metodi conducono alla medesima soluzione. La seconda disequazione trova facile risoluzione con il metodo della parabola, pertanto scriviamo l’equazione associata alla disequazione e la risolviamo

$\begin{aligned} & x^2-6x>9 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-6x-9>0 \quad \Rightarrow \quad x^2 -6x -9 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3\pm 3 \sqrt{2}. \end{aligned}$

Rappresentiamo la parabola $y=x^2-6x-9$

e, dato che vogliamo gli intervalli dove la parabola è positiva, otteniamo

$x < 3 - 3\sqrt{2} \, \vee \, x > 3 + 3 \sqrt{2}.$

Ponendo a sistema le soluzioni delle singole disequazioni che componevano il sistema iniziale, abbiamo

$\begin{cases} \forall \, x \in \mathbb{R} \setminus\{3\}\\ x < 3 - 3\sqrt{2} \, \vee \, x > 3 + 3 \sqrt{2} \end{cases}$

che graficamente dà

ovvero la soluzione finale è

$\boxcolorato{superiori}{x < 3 - 3\sqrt{2} \quad \vee \quad x > 3 + 3 \sqrt{2}.}$

Fonte: Matematica.Verde 3A, Zanichelli

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