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L’errore della divisione per zero – dimostrazioni matematiche

Aneddoti e curiosità

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In questo articolo presentiamo una “dimostrazione” (ovviamente scorretta) del fatto che ogni numero è pari al suo doppio, che sfrutta l’errore della divisione per zero. Esistono molte versione di questi “scherzi matematici” in cui viene prodotta una “dimostrazione” di una proprietà contraddittoria, che però è fallace in almeno un punto, e spesso l’errore consiste proprio nella divisione per zero di ambi i membri di un’uguaglianza. Chiaramente tale errore invalida tutto l’argomento che (per fortuna) non mette a rischio la stabilità della matematica.

Leggi il nostro esempio e cerca di scoprire dove si nasconde l’errore. In ogni caso, forniamo una spiegazione completa per chiarire ogni dubbio!

Consigliamo il seguente materiale su argomenti affini a quello della fallacia logica della divisione per zero:

Buona lettura

 

Teorema. Per ogni a \in \mathbb{R} vale la relazione a = 2a.

 
Dimostrazione. Per il caso a = 0, la tesi risulta immediatamente verificata. Si considerino ora due elementi a, b \in \mathbb{R} tali che a = b e a, b \neq 0. Moltiplicando entrambi i membri per a, si ottiene:

    \[ a^2 = ab. \]

Sottraendo b^2 da entrambi i membri, si ha:

    \[ a^2 - b^2 = ab - b^2. \]

Applicando la scomposizione del primo e secondo membro in fattori:

    \[ (a + b)(a - b) = b(a - b). \]

A questo punto, semplificando per il termine comune a - b, si ottiene la relazione:

    \[ a + b = b. \]

Poiché per ipotesi a = b, si conclude che:

    \[ 2a = a. \]

Il risultato ottenuto è evidentemente assurdo, il che suggerisce la presenza di un errore nel ragionamento.

 

L’errore commesso risiede nel passaggio in cui si è ottenuta l’uguaglianza:

    \[ (a + b)(a - b) = b(a - b) \quad \Rightarrow \quad a + b = b. \]

Tale passaggio implica la divisione per il termine a - b. Tuttavia, sotto l’ipotesi assunta a = b, risulta che a - b = 0, rendendo la divisione priva di significato.

 

ATTENZIONE: ogni operazione di divisione richiede che il divisore sia diverso da zero, in quanto la divisione per zero è un’operazione non definita in aritmetica e analisi matematica.

 

L’errore della divisione per zero, sebbene facilmente individuabile in una dimostrazione breve e sintetica, può risultare meno evidente all’interno di argomentazioni matematiche più articolate.

Lo stesso matematico Bernard Bolzano (1781–1848) sottolineava come tali errori fossero comuni già nella sua epoca, evidenziando la necessità di un’analisi rigorosa delle ipotesi e delle operazioni matematiche eseguite all’interno di una dimostrazione.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
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  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
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