Esercizi spazi vettoriali 7 — Somma e intersezione di sottospazi

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Esercizi spazi vettoriali 7 — Somma e intersezione di sottospazi

In questa raccolta vengono proposti 30 esercizi svolti sulla somma e l’intersezione di spazi vettoriali. Questo articolo continua il percorso didattico sugli spazi vettoriali, si veda ad esempio Esercizi svolti su basi e dimensioni e Esercizi svolti su sottospazi vettoriali e basi.

Ogni esercizio è stato selezionato e ogni soluzione è stata curata al fine di garantire chiarezza didattica ed espositiva. Auguriamo quindi a tutti una piacevole lettura.

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Ottieni il documento contenente 102 esercizi risolti, contenuti in 72 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione degli spazi vettoriali.

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sulla somma e sull’intersezione di sottospazi vettoriali. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

Autori e revisori

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Autore: Chiara Bellotti

Revisori: Luigi De Masi, Sara Sottile, Matteo Talluri, Valerio Brunetti

Notazioni su somma e intersezioni di sottospazi vettoriali

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$A$

$\mathrm{rk}$

$\det$

$\dim$

$\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$

$\mathscr{L}(v_1,\dots, v_n)$

$\mathbb{R}[x]$

$\mathbb{R}_{\leq n}[x]$

$\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$

$\operatorname{ASym}_n(\mathbb{R})$

$U \oplus W$

$\boldsymbol{0}$

Matrice dei coefficienti del sistema lineare;

Rango di una matrice;

Determinante di una matrice;

Dimensione di uno spazio vettoriale;

Spazio generato dai vettori $v_1,\dots, v_n$ ;

Insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti reali;

Insieme dei polinomi in una variabile di grado minore o uguale a $n$ a componenti reali;

Spazio delle matrici simmetriche a componenti reali;

Spazio delle matrici antisimmetriche a componenti reali;

Somma diretta dei sottospazi vettoriali $U$ e $W$ ;

Vettore nullo di un generico spazio vettoriale.

Premessa teorica su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

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In questa sezione richiamiamo brevemente le principali definizioni e proprietà che verranno usate negli esercizi che seguono. Per eventuali dimostrazioni si può fare riferimento a [[1], [2] ].

Definizione 2.1 (Dimensione). Sia $V$ uno spazio vettoriale avente una base costituita da $n$ elementi. Allora si dice che $V$ ha dimensione $n$ .

Definizione 2.2 (Codimensione). Sia $V$ uno spazio vettoriale avente dimensione finita e sia $W\subseteq V$ un suo sottospazio vettoriale. Si definisce codimensione di $W$ in $V$ la quantità

$\operatorname{codim} W=\dim V-\dim W.$

Proposizione 2.3 ([1] Teorema 6, Ch.2). Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $W\subseteq V$ un suo sottospazio vettoriale. Allora

$\dim W\leq \dim V.$

Teorema 2.4 (Formula delle dimensioni, [2] Teorema 4.18, Ch.4). Siano $U$ e $W$ due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita. Vale la seguente relazione:

(1) $\begin{equation*} \operatorname{dim} (U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim} (U \cap W). \end{equation*}$

Teorema 2.5 ([2] Ch.4, Ch.5). La dimensione di un sottospazio vettoriale $U$ di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita è pari alla dimensione dello spazio ambiente meno il rango della matrice del sistema delle sue equazioni cartesiane, ovvero il rango di tale matrice è pari alla codimensione del sottospazio vettoriale $U$ .

Testi degli esercizi su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sono dati i vettori

$v_1=(-1,0,0),\quad v_2=(2,1,-1),\quad v_3=(1,1,-1)$

di $\mathbb{R}^3$ . Sia $W= \mathscr{L}\left(v_1, v_2, v_3\right)$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $W$ .

Svolgimento.

Osserviamo che $v_1+v_2=v_3$ e $v_1, v_2$ sono indipendenti, quindi $\mathscr{L}\left(v_1, v_2, v_3\right)=\mathscr{L}\left(v_1, v_2\right)$ . Da questo segue che

$\operatorname{dim}W=2,$

la codimensione di $W$ è pari a $1$ e una sua base è

$\left\{v_1, v_2\right\}.$

Osserviamo poi che

$(x,y,z)\in \mathscr{L}\left(v_1, v_2\right)\Longleftrightarrow \exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che }(x,y,z)=t v_1+s v_2,$

ovvero

$\exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che } (x,y,z)=t(1,0,0)+s(2,1,-1) \Longleftrightarrow \exists t, s \in \mathbb{R} \text { tali che } \left\{\begin{array}{l} x=t+2 s \\ y=s \\ z=-s \end{array}.\right$

Quelle appena trovate sono le equazioni parametriche del generico vettore in $W$ . Sostituendo la terza equazione nella seconda si ottiene $y+z=0$ , che è l’equazione cartesiana. Poiché la codimensione di W è pari a $1$ , il sistema di equazioni cartesiane che lo descrive ha una sola equazione per il teorema 2.5.

Ci resta ora da trovare un complemento diretto di $W$ . Siccome $\dim (\mathbb{R}^{3})=3$ e $\dim W=2$ , un complemento diretto di $W$ deve avere dimensione $1$ . Siccome il vettore

$(0,1,0)\notin W$

in quanto non soddisfa l’equazione cartesiana $y+z=0$ , il sottospazio

$U=\mathscr{L}\left((1,0,0)\right)$

ha dimensione $1$ e $U\cap W=\{\mathbf{0}\}$ , quindi per la formula delle dimensioni ((2.4)) possiamo concludere che $U$ è un complemento diretto di $W$ in $\mathbb{R}^3$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $W \subseteq \mathbb{R}^4$ , dove

$W=\mathscr{L}((2,-1,1,1),\ (0,0,0,0),\ (1,-1,1,1),\ (1,0,0,0),\ (4,-2,2,2)).$

Svolgimento.

Osserviamo che

$(2,-1,1,1)=(1,-1,1,1)+(1,0,0,0)$

$(4,-2,2,2)=2\ (2,-1,1,1),$

mentre il vettore nullo è linearmente dipendente da ogni sistema di vettori. Segue che

$W=\mathscr{L}((1,-1,1,1),\ (1,0,0,0))$

ed essendo questi due vettori linearmente indipendenti, la dimensione di $W$ è $2$ e i vettori $(1,-1,1,1),\ (1,0,0,0)$ ne costituiscono una base. La codimensione di $W$ è quindi $4-2=2$ , in quanto stiamo lavorando in $\mathbb{R}^{4}$ .

Siccome

$\mathscr{L}((1,-1,1,1),(1,0,0,0))=\{s(1,-1,1,1)+t(1,0,0,0) \colon s, t \in \mathbb{R}\},$

otteniamo come equazioni parametriche

$(x,y,z,w) \in W \Longleftrightarrow x=s+t, \quad y=-s, \quad z=s, \quad w=s,\quad\quad s,t\in\mathbb{R}.$

Sostituendo $w=s$ in $y=-s$ e $z=s$ , si ottengono le seguenti equazioni cartesiane:

$z-w=0, \quad y+w=0,$

che sono $2$ in quanto la codimensione di $W$ è $2$ .

Detto $U$ un complemento diretto di $W$ in $\mathbb{R}^{4}$ , essendo $\dim W=2$ segue che $\dim U=4-2=2$ . Osserviamo che

$(0,0,1,0),\ (0,0,0,1) \notin W$

in quanto non soddisfano le equazioni cartesiane di $W$ e sono linearmente indipendenti. Detto $U$ il sottospazio generato da questi due vettori, osserviamo che $\dim U=2$ e un qualunque elemento di $U$ , avente la forma $(0,0,a,b)$ con $a,b\in\mathbb{R}$ , appartiene a $W$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di $W$ , ma questo accade se e solo se $a=b=0$ . Quindi, siccome $W\cap U=\{\mathbf{0}\}$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) possiamo quindi concludere che il sottospazio $U$ generato dai vettori

$(0,0,1,0),\ (0,0,0,1),$

è tale che $\dim(U+W)=4$ , quindi $W \oplus U = \mathbb{R}^4$ e quindi è un complemento diretto di $W$ in $\mathbb{R}^4$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per $U \subseteq \mathbb{R}^3$ , dove

$U=\mathscr{L}((1,-3,-2),\ (0,-1,-1),\ (0,2,2),\ (0,0,0),\ (-1,2,1)).$

Svolgimento.

Osserviamo che

$(0,-1,-1)-(-1,2,1)=(1,-3,-2)$

e il vettore nullo è combinazione lineare di ogni vettore. Inoltre,

$(0,-1,-1)=-\frac{1}{2}(0,2,2).$

Segue che

$U=\mathscr{L}((0,2,2),\ (-1,2,1))$

e, essendo i due vettori linearmente indipendenti, la dimensione di $U$ è $2$ e una base sarà proprio

$\left\{(0,2,2),\ (-1,2,1)\right\}.$

Poichè lo spazio ambiente è $\mathbb{R}^{3}$ , la codimensione di $U$ è $3-2=1$ .

Per le equazioni parametriche abbiamo

$\begin{align*} (x, y, z) \in U &\Leftrightarrow(x, y, z)=t(0,2,2)+s(-1,2,1)\quad \text{con}\ t,s \in \mathbb{R}\\& \Leftrightarrow x=-s,\quad y=2 t+2 s,\quad z=2 t+s\quad \text{con}\ t,s \in \mathbb{R}. \end{align*}$

Siccome

$y=2t+2s = 2t+s+s=z-x,$

possiamo quindi dedurre l’equazione cartesiana:

$y+x-z=0,$

che è una sola in quanto la codimensione di $U$ è $1$ .

Sia ora

$V=\mathscr{L}((1,0,0)).$

Osserviamo che $U\cap V=\{\mathbf{0}\}$ in quanto $(1,0,0)\notin U$ poichè non soddisfa l’equazione cartesiana di $U$ . Inoltre, $\dim V=1$ . Per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim(U+V)=3$ , ovvero $U\oplus V = \mathbb{R}^3$ , quindi possiamo concludere che $V$ è un complemento diretto di $U$ in $\mathbb{R}^3$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia dato il sottospazio di $\mathbb{R}^4$

$E=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \colon x_1-x_2=2 x_1+x_3+2 x_4=0\right\} .$

Si determinino due basi distinte $B_1$ e $B_2$ di $E$ . Trovare le matrici del cambiamento di base ed entrambe le equazioni del cambiamento di coordinate nel passaggio da una base all’altra.

Svolgimento.

Le due equazioni che definiscono l’insieme $E$ non sono una multiplo dell’altra, quindi $\dim E=4-2=2$ per il teorema 2.5 e una base di $E$ è data da

$B_1=\left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}.$

Prima di continuare nello svolgimento, ricordiamo che per matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_2$ si intende quella matrice che fornisce le coordinate del generico vettore del sottospazio $E$ rispetto alla base $B_2$ , a partire dalle coordinate dello stesso vettore rispetto alla base $B_1$ .

Per ottenere una base diversa basta moltiplicare un vettore di $B_1$ per uno scalare non nullo ottenendo ad esempio

$B_2=\left\{\left(\begin{array}{c} 2 \\2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}.$

La matrice del cambio di base da $B_1$ a $B_2$ si ottiene scrivendo i vettori di $B_1$ in coordinate rispetto a $B_2$ , ottenendo perciò

$\left(\begin{array}{c} 1 \\1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -4\\ 0 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2\\ 1 \end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0\\ -2\\1 \end{array}\right).$

La matrice

$\left(\begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & 0 \vspace{0.1cm}\\ 0 & 1 \end{array}\right)$

sarà quindi la matrice del cambio di base da $B_1$ a $B_2$ , mentre la sua inversa, ovvero

$\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),$

è la matrice del cambio di base da $B_2$ a $B_1$ .

In particolare, se $(X,Y)$ sono le coordinate in base $B_1$ mentre $(x,y)$ sono le coordinate in base $B_2$ , allora

$\left(\begin{array}{c} X \\ Y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ y \end{array}\right)$

e similmente

$\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & 0 \vspace{0.1cm}\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} X \\ Y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{2} X \vspace{0.1cm} \\ Y \end{array}\right).$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia dato

$U=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\right)$

sottospazio di $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ .

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U$ .

Svolgimento.

Osserviamo che

$\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),$

quindi

$U=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\right).$

Siccome

$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

non è multiplo di

$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),$

segue che

$\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right\}$

è una base e quindi $\dim U=2$ . Ma allora, la codimensione di $U$ è pari a $4-\dim U=4-2=2.$

$\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right) \in U$

allora esistono $s,t\in\mathbb{R}$ tali che

$\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),$

ovvero

$\left\{\begin{array}{l} x_1=t+s \\ \\ x_2=s \\ \\ x_3=0 \\ \\ x_4=0 \end{array}\right.$

Le equazioni cartesiane sono dunque

$\left\{\begin{array}{l} x_3=0 \\ \\ x_4=0 \end{array}\right.$

e queste sono sufficienti in quanto la codimensione di $U$ è $2$ .

Vogliamo ora trovare un complemento diretto $W$ di $U$ . Le matrici

$E_{2, 1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

$E_{2, 2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

non appartengono a $U$ in quanto le equazioni cartesiane non sono soddisfatte e inoltre sono indipendenti, quindi generano un sottospazio di dimensione $2$ . Chiamiamo tale sottospazio $W$ . Ogni elemento di $W$ è della forma

$\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ a & b \end{array}\right),\qquad a,b\in\mathbb{R}$

e appartiene a $U$ se e solo se soddisfa le sue equazioni cartesiane, ma questo accade se e solo se $a=b=0$ . Siccome $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ e $\dim W=2$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim(U+W)=4$ , quindi $U\oplus W=\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ e quindi possiamo concludere che un complemento diretto di $U$ è dato da

$W=\mathscr{L}(E_{2,1}, E_{2,2}).$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia dato

$T=\{f(x) \in \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \colon f(-2)=0\}$

sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}[x]$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni pararmetriche ed un complemento diretto per $T$ .

Svolgimento.

Osserviamo che, per il Teorema di Ruffini, $P\in T$ se e solo se $\deg P\leq 2$ e $(x+2)|P$ , quindi se e solo se

$P(x)=(a x+b)(x+2)$

con $a,b \in \mathbb{R}$ . Scegliendo $(a,b)=(0,1)$ e $(a,b)=(1,0)$ , si ottengono due polinomi indipendenti in quanto hanno grado diverso (grado $1$ e $2$ rispettivamente) e che generano $T$ , quindi una base e pertanto $\dim T=2$ . Una possibile base è quindi

$\left\{x+2, x^2+2 x\right\} .$

Se $P \in T$ allora $P(x)=a x^2+b x+c$ ; inoltre $P(-2)=0$ , quindi $4 a-2 b+c=0$ (questa è l’equazione cartesiana). Ricavando $a$ dall’equazione si ottiene

$\left\{\begin{array}{l} c=t \\ \\ b=s \\ \\ a=\frac{s}{2}-\frac{t}{4} \end{array}\right.$

con $t,s\in\mathbb{R}$ .

Detto $W=\mathscr{L}(1)$ , siccome $W\cap T=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto $1\not\in T$ e $\dim W=1$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim(W+T)=3$ , ovvero $W\oplus T=\mathbb{R}_{\le2}[x]$ e quindi $W$ è un complemento diretto di $T$ .

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia dato $S$ il sottoinsieme di $\mathbb{R}[x]$ definito da

$S=\{f(x) \in \mathbb{R}_{\le 4}[x] \colon f(-1)=f(1)=0\} .$

sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}_{\le4}[x]$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $S$ .

Svolgimento.

Osserviamo che, per il teorema di Ruffini, $P\in S$ se e solo se $\deg P\leq 4$ e $(x+1)(x-1)|P$ , quindi

$P(x)=(x-1)(x+1)\left(a x^2+bx+c\right)$

con $a,b,c\in\mathbb{R}$ . La dimensione di $S$ è quindi $3$ perchè i polinomi che si ottengono scegliendo $(a,b,c)=(0,0,1),\ (a,b,c)=(0,1,0),$ e $(a,b,c)=(1,0,0)$ sono

$\left\{(x-1)(x+1),(x-1)(x+1) x,(x-1)(x+1) x^2\right\}$

e sono linearmente indipendenti in quanto hanno tutti grado diverso tra loro (rispettivamente di grado $2,3,4$ ). Essendo linearmente indipendenti ed essendo generatori di $S$ , essi formano anche una base per $S$ .

Un generico polinomio di quarto grado si scrive come

$p(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e.$

Imponendo le condizioni $p(1)=p(-1)=0$ si ottiene

$\left\{\begin{array}{l} a+b+c+d+e=0 \\ \\ a-b+c-d+e=0 \end{array}\right.$

che corrisponde a un sistema di equazioni cartesiane per $S$ e, ponendo $a=u,b=v,c=w$ si ottengono le equazioni

$e=-u-w,\quad\quad d=-v,$

che, insieme alle altre tre, costituiscono le equazioni parametriche di $S$ . Osserviamo che $\operatorname{dim} \mathbb{R}_{\le4}[x]=5$ e $1, x \not\in S$ in quanto non soddisfano le equazioni cartesiane di $S$ . Inoltre, detto $U$ il sottospazio generato da $1,x$ , ogni suo elemento si scrive come $a+bx$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ e appartiene a $S$ se e solo se si annulla sia in $1$ che $-1$ , ma questo accade se e solo se $a=b=0$ . Siccome $U\cap S=\{\boldsymbol{0}\}$ e $\dim U=2$ , per la formula delle dimensioni (2.4) si ha $\dim(U+S)=5$ , ovvero $U\oplus S=\mathbb{R}_{\le4}[x]$ e quindi possiamo concludere che un complemento diretto di $S$ è $\mathscr{L}(1, x).$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $n$ un intero positivo. Dimostrare che gli insiemi $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}), \ \operatorname{ASym}_n(\mathbb{R})$ sono complementari in $\mathscr{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ . Calcolare inoltre la loro dimensione e determinare una loro base.

Svolgimento.

Consideriamo separatamente i singoli punti.

$\mathscr{M}_n(\mathbb{R}) = \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \oplus \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Infatti, data $A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ , si ha
(2) $\begin{equation*} A = \dfrac{A+ A^T}{2} + \dfrac{A - A^T}{2}, \end{equation*}$

e le matrici $\frac{A+ A^T}{2}$ e $\frac{A+ A^T}{2}$ sono rispettivamente simmetrica e asimmetrica. Infatti, in componenti si ha

(3) $\begin{gather*} \left( \dfrac{A+ A^T}{2} \right)_{ij} = \dfrac{(A)_{ij} + (A)_{ji}}{2} = \dfrac{(A)_{ji} + (A)_{ij}}{2} = \left( \dfrac{A+ A^T}{2} \right)_{ji} \qquad \forall i,j \in \{1,\dots,n\}, \\\\ \left( \dfrac{A- A^T}{2} \right)_{ij} = \dfrac{(A)_{ij} - (A)_{ji}}{2} = -\dfrac{(A)_{ji} - (A)_{ij}}{2} = -\left( \dfrac{A- A^T}{2} \right)_{ji} \qquad \forall i,j \in \{1,\dots,n\}. \end{gather*}$

Ciò mostra che $\mathscr{M}_n(\mathbb{R}) = \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) + \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Per verificare che la somma è diretta, basta osservare che $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \cap \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R}) = \{\mathbf{0}\}$ , ossia che l’unica matrice simmetrica e antisimmetrica è quella nulla. Infatti, se $A \in \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \cap \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ , si ha

(4) $\begin{equation*} (A)_{ij} = (A)_{ji} = - (A)_{ij} \qquad \forall i,j \in \{1,\dots,n\}, \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza usa il fatto che $A \in \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ , mentre la seconda usa che $A \in \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Tale equazione mostra quindi $(A)_{ij}=0$ per ogni $i,j \in \{1,\dots,n\}$ . Ciò appunto dimostra l’asserto.

Basi di $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ e $\operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Sia $\{E^{hk}\}_{h,k=1}^n$ la base canonica di $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ , ossa costituita dalle matrici $E^{hk}$ definite, al variare di $h,k \in \{1,\dots,n\}$ , da
(5) $\begin{equation*} (E^{hk})_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } (i,j)=(h,k)\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

Definiamo ora i sistemi $\{S^{hk}\}_{h\geq k}$ e $\{A^{hk}\}_{h> k}$ dati da

(6) $\begin{gather*} S^{hk} = (E^{hk}+E^{kh}) \quad \forall 1 \leq k < h \leq n, \qquad S^{hk} = E^{hk} \quad \text{se } h=k, \\ A^{hk} = (E^{hk}-E^{kh}) \quad \forall 1 \leq k < h \leq n. \end{gather*}$

Si ha

(7) $\begin{gather*} \begin{aligned} &(S^{hk})_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } (i,j)=(h,k) \text{ oppure } (i,j) = (k,h)\\ 0 & \text{altrimenti}, \end{cases} \\[10pt] &(A^{hk})_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } (i,j)=(h,k)\\ -1 & \text{se } (i,j) = (k,h)\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{aligned} \end{gather*}$

Ad esempio

(8) $\begin{equation*} \begin{aligned} &S^{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \end{pmatrix},\\[10pt] &S^{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \end{pmatrix},\\[10pt] & A^{12} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ \end{pmatrix}. \end{aligned} \end{equation*}$

Dunque le matrici $S^{hk}$ sono tutte simmetriche e le matrici $A^{hk}$ sono tutte antisimmetriche. I sistemi di matrici $\{S^{hk}\}_{h\geq k}$ e $\{A^{hk}\}_{h> k}$ sono chiaramente entrambi linearmente indipendenti, avendo le uniche componenti non nulle in posizioni diverse. Affermiamo che costituiscono dei generatori (e quindi delle basi) rispettivamente di $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ e $\operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ : data una matrice simmetrica $M \in \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ , è immediato verificare che

(9) $\begin{equation*} M %= %\sum_{h,k=1}^n %(M)_{hk} E^{hk} %= %\sum_{1 \leq k \leq h \leq n} %(M)_{hk} (E^{hk} + E^{kh}) %= \sum_{1 \leq k \leq h \leq n} (M)_{hk} S^{hk}. \end{equation*}$

Analogamente, data una matrice antisimmetrica $N \in \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ , si ha

(10) $\begin{equation*} N %= %\sum_{h,k=1}^n %(N)_{hk} E^{hk} %= %\sum_{1 \leq k < h \leq n} %(N)_{hk} (E^{hk} - E^{kh}) = \sum_{1 \leq k < h \leq n} (N)_{hk} A^{hk}. \end{equation*}$

Dimensioni di $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ e $\operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Poiché i sistemi $\{S^{hk}\}_{h\geq k}$ e $\{A^{hk}\}_{h> k}$ costituiscono delle basi rispettivamente di $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ e $\operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ , per calcolare le rispettive dimensioni basta determinare la cardinalità di tali sistemi. Le matrici del sistema $\{S^{hk}\}_{h\geq k}$ sono tante quanti le componenti di una generica matrice in $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ che si trovano sopra la diagonale principale (essa compresa). Essi sono $n$ alla prima riga, $n-1$ alla seconda, e così via, fino a $1$ elemento all’ $n$ -esima riga, ossia

(11) $\begin{equation*} \dim \big( \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \big) = \sum_{h=1}^n (n+1-h) = \sum_{h=1}^n h = \dfrac{n(n+1)}{2}. \end{equation*}$

Analogamente si ottiene che le matrici del sistema $\{A^{hk}\}_{h > k}$ sono tante quanti le componenti di una generica matrice in $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ che si trovano sopra la diagonale principale (essa esclusa), cioè

(12) $\begin{equation*} \dim \big( \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R}) \big) = \sum_{h=1}^n (n-h) = \sum_{h=0}^{n-1} h = \dfrac{n(n-1)}{2}. \end{equation*}$

Come verifica, si osservi che

(13) $\begin{equation*} \dim \big( \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \big) + \dim \big( \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R}) \big) = \frac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n(n-1)}{2} = n^2 = \dim \big(\mathscr{M}_n(\mathbb{R}) \big), \end{equation*}$

in accordo con $\mathscr{M}_n(\mathbb{R}) = \operatorname{Sym}_n(\mathbb{R}) \oplus \operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ . Infatti, una volta calcolata la dimensione di $\operatorname{Sym}_n(\mathbb{R})$ , quella di $\operatorname{Asym}_n(\mathbb{R})$ poteva anche essere ottenuta indirettamente, sfruttando questa relazione.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dato $k\in\mathbb{R}$ , si considerino i sottospazi

$U=\mathscr{L}((2, k, 1),(k, 2,0))$

$W=\mathscr{L}((0,0, k))$

di $\mathbb{R}^3$ . Al variare di $k \in \mathbb{R}$ , determinare la dimensione ed una base di $U+W$ e di $U \cap W$ . Per quali valori di $k$ i sottospazi $U$ e $W$ sono complementari (ovvero $U \oplus W=\mathbb{R}^3$ )?

Svolgimento.

Sia $M$ la matrice che ha per colonne i vettori che determinano $U$ e $W$ , ovvero

$M=\left(\begin{array}{lll} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right).$

Il suo determinante è, sviluppando rispetto alla terza colonna,

$k \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 2 & k \\ k & 2 \end{array}\right)=k\left(4-k^2\right).$

Se $k\in\mathbb{R}\setminus\{ 0,2,-2\}$ , il rango di $M$ è $3$ , quindi $\dim (U+W)=3$ ; essendo $\dim U=2$ e $\dim W=1$ , dalla formula
$\operatorname{dim} (U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim} (U \cap W)$

segue che

$\operatorname{dim} U \cap W=0,$

ovvero la somma è diretta e una base di $U+W=\mathbb{R}^3$ è

$\left\{ (2,k,1),\ (k,2,0),\ (0,0,k)\right\}.$
Se $k=0$ allora $W=0$ , $U+W=U$ e $U\cap W=0$ , quindi anche in questo caso la somma è diretta e una base di $U+W=U$ è
$\left\{(2,0,1),\ (0,2,0)\right\},$

in quanto i due generatori di $U$ sono indipendenti e quindi costituiscono una base di $U$ .

Se $k \in \{2,-2\}$ il rango di $M$ è strettamente minore di $3$ in quanto il determinante è nullo. Tuttavia i vettori
$(2,k,1)\quad \text{e}\quad (k,2,0)$

sono linearmente indipendenti, quindi il rango di $M$ è $2$ .

Segue che $\dim( U+W)=2$ e si ha $W\subseteq U$ in quanto $(0,0,k)$ si può scrivere come combinazione lineare di vettori che formano la base di $U$ . Infatti

$(0,0,2)=2(2,2,1)-2(2,2,0),\qquad (0,0,-2)=-2(2,2,1)+2(2,2,0).$

Segue che

$U\cap W=W$

e

$U+W=U.$

Segue che

$\left\{(0,0,k)\right\}$

è una base di $U\cap W$ mentre

$\left\{(2,k,1),\ (k,2,0)\right\}$

è una base di $U+W$ .

Poichè $U\cap W=W \neq \{\boldsymbol{0}\}$ , la somma non è diretta.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dato $k\in\mathbb{R}$ , siano dati i sottospazi

$A=\mathscr{L}\left(x^2-1,-k x^2+1\right)$

$B=\mathscr{L}\left(k x^2+k, k x+x^2\right)$

di $\mathbb{R}_{\leqslant 2}[x]$ .

Al variare di $k \in \mathbb{R}$ , determinare la dimensione ed una base di $A+B$ e di $A \cap B$ .

Per quali valori di $k$ il vettore $x^2-2 k x+1$ appartiene ad $A+B$ ?

Svolgimento.

Denotiamo $v_1=x^2-1, v_2=-kx^2+1, v_3=k x^2+k, v_4=k x+x^2$ .

La matrice che ha per colonne le coordinate di tali vettori rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ è

(14) $\begin{equation*} M=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k \\ 1 & -k & k & 1 \end{array}\right). \end{equation*}$

Innanzitutto osserviamo che $\dim(A+B)=\operatorname{rk}(M)$ per il teorema 2.5. Consideriamo ora separatamente i casi $k=0$ e $k\neq 0$ .

Se $k=0$ allora il rango di $M$ è evidentemente 2. In questo caso $A=\mathscr{L}(x^2-1,1)$ e $B=\mathscr{L}(x^2)$ . Osserviamo che $B \subseteq A$ in quanto $x^2=(x^2-1)+1$ , quindi si ha $A \cap B=B$ e $A+B=A$ . Segue che $\operatorname{dim}(A+B)=2$ e $\operatorname{dim}(A \cap B)=1$ . Una base di $A+B$ è data da

$\left\{x^2-1,1\right\}$

mentre una base di $A \cap B$

$\left\{x^2\right\}.$

In questo caso, essendo

$x^2+1=x^2-1+2(1),$

si ha che $x^2+1 \in A+B$ .

Si fissi ora $k \neq 0$ ; il minore di $M$ dato dalle colonne 1,3,4
(15) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & k & 0\\ 0 & 0 & k\\ 1 & k & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

ha determinante (sviluppando rispetto alla seconda riga) pari a $-k(-k-k)=2k^2 \neq 0$ , per cui è invertibile e quindi il rango di $M$ è pari a $3$ . Da ciò si ha che $\dim(A+B)=3$ e quindi $A+B = \mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ e che una sua base è quindi la base canonica di $\mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ . Inoltre da $A+B = \mathbb{R}_{\leq 2}[x]$ segue anche che il polinomio $x^2-2kx + 1$ appartiene a $A+B$ .

È immediato verificare che

(16) $\begin{equation*} \dim A = \begin{cases} 1 & \text{se } k = 1\\ 2 & \text{se } k \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}, \end{cases} \qquad \dim B = 2 \quad \forall k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \end{equation*}$

quindi per la formula della dimensione si ha

(17) $\begin{equation*} \dim(A \cap B) = \begin{cases} 0 & \text{se } k = 1\\ 1 & \text{se } k \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}. \end{cases} \end{equation*}$

Determiniamo quindi una base di $A \cap B$ nel caso in cui $k \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}$ . Poiché $\dim(A \cap B)=1$ , basta trovare un polinomio non nullo che vi appartiene. Occorre quindi determinare $\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \mathbb{R}$ non tutti nulli e tali che

(18) $\begin{equation*} \begin{split} \alpha(x^2-1) + \beta(-kx^2 + 1) = \gamma(kx^2+k) + \delta(kx+x^2), %\iff & %(\alpha - k \beta - k \gamma - \delta)x^2 %+ %\delta k x %+ %(-\alpha + \beta +k\gamma) %= %0 \end{split} \end{equation*}$

che è equivalente al sistema

(19) $\begin{equation*} \begin{cases} \alpha - k \beta - k \gamma - \delta = 0\\ \delta = 0 \\ -\alpha + \beta -k\gamma = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha - k \beta - k \gamma = 0\\ \delta = 0\\ (1-k)\beta -2k\gamma = 0, \end{cases} \end{equation*}$

dove si è sommata la prima equazione alla terza. Scegliendo ad esempio $\beta=1$ nella terza equazione (che è lecito in quanto i coefficienti di $\beta$ e $\gamma$ sono entrambi non nulli), si ottiene la soluzione

(20) $\begin{equation*} \delta=0,\quad \beta= 1,\quad \gamma = \dfrac{1-k}{2k},\quad \alpha = k + \dfrac{1-k}{2}, \end{equation*}$

che mostra che

(21) $\begin{equation*} A \cap B = \mathscr{L}(\gamma(kx^2+k)) = \mathscr{L}(x^2+1). \end{equation*}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dato $k\in\mathbb{R}$ , sia $Z$ il sottospazio di $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ generato dalle matrici

$A_1=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & k\end{array}\right)$

$A_2=\left(\begin{array}{cc}2 k & 0 \\ 1 & k\end{array}\right).$

Al variare di $k \in \mathbb{R}$ , determinare un sottospazio complementare di $Z$ .

Svolgimento.

Le matrici $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti per ogni scelta di $k \in \mathbb{R}$ , infatti

(22) $\begin{equation*} \alpha A_1 + \beta A_2 = \begin{pmatrix} \alpha+2k\beta & \alpha\\ \beta & (\alpha+\beta)k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \iff \alpha=\beta=0. \end{equation*}$

Dunque $\dim Z = 2$ . Dall’espressione della generica combinazione lineare $\alpha A_1 + \beta A_2$ riportata in (22), si vede che

(23) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} x & 0\\ 0 & y \end{pmatrix} \in Z \iff x=y=0. \end{equation*}$

Poiché

(24) $\begin{equation*} X \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x & 0\\ 0 & y \end{pmatrix} \colon x,y \in \mathbb{R} \right\} = \mathscr{L}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right), \end{equation*}$

si ha $\dim X=2$ e da (23) segue $X \cap Z = \{\mathbf{0}\}$ , ossia $\dim(X+Z)=4$ per la formula della dimensione ((2.4)) e quindi $X \oplus Z = \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia data la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right) \in \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ . Dimostrare che l’insieme

$T=\left\{X \in \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R}) \colon A X=X A\right\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $T$ .

Svolgimento.

Per ogni $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ e per ogni $X,Y\in T$ vale

$(\lambda X+\mu Y) A=\lambda X A+\mu YA=\lambda A X+\mu A Y=A(\lambda X+\mu Y).$

Segue che $T$ è un sottospazio vettoriale di $\mathscr{M}_2(\mathbb{R})$ .

Posto

$X=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right),$

si ha

$A X=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 x & 2 y \\ x-z & y-w \end{array}\right)$

$X A=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 x+y & -y \\ 2 z+w & -w \end{array}\right),$

da cui segue che $X \in T$ se e solo se

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} 2 x=2 x+y \\ \\ 2 y=-y \\ \\ 2 z-w=x-z \\ \\ y-w=-w \end{array}\right. . \end{equation*}$

Dalla quarta equazione si ricava $y=0$ , ma allora la prima e seconda sono vere per ogni $x$ . Dalla terza troviamo $x=3z-w$ . Segue che

$X=\left(\begin{array}{cc} 3 z-w & 0 \\ z & w \end{array}\right)=z\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)+w\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Possiamo quindi concludere che la dimensione di $T$ è $2$ e una base è

$\left\{\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) ,\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}.$

Le equazioni parametriche sono

$x=3 t-s,\ y=0,\ z=t,\ w=s\quad\quad s,t\in\mathbb{R},$

mentre le equazioni cartesiane sono

(25) $\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x-3 z+w=0 \\ \\ y=0 \end{array}\right. . \end{equation*}$

Siccome $\operatorname{dim} \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})=4$ , la codimensione è $2$ . Dato

$U=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right),$

le due matrici che generano $U$ sono indipendenti, quindi $\dim U=2$ . Inoltre $T\cap U=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un generico elemento di $U$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} 0 & y \\ z & 0 \end{array}\right)$

e appartiene a $T$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane (25) di $T$ , ma questo succede se e solo se $y=z=0$ . Siccome $\dim U=2$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) segue che $U\oplus T= \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ e quindi $U$ è un complemento diretto di $T$ .

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dimostrare che l’insieme

$U=\left\{\left(\begin{array}{cc} a-2 b & 0 \\ b & -a \end{array}\right) \in \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R}) \colon a, b \in \mathbb{R}\right\}$

Svolgimento.

Osserviamo che, scegliendo $(a,b)=(1,0)$ e $(a,b)=(0,1)$ , si ha

$U=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right),$

quindi $U$ è un sottospazio vettoriale di dimensione $2$ e abbiamo trovato una sua base. La codimensione di $U$ è $2$ e, posto $x,y,z,w$ le componenti di una matrice

$A=\left(\begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array}\right)$

le sue equazioni parametriche sono

$x=t-2 s \quad y=0 \quad z=s \quad w=-t\quad\quad s,t\in\mathbb{R},$

da cui ricaviamo le equazione cartesiane $y=0$ e $x=-w-2z$ .

Consideriamo ora

$W=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right).$

Osserviamo che $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un generico elemento di $W$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} 0 & y \\ z & 0 \end{array}\right)$

e appartiene a $U$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di $U$ , ovvero se e solo se $y=z=0$ . Inoltre $\dim W=2$ in quanto i due generatori sono indipendenti. Segue per la formula delle dimensioni ((2.4)) che $U\oplus V=\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ e quindi $W$ è un complemento diretto di $U$ .

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dimostrare che l’insieme

$W=\left\{a-b+a x+b x^2 \in \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x] \colon a, b \in \mathbb{R}\right\}$

è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}_{\leqslant 2}[x]$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $W$ .

Svolgimento.

Osserviamo che, poichè

$a-b +ax +bx^2= a(1+x) + b(x^2-1)$

al variare di $a,b \in \mathbb{R}$ , si ha

$W=\mathscr{L}\left(1+x, x^2-1\right),$

quindi $W$ è un sottospazio vettoriale di dimensione $2$ con base

$\left\{1+x, x^2-1\right\}.$

Inoltre, essendo $\operatorname{dim} \mathbb{R}_{\leq2}[x]=3$ , allora la codimensione di $W$ è $3-\dim W=3-2=1$ .

Un generico polinomio di $\mathbb{R}_{\leq2}[x]$ è della forma $a_2 x^2+a_1 x+a_0$ , quindi, essendo ogni polinomio di $W$ della forma $a-b+ax+bx^2$ , le equazioni parametriche di $W$ sono

$a_2=t,\quad a_1=s,\quad a_0=s-t\quad\quad s,t\in\mathbb{R}$

e l’equazione cartesiana è

$a_1-a_2-a_0=0.$

Consideriamo

$Z=\mathscr{L}(1).$

Osserviamo che $Z\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto i polinomi costanti non nulli non appartengono a $W$ (se un poliniomio costante vi appartenesse, avremmo $a=b=0$ per definizione di $W$ , ma allora il termine noto diventerebbe $a-b=0$ , ovvero otterremmo il polinomio identicamente nullo). Siccome $\dim Z=1$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) segue che $Z\oplus W=\mathbb{R}_{\le 2}[x]$ e quindi $Z$ è un complemento diretto di $W$ .

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathbb{R}_{\leqslant 3}[x]$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\left\{f(x) \in \mathbb{R}_{\leqslant 3}[x]\colon f(1)=0\right\},\\ \\ W=\left\{\tilde{a}+(\tilde{b}-2\tilde{ a}) x+(\tilde{a}-\tilde{b}) x^3 \in \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \colon \tilde{a}, \tilde{b} \in \mathbb{R}\right\}. \end{array}$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ .

Svolgimento.

Sia

$P(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$

un generico polinomio di grado al più $3$ . Consideriamo $U,\ W,\ U+W,\ U\cap W$ separatamente.

Per il teorema di Ruffini, dato che $f(1)=0$ , possiamo dedurre che un generico elemento di $U$ si scrive come
$P(x)=(x-1)\left(a x^2+b x+c\right),$

quindi la dimensione di $U$ è $3$ e la sua codimensione è $1$ . Una sua base, ottenuta scegliendo $(a,b,c)=(1,0,0),\ (a,b,c)=(0,1,0),\ (a,b,c)=(0,0,1)$ , è

$\left\{x^2(x-1), x(x-1),(x-1)\right\} .$

Infatti, i tre generatori sono linearmente indipendenti, avendo tutti grado diverso dagli altri. Inoltre, un generico polinomio $P$ di $U$ è

$P(x)=a x^3+b x^2+c x-a x^2-b x-c=a x^3+x^2(b-a)+x(c-b)-c,$

quindi le equazioni parametriche sono

$a_3=a, \quad a_2=b-a, \quad a_1=c-b, \quad a_0=-c\quad\quad a,b,c \in \mathbb{R}.$

Da queste deduciamo $a_2=b-a_3$ e $a_1=-a_0-b$ . Sostituendo $b=-a_0-a_1$ nell’equazione di $a_2$ otteniamo l’equazione cartesiana

$a_2+a_1+a_0+a_3=0.$

Equivalentemente, l’equazione cartesiana si poteva ottenere semplicemente ponendo

$f(1)=a_3+a_2+a_1+a_0=0.$

Un complemento diretto di $U$ è ad esempio

$T=\mathscr{L}(x^3).$

Infatti $x^3\notin U$ non soddisfando l’equazione cartesiana di $U$ e quindi $U\cap T=\{\boldsymbol{0}\}$ . Siccome $\dim T=1$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha quindi $U\oplus T=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ e quindi $T$ è un complemento diretto di $U$ .

Abbiamo
$W=\mathscr{L}\left(1-2 x+x^3, x-x^3\right)$

in quanto ogni elemento $w\in W$ può essere scritto come combinazione lineare

$w=a(1-2 x+x^3)+b(x-x^3).$

Segue che la dimensione di $W$ è $2$ e la codimensione di $W$ è $2$ .

Le equazioni parametriche sono

$a_0=a, \quad a_1=b-2a, \quad a_2=0, \quad a_3=a-b\quad\quad a,b\in\mathbb{R}$

e quindi le equazioni cartesiane sono

$\left\{\begin{array}{l} a_2=0\\ \\ a_1+a_3+a_0=0 \end{array}\right. .$

Infine, un complemento diretto di $W$ è ad esempio

$Z=\mathscr{L}\left(x^2, 1+x^2\right).$

Infatti l’intersezione con $W$ è nulla poichè gli elementi di $Z$ , che sono della forma $a+(a+b)x^2$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ soddisfano le equazioni cartesiane di $W$ se e solo se $a=b=0$ . Inoltre $\dim Z=2$ perché i generatori sono indipendenti e quindi $\dim(W+Z)=4$ per la formula della dimensione ((2.4)), ossia $W\oplus Z=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ . Quindi $Z$ è un complemento diretto per $W$ .

Innanzitutto vale
$\dim(U+W)\geq \dim U=3;$

inoltre

$x-x^3=-(x^2(x-1)+x(x-1))$

e

$1-2x+x^3=-(x-1)+x^2(x-1)+x(x-1),$

ovvero i generatori di $W$ si scrivono come combinazione lineare degli elementi della base di $U$ . Segue che $W\subset U$ e quindi $\dim(U+W)=\dim U=3$ in quanto $U+W=U$ e perciò un complemento diretto è lo stesso trovato per $U$ .

Essendo $W\subset U$ , segue che $U\cap W=W$ e perciò $\dim (U\cap W)=\dim W=2$ . Infine, un complemento diretto per $U\cap W$ può essere lo stesso trovato per $W$ .

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathbb{R}_{\leqslant 3}[x]$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\left\{f(x) \in \mathbb{R}_{\leqslant 3}[x]\colon f(-1)=f(0)=0\right\}, \\ \\ W=\left\{a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \in \mathbb{R}[x]\colon 2 a_0+a_1-2 a_2+a_3=a_0+a_1+a_2+a_3=0\right\}, \end{array}$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta. Completare una base di $U \cap W$ ad una base di $W$ .

Svolgimento.

Consideriamo $U,\ W,\ U+W,\ U\cap W$ separatamente.

Per il teorema di Ruffini, dato che $f(0)=f(-1)=0$ , un generico polinomio di $U$ si scrive come
$f(x)=x(x+1)(a x+b)\quad\quad a,b\in\mathbb{R},$

Una base di $U$ si ottiene scegliendo ad esempio $(a,b)=(0,1)$ e $(a,b)=(1,0)$ :

$\left\{x(x+1), x^2(x+1)\right\}.$

I due generatori sono linearmente indipendenti, avendo grado diverso. Segue che la dimensione di $U$ è $2$ e la sua codimensione è $\dim\mathbb{R}_{\leq 3}[x]-2=2$ .

Svolgendo i prodotti nell’espressione di $f$ si ottiene

$f(x)=\left(x^2+x\right)(a x+b)=a x^3+a x^2+b x^2+b x=a x^3+x^2(a+b)+b x .$

Da qui si può effettivamente vedere quanto affermato sulla base di $U$ :

$f(x)=a(x^3+x^2)+b(x^2+x).$

Le equazioni parametriche sono

$a_3=a, \quad a_2=a + b, \quad a_1=b, \quad a_0=0,\quad\quad a,b\in\mathbb{R}.$

Le equazioni cartesiane saranno quindi

$a_0=0$

e

$a_3+a_1-a_2=0.$

Infine, un complemento diretto di $U$ è ad esempio

$Z=\mathscr{L}(1, x).$

Infatti $U\cap Z=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un qualunque elemento non nullo di $Z$ è un polinomio di al più grado $1$ , quindi ha al più una radice, mentre $f\in U$ se e solo se ha come radici almeno $0,-1$ . Poiché $1$ e $x$ sono indipendenti, $\dim Z=2$ e, per la formula della dimensione ((2.4).), si ha $\dim(Z+U)=4$ , ovvero $Z\oplus U=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ , quindi $Z$ è un complemento diretto per $U$ .

Consideriamo ora $W$ .
Innanzitutto le equazioni cartesiane sono fornite dal testo. Data poi la matrice del sistema lineare omogeneo che definisce $W$

$\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right),$

essa ha rango $2$ in quanto le due righe sono linearmente indipendenti, quindi $\dim W=4-2=2$ per il teorema 2.5.

Se poniamo ora $a_3=a$ e $a_2=b$ nelle equazioni cartesiane, abbiamo $a_1=-3b-a$ e $a_0=3b,$ che sono le equazioni parametriche. Dunque, un generico polinomio di $W$ si scrive come

$f(x)=a x^3+b x^2+(-3 b-a) x+3 b=a(x^3-x)+b(x^2-3x+3)\quad a,b\in\mathbb{R},$

quindi i polinomi $x^3-x$ e $x^2-3x+3$ sono due generatori di $W$ e, essendo indipendenti, ne costituiscono una base.

Un complemento di $W$ è ad esempio

$T=\mathscr{L}(1, x).$

Infatti $T\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un qualunque elemento di $T$ ha la forma $a_0+a_1x$ , con $a_0,a_1\in\mathbb{R}$ e sostituendo $a_2=a_3=0$ nelle equazioni cartesiane di $W$ si ottiene il sistema

$\left\{\begin{array}{c}2a_0+a_1=0\\ \\ a_0 + a_1 =0,\end{array}\right.$

che ha come unica soluzione quella nulla, ovvero $a_0=a_1=0$ . Inoltre, $\dim T=2$ in quanto i generatori $1,x$ sono linearmente indipendenti e quindi per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim(W+T)=4$ , ovvero $T\oplus W=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ . Possiamo quindi concludere che $T$ è un complemento diretto di $W$ .

Gli elementi di $U\cap W$ soddisfano contemporaneamente le equazioni di $U$ e quelle di $W$ , quindi le equazioni cartesiane di $U\cap W$ sono date dal seguente sistema formato dalle equazioni cartesiane sia di $U$ sia di $W$ :
$\left\{\begin{array}{l} 2a_0+a_1-2a_2+a_3=0\\ \\a_0+a_1+a_2+a_3=0\\ \\a_0=0\\ \\ a_3+a_1-a_2=0 \end{array}\right.,$

ovvero, risolvendo:

$a_0=a_2=0,\qquad a_3+a_1=0.$

Si deducono quindi le equazioni parametriche

$a_0=a_2=0,\quad a_3=t, \quad a_1=-t,\quad\quad t\in\mathbb{R}.$

Segue che $\dim (U\cap W)=1$ e perciò la sua codimensione è $3$ e la somma di $U$ e $W$ non è diretta. Osserviamo che

$x-x^3 \in U \cap W,$

quindi tale vettore costituisce una base di $U\cap W$ , mentre un complemento diretto di $U\cap W$ è dato ad esempio da

$T=\mathscr{L}(1, x, x^2).$

Infatti $1,x,x^2\notin U\cap W$ , sono linearmente indipendenti e $T\cap (W\cap U)=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto gli elementi di $T$ hanno al più grado $2$ , mentre i polinomi di $W\cap U$ hanno grado $3$ . Siccome $\dim T=3$ essendo i generatori linearmente indipendenti, per la formula delle dimensioni ((2.4)) $\dim(T+(U\cap W))=4$ , dunque $T\oplus(U\cap W)=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ e quindi possiamo concludere che $T$ è un complemento diretto di $U\cap W$ .

Consideriamo infine $U+W$ . Siccome $x-x^3 \in U ,$ mentre $x^2-3 x+3 \not\in U$ , si ha
$U+W=\mathscr{L}(x^2-3 x+3, x(x+1), x^2(x+1))$

e, essendo i tre polinomi linearmente indipendenti (infatti il terzo polinomio ha grado $3$ , mentre i primi due polinomi hanno entrambi grado $2$ ma non sono uno multiplo dell’altro), la dimensione di $U+W$ è $3$ e una sua base è data da

$\left\{x^2-3 x+3, x(x+1), x^2(x+1)\right\}.$

Inoltre la codimensione di $U+W$ è $1$ .

Un qualunque elemento $f(x)\in U+W$ si scrive come

$f(x)=a(x^{2}-3x+3)+b(x^2+x)+c(x^3+x^2)=cx^3+(a+b+c)x^2+(-3a+b)x+3a,$

quindi le equazioni parametriche sono

$a_0=3a,\quad a_1=b-3a,\quad a_2=a+b+c,\quad a_3=c,\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.$

Sostituendo $c=a_3,\ a=a_0/3,\ b=a_1+a_0$ nell’espressione per $a_2$ si ottiene l’equazione cartesiana

$\frac{4a_0}{3}+a_1+a_3-a_2=0,$

ovvero

$4a_0+3a_1+3a_3-3a_2=0.$

Infine, un complemento diretto di $U+W$ è ad esempio $S=\mathscr {L}(x)$ . Infatti, poiché $x \notin (U+W)$ , si ha $(U+W) \cap S=\{\boldsymbol{0}\}$ e, per la formula della dimensione ((2.4)), $\dim( (U+W)+S )=4$ , ovvero $(U+W)\oplus S=\mathbb{R}_{\le 3}[x]$ . Quindi $S$ è un complemento diretto per $U+W$ .

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\left\{\left(\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right) \in \mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R}) \colon\left\{\begin{array}{l} a_1-b_1+c_1=0 \\ a_2+b_2-c_2=0 \end{array}\right.\right\} ,\\ \\ W=\left\{\left(\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right) \in \mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R}) \colon\left\{\begin{array}{l} a_1+a_2=0 \\ b_1-b_2=0 \\ c_1+c_2=0 \end{array}\right.\right\}. \end{array}$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Innanzitutto lo spazio vettoriale $\mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ delle matrici che stiamo considerando ha dimensione pari a $2\times 3=6.$

Consideriamo ora $U,\ W,\ U+W,\ U\cap W$ separatamente.

La matrice
$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

ha rango $2$ , dove in ogni riga le incognite sono indicate nel seguente ordine: $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ . Poichè questa è la matrice del sistema delle equazioni cartesiane che definiscono $U$ , e le 2 equazioni sono indipendenti, $\dim U=6-2 =4$ per il teorema 2.5, mentre la codimensione di $U$ sarà quindi $2$ .

Le equazioni cartesiane sono date dal testo, mentre, posto $a_1=a,\ a_2=b, c_1=c,\ b_2=d$ , si ha $b_1=a+c$ e $c_2=b+d$ con $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ , ottenendo quindi le equazioni parametriche.

Da questo segue che

$\left(\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\\ c_1 & c_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ a+c & d \\ c & b+d \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+d\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

al variare di $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ e quindi una base è

$\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}.$

Un complemento diretto è ad esempio

$Z=\mathscr {L}\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right).$

Infatti, $Z\cap U=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un qualunque elemento di $Z$ è della forma

$\left(\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)$

e appartiene a $U$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di $U$ , ma questo avviene se e solo se $a_1=a_2=0$ . Inoltre, dalla formula delle dimensioni ((2.4)) segue che $\dim(U+Z)=6$ , ovvero $U\oplus Z=\mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ . Possiamo quindi concludere che $Z$ è un complemento diretto di $U$ .

La matrice del sistema delle equazioni cartesiane che definiscono $W$

$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

ha rango $3$ , quindi, poiché le 3 equazioni sono indipendenti, $\dim W=6-3 =3$ . La codimensione di $W$ è quindi $3$ . Osserviamo che le tre matrici

$\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)$

sono in $W$ e quindi formano una base di $W$ , essendo indipendenti.

Posto $a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ , si ricavano $b_2=b,\ c_2=-c,\ a_2=-a$ , e abbiamo così trovato le equazioni parametriche di $W$ .

Un complemento diretto di $W$ è dato da

$V=\mathscr{L}\left( \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right).$

Infatti $W\cap V=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto un qualunque elemento di $V$ è della forma

$\left(\begin{array}{ll} a_1 & 0 \\ b_1 & 0\\ c_1 & 0 \end{array}\right)$

e appartiene a $W$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di $W$ , ma questo avviene se e solo se $a_1=b_1=c_1=0$ . Inoltre, essendo $\dim V=3$ (i suoi generatori sono linearmente indipendenti), dalla formula delle dimensioni ((2.4)) segue che $\dim(V+W)=6$ , ovvero $V\oplus W=\mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ . Possiamo quindi concludere che $V$ è un complemento diretto di $W$ .

Consideriamo la matrice del sistema delle equazioni cartesiane che definiscono $U$ e $W$ , quindi $U\cap W$ :
$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$

Osserviamo che il minore $5\times 5$

$N=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

ha determinante $2$ . Infatti, sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza riga, si ottiene

$\begin{equation*} \begin{aligned} \det N&=\det \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)=2. \end{aligned} \end{equation*}$

Essendo $\det N$ non nullo, segue che il rango della matrice è $5$ . Segue dal teorema 2.5 che

$\dim(U\cap W)=6-5=1.$

Osserviamo che

$U\cap W=\mathscr{L}\left( \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)$

in quanto, rispetto alla base di $U$ , abbiamo

$\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

mentre rispetto alla base di $W$ si ha

$\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

(la scelta di tale generatore per $U\cap W$ si basa sul trovare un elemento che soddisfi le equazioni cartesiane sia di $U$ che $W$ ). Le equazioni parametriche di $U\cap W$ saranno quindi

$c_1=c_2=0, \quad a_1=-a_2=t, \quad b_1=b_2=t,$

al variare di $t\in\mathbb{R}$ .

Infine, un complemento diretto di $U\cap W$ è ad esempio

$T=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right).$

Infatti, $T\cap (U\cap W)=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto il generatore di $U\cap W$ non si può scrivere come combinazione lineare delle matrici che generano $T$ . Infatti basta osservare che la componente $t_{1,2}$ (in corrispondenza della prima riga e seconda colonna) di tutti i generatori di $T$ è nulla mentre quella del generatore di $U \cap W$ non lo è, essendo pari a $-1$ . Inoltre, essendo tali matrici linearmente indipendenti, $\dim T=5$ e per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim (T+(U\cap W))=6$ , ovvero $T+(U\cap W)=\mathscr{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ , quindi $T$ è complemento diretto di $U\cap W$ .

Dalla formula della dimensione ((2.4))si deduce che $\dim (U+W)=6$ , quindi $U+W=\mathscr {M}_{3,2}(\mathbb{R}).$ Tuttavia, $U\cap W\neq \{\boldsymbol{0}\}$ quindi la somma non è diretta.

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^5$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\mathscr{L}((1,1,0,-1,1),(-1,1,0,0,1),(0,0,0,0,0),(0,2,0,-1,2),(0,1,0,-1,0)), \\ \\ W=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\right) \in \mathbb{R}^5 \colon\left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_4-x_5=0 \end{array}\right\}\right. . \end{array}$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Consideriamo $W,\ U,\ U+W,\ U\cap W$ separatamente.

La matrice dei coefficienti del sistema lineare che definisce $W$
$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right)$

ha rango $2$ , quindi la codimensione di $W$ è $2$ mentre la dimensione di $W$ è $3$ .

Le equazioni cartesiane sono date nel testo; inoltre, posto $x_2=t,\ x_3=s,\ x_4=v$ si ottiene $x_1=t-s$ e $x_5=2v+t-s$ , con $s,t,v\in\mathbb{R}$ , ottenendo così le equazioni parametriche.

Infine, siccome un generico elemento di $W$ si scrive come

$\begin{align*} ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)&=\left( t-s, t, s, v, 2 v+t-s \right)\\&=t(1,1,0,0,1)+s(-1,0,1,0,-1)+v(0,0,0,1,2)\quad s,t,v\in\mathbb{R}, \end{align*}$

una sua base sarà

$\left\{\left( 1, 1, 0 , 0, 1 \right),\ (-1,0,1,0,-1),\ (0,0,0,1,2) \right\},$

in quanto i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Un complemento diretto di $W$ è ad esempio

$Z=\mathscr{L}\left( (1,0,0,0,0),\ (0,0,0,0,1)\right).$

Infatti, la sua intersezione con $W$ è banale: essendo ogni elemento di $Z$ della forma $(x_1,0,0,0,x_5)$ , esso appartiene anche a $W$ se e solo se soddisfa le equazioni cartesiane di $W$ , ma questo avviene se e solo se $x_1=x_5=0$ . Siccome $Z\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ e $\dim Z=2$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha che $\dim (Z+W)=5$ , quindi $Z\oplus W=\mathbb{R}^5$ , e quindi $Z$ è un complemento diretto di $W$ .

Consideriamo $U$ . Chiaramente $(0,0,0,0,0)$ si ottiene come combinazione lineare degli altri vettori e
$(0,2,0,-1,2)=(1,1,0,-1,1)+(-1,1,0,0,1),$

quindi

$U=\mathscr{L}((1,1,0,-1,1),(-1,1,0,0,1),(0,1,0,-1,0)).$

La matrice contenente la prima, la seconda e la quarta coordinata dei generatori di $U$

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right)$

ha determinante $-1$ , quindi i generatori di $U$ sono indipendenti e dunque

$\{(1,1,0,-1,1),(-1,1,0,0,1),(0,1,0,-1,0)\}$

è una base di $U$ . Segue che $\dim U=3$ , mentre la sua codimensione è $2$ .

Posto $\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\right) \in U$ , esistono quindi $u,v,w\in\mathbb{R}$ tali che

$\begin{align*} \left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)&=u(1,1,0,-1,1)+v(-1,1,0,0,1)+w(0,1,0,-1,0)\\&=\left(u-v, u+v+w, 0, -u-w, u-v\right) \end{align*}$

ottenendo così le equazioni parametriche di $U$ :

$x_1=u-v,\quad x_2=u+v+w,\quad x_3=0,\quad x_4=-u-w,\quad x_5=u-v,\quad u,v,w\in\mathbb{R}.$

Ma allora, attraverso delle semplici sostituzioni si ottengono le equazioni cartesiane

$x_3=0,\quad x_5-x_1=0.$

Un insieme di generatori di $U+W$ è dato dall’unione dei due sistemi di generatori di U e di W, ossia
$\{(1,1,0,-1,1),(-1,1,0,0,1),(0,1,0,-1,0),(1,1,0,0,1),(-1,0,1,0,-1),(0,0,0,1,2)\}.$

Per stabilire la dimensione di $U+W$ e trovarne una base, calcoliamo ora il rango della matrice avente per colonne questi vettori usando l’algoritmo di Gauss:

$\begin{equation*} \begin{aligned} M=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l} R_2=R_2-R_1 \\ R_4=R_4+R_1 \\ R_5=R_5-R_1 \end{array}}{\longrightarrow}&\left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\\\stackrel{\begin{array}{l} R_4=2 R_4+R_2 \\ R_5=R_5-R_2 \end{array}}{\longrightarrow}&\left(\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Dato che abbiamo due pivot e il minore

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right)$

ha determinante pari a $2$ , ciò implica che le prime 5 colonne della matrice sono indipendenti e perciò segue che il rango è $5$ e una possibile base è

$\{(1,1,0,-1,1),(-1,1,0,0,1),(0,1,0,-1,0),(1,1,0,0,1), (-1,0,1,0,-1)\}.$

Inoltre, essendo

$\operatorname{dim} (U+W)=5=\operatorname{dim} \mathbb{R}^5$

si ha che

$U+W=\mathbb{R}^5.$
Consideriamo infine $U\cap W$ .
Essendo $\dim(U+W)=5,\ \dim U=\dim W=3$ , per la formula della dimensione $\dim(U\cap W)=1.$

Le equazioni cartesiane di $U \cap W$ , che si ottengono dal sistema formato dalle equazioni cartesiane di $U$ e quelle di $W$ , sono date dal sistema

$\left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_4-x_5=0\\ x_3=0\\ x_5-x_1=0 \end{array}\right. .$

Inserendo $x_1-x_5=0$ in $x_1+2x_4-x_5=0$ , si ottiene $x_4=0$ . Pertanto le 4 equazioni cartesiane di $U \cap W$ sono $x_1=x_2=x_5$ e $x_3=x_4=0$ . Segue che una base di $U\cap W$ è data dal vettore

$\left(1 , 1 , 0,0,1\right)$

e le equazioni parametriche sono

$x_1=x_2=x_5=t,\quad x_3=x_4=0,\quad t\in\mathbb{R}.$

Un complemento diretto di $U\cap W$ è ad esempio

$T=\mathscr{L}(\left( 1 , 0 , 0,0,0 \right),\ \left( 0,1,0,0,0 \right),\ \left( 0,0,1,0,0 \right),\ \left( 0,0,0,1,0 \right)).$

Infatti, $T\cap (U\cap W)=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto il generatore $(1,1,0,0,1)$ di $U\cap W$ non si può scrivere come combinazione lineare degli elementi di $T$ in quanto l’ultima componente dei generatori di T è nulla mentre quella del generatore di $U \cap W$ non lo è. Inoltre, essendo $\dim T=4$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) vale $\dim (T+(U\cap W))=5$ , ovvero $T\oplus (U\cap W)=\mathbb{R}^5$ , e quindi $T$ è un complemento diretto di $U\cap W$ .

Siccome $U\cap W\neq\{\boldsymbol{0}\},$ la somma $U+W$ non è diretta.

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^5$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\right) \in \mathbb{R}^5 \colon\left\{\begin{array}{l} 2 x_1-2 x_2-x_3=0 \\ x_1+x_4-x_5=0 \end{array}\right\}\right., \\ \\ W=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\right) \in \mathbb{R}^5 \colon\left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=0 \\ x_2+2 x_3-x_4=0 \\ x_5=0 \end{array}\right\}\right. . \end{array}$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Consideriamo $U,\ W,\ U+W,\ U\cap W$ separatamente.

Le due equazioni che definiscono $U$ non sono una multipla dell’altra, quindi la codimensione di $U$ è $2$ mentre la dimensione di $U$ è $3$ .
Ricordiamo che le equazioni cartesiane di $U$ sono date dal testo e sono $2 x_1-2 x_2-x_3=0$ e $x_1+x_4-x_5=0$ . Ricavando $x_3,x_5$ in funzione di $x_1,x_2,x_4$ , dalla prima equazione cartesiana si ottiene $x_3=2x_1-2x_2$ , mentre dalla seconda otteniamo $x_5=x_1+x_4$ . Le equazioni parametriche saranno quindi

$x_1=u,\ x_2=v,\ x_3=2u-2v,\ x_4=w,\ x_5=u+w\quad\quad u,v,w\in\mathbb{R}.$

Una base di $U$ sarà quindi

$\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\}.$

Passiamo ora a $W$ .
Il rango della matrice che descrive il sistema di equazioni cartesiane che definiscono $W$

$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

è $3$ , quindi la codimensione di $W$ è $3$ mentre la dimensione è $2$ .

Inoltre, dalle equazioni cartesiane date nel testo, possiamo dedurre subito le equazioni parametriche di $W$ :

$x_5=0,\ x_4=t,\ x_3=s,\ x_2=t-2s,\ x_1=t-3s\quad\quad t,s\in\mathbb{R}.$

Dalle equazioni parametriche si vede che il generico vettore di $W$ si scrive quindi come

$t\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\qquad t,s \in \mathbb{R}$

per cui i vettori

$\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\}$

sono dei generatori di $W$ e quindi costituiscono una base, avendo cardinalità pari alla dimensione di $W$ .

Passiamo ora allo studio di $U\cap W$ e $U+W$ .
Per determinare la dimensione di $U \cap W$ , studiamo il sistema costituito dalle 5 equazioni cartesiane di $U$ e di $W$ , quindi applichiamo l’algoritmo di Gauss alla matrice seguente:

$\begin{align*} %\begin{split} \left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l} R_3=R_3-R_2 \\ R_2=R_2-\frac{R_1}{2} \end{array} }{\longrightarrow}&\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & -1 & 0 & 0 \\[8pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & 1 & -1 \\[8pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ &\\ \stackrel{ \begin{array}{l} R_3=R_3+R_2 \\ R_4=R_4-R_2 \end{array} }{\longrightarrow} &\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & -1 & 0 & 0 \\[8pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & 1 & -1 \\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{3}{2} & 0 & 0 \\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{3}{2} & -2 & 1 \\[8pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\&\\ \stackrel{\begin{array}{l} R_4=R_4-R_3 \end{array}} {\longrightarrow} &\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & -1 & 0 & 0 \\[8pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & 1 & -1 \\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{3}{2} & 0 & 0 \\[8pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right). %\end{split} \end{align*}$

Osserviamo che il rango della matrice è $5$ , essendoci $5$ pivot. Quindi, applicando il teorema 2.5 si ha $\dim (U\cap W)=0$ mentre la sua codimensione è $5$ . Inoltre, da ciò possiamo dedurre che $U$ e $W$ sono in somma diretta, ovvero $U\oplus W=\mathbb{R}^{5}$ . Di conseguenza, un complemento diretto di $U$ sarà $W$ e viceversa.

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nello spazio vettoriale $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ , si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

$\begin{array}{c} U=\left\{\left(\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right) \in \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R}) \colon a_1+a_2+b_1+b_2=0\right\} ,\\ \\ W=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & -2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right) \end{array}.$

Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Consideriamo $U,W,U+W,U\cap W$ separatamente.

Per il teorema 2.5, $\dim U=3$ in quanto $U$ ha una sola equazione cartesiana che è data dal testo. Le equazioni parametriche si ricavano ponendo $a_1=a, a_2=c, b_1=b$ nell’equazione cartesiana e sono
$a_1=a,\quad a_2=c,\quad b_1=b,\quad b_2=-a-b-c\quad a,b,c\in\mathbb{R} .$

Siccome ogni elemento di $U$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\qquad a,b,c\in\mathbb{R},$

e poiché tali matrici sono indipendenti, il sistema seguente è una base di $U$ :

$\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\right\}.$

Inoltre, essendo $\dim U=3$ , la codimensione sarà $1$ . Infine, osserviamo che

$T=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)$

è un complemento diretto di $U$ . Infatti, $U\cap T=\{\boldsymbol{0}\}$ in quanto la matrice che lo genera non appartiene a $U$ non soddisfacendo l’equazione cartesiana. Inoltre, siccome $\dim T=1$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha che $\dim(U+T)=4$ , ovvero $U\oplus T=\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ , quindi $T$ è un complemento diretto di $U$ .

Riguardo $W$ , osserviamo che
$\left(\begin{array}{cl} 2 & -2 \\ -1 & -2 \end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right)$

e quest’ultima non è multipla di

$\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right).$

Segue che

$\operatorname{dim} W=2,\quad\quad W= \mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right),$

una base di $W$ è data da

$\left\{\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right\}$

e la codimensione di $W$ sarà anche essa $2$ .

Siccome ogni elemento di $W$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\qquad t,s\in\mathbb{R},$

Le equazioni parametriche sono

$a_1=-2 t-s,\quad a_2=2 t,\quad b_1=t+s,\quad b_2=2 t\quad\quad s,t\in\mathbb{R},$

da cui le cartesiane

$a_2-b_2=0\quad \text { e }\quad a_1+b_1+\frac{b_2}{2}=0.$
Passiamo ora a $U+W$ .
Siccome

$\operatorname{dim} (U+W) \geq \operatorname{dim} U=3$

e

$\left(\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \not\in U$

in quanto tale matrice non soddisfa l’equazione cartesiana di $U$ , allora $\dim(U+W)>3$ , quindi, siccome lo spazio ambiente $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ ha dimensione $4$ , vale $\dim (U+W)=4$ e perciò

$U+W=\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R}).$

Dalla formula della dimensione ((2.4)) segue che
$\dim(U\cap W)=\dim U +\dim W-\dim(U+W)=1,$

quindi la sua codimensione è $3$ e una base di $U\cap W$ è

$\left\{\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\right\}$

in quanto tale matrice appartiene sia a $U$ che a $W$ .

Siccome ogni elemento di $U\cap W$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right),\qquad t\in\mathbb{R},$

le equazioni parametriche sono

$a_1=t,\quad a_2=0,\quad b_1=-t,\quad b_2=0,\quad t\in\mathbb{R},$

mentre quelle cartesiane sono

$b_2=a_2=a_1+b_1=0.$

Infine, per la formula delle dimensioni ((2.4)), un complemento diretto di $U\cap W$ è ad esempio

$Z=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)$

in quanto la matrice che genera $U \cap W$ non appartiene ad esso (una qualunque combinazione lineare delle matrici che generano $Z$ ha componente $a_3=0$ , mentre il generatore di $U\cap W$ ha componente $a_3=-1$ ).

Infine, essendo $\dim(U\cap W)=1$ , l’intersezione di $U$ e $W$ non è banale e quindi la somma non è diretta.

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Siano dati i sottospazi vettoriali

$V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \colon x+y=0\right\}$

$W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \colon x-y=0\right\} .$

Qual è il più piccolo sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ che contiene $V \cup W$ ? Determinare una sua base.

Svolgimento.

Osserviamo che $(1,-1)\in V$ in quanto soddisfa l’equazione cartesiana $x+y=0$ , mentre $(1,1)\in W$ in quanto soddisfa l’equazione cartesiana $x-y=0$ .

Per definizione, il più piccolo sottospazio che contiene $V\cup W$ è $V+W$ . Osserviamo che $V+W=\mathbb{R}^2$ . Infatti, $\dim V=\dim W=1$ e $V\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ , quindi per la formula delle dimensioni ((2.4))

$\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim (V\cap W)=2=\dim(\mathbb{R}^2).$

Infine, siccome $V+W=\mathbb{R}^2$ , una base di $V+W$ è data dalla base canonica di $\mathbb{R}^2$ , ovvero

$\{(1,0),(0,1)\}.$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ In $\mathbb{R}^3$ siano dati i sottospazi $U$ definito dall’equazione

$x+y-z=0$

e $W$ quello generato da $(2,4,6)$ e $(1,3,4)$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Consideriamo separatamente $U,W,W+U,W\cap U$ .

Cominciamo a considerare $U$ .
L’equazione cartesiana è data dal testo, ovvero $x+y-z=0$ . Segue che $\dim U=2$ e la sua codimensione è $1$ .

Poichè ogni elemento di $U$ soddisfa l’equazione cartesiana $x+y-z=0$ , esplicitando $z=x+y$ in funzione di $x,y$ osserviamo che ogni elemento di $U$ si scrive come $(t,s,t+s)$ , con $t,s\in\mathbb{R}$ , quindi le equazioni parametriche di $U$ sono

$x=t,\quad y=s,\quad z=t+s,\qquad t,s\in\mathbb{R}.$

Una base di $U$ sarà quindi

$\{(1,0,1),(0,1,1)\}$

e quindi un complemento è ad esempio

$T=\mathscr{L}((0,1,0)).$

Infatti $(0,1,0) \notin U$ , quindi $U \cap T= \{\boldsymbol{0}\}$ e, per la formula della dimensione ((2.4)), segue che $\dim(U+T)=3$ , ossia $U\oplus T=\mathbb{R}^3$ e $T$ è un complemento diretto per $U$ .

Passiamo ora a $W$ . Dato che $(2,4,6)$ e $(1,3,4)$ non sono uno multiplo dell’altro, formano una base di $W$ che quindi ha dimensione $2$ e codimensione $1$ .
Le equazioni parametriche sono

$(x, y, z)=t(2,4,6)+s(1,3, 4)\quad\quad \forall s,t \in \mathbb{R}$

da cui

$x=2 t+s,\quad y=4 t+3 s,\quad z=6 t+4 s\quad\quad \forall s,t \in \mathbb{R}.$

L’equazione cartesiana sarà quindi $x+y-z=0$ . Osserviamo che è uguale a quella di $U$ , quindi $U=W$ .

Essendo $U=W$ , si ha che $U+W=U\cap W=U$ , quindi la somma non è diretta.

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Si consideri il sottoinsieme $W$ di $\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ definito da

$U=\left\{A \in \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R}) \colon A=A B\right\},\qquad B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right).$

Sia poi $W=\operatorname{Sym}_{2,2}(\mathbb{R})$ . Determinare la dimensione, la codimensione, una base, equazioni cartesiane, equazioni parametriche ed un complemento diretto per $U, W, U+W$ e $U \cap W$ . Dire se $U$ e $W$ sono a somma diretta.

Svolgimento.

Consideriamo separatamente $U,W,U+W,U\cap W$ .

Cominciamo con $U$ . Data
$A=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right),$

abbiamo

$A=AB\Longleftrightarrow A B=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} x & x-y \\ z & z-w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)=A,$

da cui le equazioni cartesiane $x-2y=0$ e $z-2w=0$ . Poichè le equazioni sono indipendenti, segue che la dimensione di $U$ è $2$ e anche la codimensione è $2$ .

Esplicitando $x,z$ in funzione di $y,w$ , abbiamo che $x=2y$ e $z=2w$ . Poichè un generico elemento di $U$ si scrive come

$\left(\begin{array}{ll} 2t & t \\ 2s & s \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right),\qquad s,t \in \mathbb{R},$

si ha che le equazioni parametriche sono

$x=2t,\quad y=t,\quad z=2s,\quad w=s\quad\quad \forall s,t \in \mathbb{R}$

e, poiché le matrici sono indipendenti, costituiscono anche una base di $U$ .

Un complemento diretto è ad esempio

$Z=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)$

in quanto i suoi generatori sono indipendenti (quindi tale sottospazio ha dimensione $2$ ) e un qualunque elemento di tale sottospazio non appartiene a $U$ . Infatti un generico elemento di $Z$ si scrive come

$A=\left(\begin{array}{ll} 0 & y \\ z & 0 \end{array}\right),\qquad y,z\in\mathbb{R}$

e appartiene a $U$ se e solo se $A=AB$ , ovvero se e solo se

$\left(\begin{array}{ll} 0 & y \\ z & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & y \\ z & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & -y \\ z & z \end{array}\right)\Leftrightarrow y=z=0.$

Siccome $U\cap Z=\{\boldsymbol{0}\}$ e $\dim Z=2$ in quanto le matrici che lo generano sono linearmente indipendenti, per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim (U+Z)=4$ , quindi $U\oplus Z=\mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ e quindi $Z$ è un complemento diretto di $U$ .

Per l’esercizio 8, la dimensione di $W$ è $3$ , la codimensione $1$ e una base di $W$ è
$\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}.$

L’equazione cartesiana è $y-z=0$ in quanto

$A=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)\in W \Longleftrightarrow y-z=0,$

mentre quelle parametriche sono

$x=s,\quad y=t,\quad z=t,\quad w=u,\quad s,t,u\in\mathbb{R}.$

infine, per l’esercizio 8, un complemento diretto di $W$ è $\operatorname{Asym}_2(\mathbb{R})$ .

Una generica matrice $A\in W$ si scrive come
$A=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ y & w \end{array}\right)$

con $x,y,w\in\mathbb{R}$ , e, imponendo che verifichi le equazioni cartesiane di $U$ , si trova $x=2y$ e $y=2w$ . Segue che $A\in U\cap W$ se e solo se è della forma

$A=\left(\begin{array}{cc} 4w & 2w \\ 2w & w \end{array}\right)=w\cdot \left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)$

con $w\in\mathbb{R}$ , e

(26) $\begin{equation*} W \cap U=\mathscr{L}\left(\left(\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\right), \end{equation*}$

da cui $\dim(U\cap W)=1$ mentre la codimensione è $3$ .

Da (26) si ottengono facilmente le equazioni parametriche. Infatti

$A=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)\in U\cap W \Longleftrightarrow x=4t,\quad y=2t,\quad z=2t,\quad w=t, \quad t\in\mathbb{R}.$

Le equazioni cartesiane di $U\cap W$ si ottengono unendo quelle di $U$ e di $W$ . Poichè le equazioni cartesiane di $U$ e $W$ sono indipendenti tra loro, il sistema formato dalle equazioni cartesiane di $U$ e $W$ non è ridondante, quindi le equazioni cartesiane di $U\cap W$ saranno

$x-2y=0,\quad z-2w=0,\quad z-y=0.$

Un complemento diretto di $U\cap W$ è ad esempio

$T=\mathscr{L} \left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\right).$

Infatti, il generatore di $W \cap U$ non appartiene a $T$ (l’ultima componente non è nulla) e quindi $(W \cap U) \cap T = \{\boldsymbol{0}\}$ e, per la formula della dimensione ((2.4)), $\dim((U\cap W)+T)=1+3=4$ , quindi $(U\cap W) + T= \mathscr{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ .

Essendo l’intersezione $W\cap U$ non banale, la loro somma non è diretta. Inoltre
$\operatorname{dim} (U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim} (U \cap W)=2+3-1=4,$

da cui

$U+W=\mathscr M_{2,2}(\mathbb{R}).$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sono dati i sottospazi di $\mathbb{R}^4$

$U=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \colon x_1-2 x_2+x_4=0\right\}$

$\mathrm{e}$

$V=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \colon x_1-2 x_2+x_4=x_1+x_2+x_3=0\right\} .$

Completare una base di $U \cap V$ ad una base di $U+V$ .

Svolgimento.

Per come sono definiti, $V\subseteq U$ , quindi $V\cap U=V$ e $V+U=U$ . Dunque, basta completare una base di $V$ ad una di $U$ .

Dalle equazioni cartesiane di $V$ , ovvero

$x_1- 2x_2+x_4 = x_1 + x_2 + x_3 = 0,$

ricavando $x_3,x_4$ in funzione di $x_1$ e $x_2$ si ottiene $x_4=-x_1+2x_2$ , $x_3=-x_1-x_2$ . Quindi ogni vettore di $V$ si scrive come

$(a,b,-a-b,-a+2b) = a(1,0,-1,-1) + b(0,1,-1,2) \qquad a,b \in \mathbb{R}$

e, poiché i due vettori sono indipendenti, costituiscono una base di $V$ .

Per il teorema 2.5 $\dim U=3$ in quanto per ipotesi ha una sola equazione cartesiana. Poichè $V \subseteq U$ , per completare la base esibita di $V$ a una base di $U$ basta trovare un vettore di $U$ che non appartiene a $V$ , ossia che soddisfi la prima equazione cartesiana di $V$ ma non la seconda. Ad esempio

$(2,1,0,0)$

è una scelta adeguata.

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sono dati i sottospazi di $\mathbb{R}^4$

$U=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \colon x_1-x_2+x_4=x_2+x_3=0\right\}$

$V=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \colon x_1+x_3+x_4=x_1+x_2+x_3=0\right\} .$

Calcolare la dimensione di $U, V, U+V$ ed $U \cap V$ .

Completare una base di $U, V, U+V$ ed $U \cap V$ ad una base di $\mathbb{R}^4$ .

Svolgimento punto 1.

Dato che le equazioni che definiscono $U$ e $V$ non sono una multipla dell’altra, si ha

$\dim U=\dim V=2.$

Osserviamo che

$x_1+x_3+x_4=x_1-x_2+x_4+x_2+x_3,$

ovvero la prima equazione cartesiana di $V$ si ottiene come somma delle due equazioni cartesiane di $U$ , quindi può essere trascurata nel calcolo dell’intersezione dei sottospazi. Segue che

$U \cap V=\left\{x \in \mathbb{R}^4 \colon x_1-x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_2+x_3=0\right\}.$

La matrice relativa al sistema delle equazioni cartesiane di $U \cap V$

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$

ha rango $3$ in quanto il minore

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

ha determinante $-1$ , quindi $\dim(U\cap V)=1$ in quanto le tre equazioni che definiscono $U \cap V$ sono indipendenti, e perciò per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha

$\dim(U+V)=\dim U +\dim V-\dim (U\cap V)=2+2-1=3.$

Svolgimento punto 2.

Una base di $U\cap V$ è ad esempio

$\{(0,1,-1,1)\},$

in quanto, dalle equazioni cartesiane di $U\cap V$ , basta esplicitare $x_1,x_3,x_4$ in funzione di $x_2$ , ottenendo

$x_3=-x_2,\qquad x_1=-x_2-x_3=0,\qquad x_4=x_2.$

Quindi poichè $\dim (U\cap V)=1$ e ogni vettore in $U\cap V$ si scrive come $(0,a,-a,a)$ con $a\in\mathbb{R}$ , scegliendo $a=1$ otteniamo la base indicata sopra. Inoltre, per completarla a una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere

$(1,0,0,0),(0,1,0,0) \text { e }(0,0,1,0),$

in quanto sono vettori linearmente indipendenti e una qualunque combinazione lineare di essi ha sempre $x_4=0$ e quindi non può essere pari al generatore di $U \cap V$ . Questo prova che, detto

$T=\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)),$

$T\cap (U \cap V)=\{\boldsymbol{0}\}$ e, poiché $\dim T=3$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) vale $T\oplus(U\cap V)=\mathbb{R}^4$ e quindi $T$ è un complemento diretto di $U \cap V$ .

Una base di $U$ è ad esempio

$\{(-1,0,0,1),(1,1,-1,0)\}.$

Infatti, usando le equazioni cartesiane di $U$ ed esplicitando $x_3,x_1$ in funzione di $x_4,x_2$ , si ottiene $x_3=-x_2$ e $x_1=x_2-x_4$ , si ottiene che ogni vettore di $U$ è della forma $(a,-a-b,b,-a-b)$ con $a,b\in\mathbb{R}$ , scegliendo $(a,b)=(1,0)$ e $(a,b)=(0,1)$ otteniamo i vettori indicati sopra. Per completare questa base a una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere

$(1,0,0,0) \text { e }(1,-1,0,0)$

in quanto sono linearmente indipendenti e l’unica combinazione lineare di essi, della forma

$(a+b,-b,0,0),\qquad a,b\in\mathbb{R},$

che soddisfa le equazioni cartesiane di $U$ è tale che $a=b=0$ . Questo prova che, detto

$Z=\mathscr{L}((1,0,0,0),(1,-1,0,0) ),$

$Z\cap U=\{\boldsymbol{0}\}$ e inoltre, siccome $\dim Z=2$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) abbiamo che $\dim (Z+U)=4$ , quindi $Z\oplus U=\mathbb{R}^4$ , ovvero $Z$ è un complemento diretto di $U$ .

Una base di $V$ è ad esempio

$\{(0,-1,1,-1),(1,-1,0,-1)\}.$

Infatti, dalle equazioni cartesiane di $V$ , esplicitando $x_2$ e $x_4$ in funzione di $x_1$ e $x_3$ si ottiene $x_2=x_4=-x_1-x_3$ e perciò ogni elemento di $V$ si scrive come

$(a,-a-b,b,-a-b) = a(1,-1,0,-1) + b(0,-1,1,-1) \qquad a,b \in \mathbb{R}.$

Poiché i due generatori esibiti sono indipendenti, essi costituiscono una base di $V$ . Per completarla a una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere

$(1,0,0,0) \text { e }(1,1,0,0)$

in quanto sono linearmente indipendenti e nessuna combinazione lineare non nulla di essi, della forma $(a+b,b,0,0)$ con $a,b\in\mathbb{R}$ , soddisfa le equazioni cartesiane di $V$ . Detto

$S=\mathscr{L}((1,0,0,0),(1,1,0,0) ),$

abbiamo quindi che $V \cap S=\{\boldsymbol{0}\}$ e, poiché hanno entrambi dimensione $2$ , per la formula delle dimensioni ((2.4)) si ha $\dim(V+S)=4$ , cioè $V+S=\mathbb{R}^4$ , quindi $S$ è un complemento diretto di $V$ .

Una base di $V+U$ è ad esempio

$\{(0,-1,1,-1),(1,-1,0,-1),(1,1,-1,0)\}=\{v_1,v_2,v_3\}$

in quanto tutti e tre i vettori sono linearmente indipendenti. Infatti una combinazione lineare $av_1+bv_2+c v_3$ di essi è nulla solo se soddisfa

$b+c=0,\quad a-c=0,\quad-a-b+c=0$

e, sommando le tre equazioni si ottiene $c=0$ , da cui si deduce, sostituendo nelle altre, che $a=b=0$ . Per completarla a una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere $(1,0,0,0)$ . Mostriamo che questo vettore non si ottiene come combinazione lineare di elementi della base. Infatti, se esistono $x,y,z\in\mathbb{R}$ tali che

$(1,0,0,0)=x(0,-1,1,-1)+y(1,-1,0,-1)+z(1,1,-1,0)$

o equivalentemente

$\left\{\begin{array}{l} 1=y+z \\ 0=-x-y+z \\ 0=x-z \\ 0=-x-y \end{array}\right.$

allora sostituendo la quarta equazione nella seconda uguaglianza si ottiene $z=0$ . Sostituendo $z=0$ nella terza equazione si ha $x=0$ e, sostituendo a sua volta nella quarta, si ha $y=0$ . La prima equazione è quindi incompatibile con le altre. Quindi $(1,0,0,0)$ è indipendente dagli altri 3 vettori, e quindi il sistema dei 4 costituisce una base di $\mathbb{R}^4$ .

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 e sia

$\mathscr{B}=\left\{l_1, l_2, l_3, l_4\right\}$

una sua base. Siano

$Y=\mathscr{L}\left(l_1-2 l_2 , l_1+l_3 , 3 l_1-4 l_2+l_3\right)$

$Z=\mathscr{L}\left(l_2-3 l_3 , l_1-2 l_2+7 l_3\right) .$

Si determinino basi e dimensioni di $Y, Z, Y \cap Z$ ed $Y+Z$ .

Stabilire se la somma di $Y$ e $Z$ è diretta.

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che

$3 l_1-4 l_2+l_3=2\left(l_1-2 l_2\right)+l_1+l_3$

e $l_1-2l_2$ non è multiplo di $l_1+l_3$ . Segue che la dimensione di $Y$ è $2$ e una base è

$\left\{l_1-2 l_2, l_1+l_3\right\} .$

Dato che $l_2-3l_3$ non è multiplo di $l_1-2 l_2+7 l_3$ si ha $\dim Z=2$ e una base è

$\left\{l_2-3 l_3, l_1-2 l_2+7 l_3\right\} .$

Osserviamo che la matrice le cui colonne sono costituite dalle coordinate dei generatori di $Y,Z$ nella base $\mathscr{B}$

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

non è invertibile avendo il determinante nullo e il rango è $3$ in quanto le prime tre colonne sono linearmente indipendenti:

$a\left(\begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 0\\ 0 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 1\\ 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ -3\\ 0 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} a+b=0\\ -2a+c=0 \\ b-3c=0 \end{array} \right. .$

Ricavando $b$ dalla prima equazione e $c$ dalla seconda e sostituendo nella terza si ha $-7a=0$ , ossia $a=0$ , da cui $b=c=0$ . Quindi $\dim (Y+Z)=3$ e una base è data da

$\left\{l_1-2 l_2, l_1+l_3, l_2-3 l_3\right\}.$

Per la formula delle dimensioni ((2.4))

$\operatorname{dim} (Y\cap Z)=\operatorname{dim} Y+\operatorname{dim} Z-\operatorname{dim} (Y + Z)=2+2-3=1.$

Inoltre, una base di $Y\cap Z$ è

$\{l_1+l_3\}$

in quanto questo elemento appartiene alla base di $Y$ e inoltre appartiene anche a $Z$ essendo combinazione lineare dei generatori di $Z$ : si ha infatti $l_1+l_3=2(l_2-3l_3)+(l_1-2l_2+7l_3)$ .

Svolgimento punto 2.

Poichè $\dim(Y\cap Z)=1$ , la somma di $Y$ e $Z$ non è diretta.

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione 5 e siano $E$ ed $F$ suoi sottospazi di dimensione 3 e 4 rispettivamente. Fornire una stima per le dimensioni di $E+F$ ed $E \cap F$ .

Svolgimento.

Osserviamo che $E, F \subseteq E+F \subseteq V$ , quindi

$\max \{\operatorname{dim} E, \operatorname{dim} F\} \leq \operatorname{dim}(E+F) \leq \operatorname{dim} V$

e perciò

(27) $\begin{equation*} 4\leq \operatorname{dim} (E+F) \leq 5.\end{equation*}$

Osserviamo che entrambi i valori possono essere effettivamente raggiunti. Infatti, se $E\subset F$ allora $E+F=F$ , quindi $\dim (E+F)=\dim F=4$ . Se invece $E\not\subset F$ allora necessariamente $\dim (E+F)=5$ essendo

$\dim F=4<\dim (E+F)\leq \dim V=5,$

dove, per la prima disuguaglianza, abbiamo usato il fatto che se $E$ non è un sottoinsieme di $F$ , allora $E+F$ ha dimensione strettamente maggiore di $F$ .

Passiamo ora ad una stima per $\dim(E\cap F)$ . Dalla formula della dimensione ((2.4))

$\operatorname{dim} (E \cap F)=\operatorname{dim} E+\operatorname{dim} F-\operatorname{dim} (E+F)$

segue che

(28) $\begin{equation*} \operatorname{dim} (E \cap F)=7-\operatorname{dim} (E+F), \end{equation*}$

quindi per (27) si ha

$2 \leq \dim (E \cap F) \leq 3.$

Ancora una volta, entrambi i valori possono essere assunti. Infatti, poiché si è mostrato che i valori $4$ e $5$ possono essere assunti per $\dim(E+F)$ , ovviamente in tali casi, per (28), $\dim(E \cap F)$ assume valori rispettivamente $3$ e $2$ .

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Siano dati in $\mathbb{R}^3$ i sottospazi vettoriali $E_h$ , generato dai vettori $v_1=(2,1,0), v_2=$ $(0,2, h)$ e $v_3=(2,3, h)$ , dove $h$ è un parametro reale, e

$F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \colon x-y=y+z=0\right\} .$

Stabilire per quali valori di $h$ si ha che $E_h \oplus F=\mathbb{R}^3$ .

Svolgimento.

Poiché $\dim F=1$ in quanto le due equazioni che lo definiscono non sono una multipla dell’altra, si ha che $E_h \oplus F = \mathbb{R}^3$ , se e solo se $\dim E_h=2$ e $E_h \cap F= \{\mathbf{0}\}$ .

Osserviamo che per ogni $h\in\mathbb{R}$ $v_3=v_2+v_1$ quindi $E_h=\mathscr{L}\left(v_1, v_2\right)$ e dato che $v_1$ e $v_2$ non sono multipli, si ha che $\dim E_h=2$ per ogni $h\in\mathbb{R}$ .

Inoltre, un generatore di $F$ è il vettore $w=(1,1,-1)$ , quindi $E_h \cap F=\{\boldsymbol{0}\}$ se e solo se la matrice $M$ le cui colonne sono $v_1,v_2$ e $w$ è invertibile. Si ha (stiamo sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga)

$\begin{equation*}\begin{aligned} \det M&=\det\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & h & -1 \end{array}\right)=\\\\ &=2\cdot \det \left(\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ h & -1 \end{array}\right)+\det \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & h \end{array}\right)=\\\\ &=2\cdot (-2-h)+h=-4-h. \end{aligned}\end{equation*}$

Poiché $M$ è invertibile se e solo se $\det M \neq 0$ e ciò vale se e solo se $h\neq -4$ , la somma è diretta se e solo se $h \neq -4$ .

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Siano dati in $\mathbb{R}^4$ il sottospazio $E$ generato da $u_1=(1,1,2,0)$ ed $u_2=(0,1,0,1)$ , ed il sottospazio $F_k$ definito dalle soluzioni del sistema

$\left\{\begin{array}{l}x-z=0 \\ \\ y+z+k w=0\end{array}\right.,$

con $k$ parametro reale. Per quali valori di $k$ la somma $E+F_k$ è diretta?

Svolgimento.

Le equazioni parametriche per $E$ sono

$x=t,\ y=t+s,\ z=2 t,\ w=s\quad\quad\forall t,s\in\mathbb{R}$

e quindi quelle cartesiane sono

$2 x-z=0\ \text { e }\ x-y+w=0.$

Inoltre, $\dim E=2$ in quanto i due generatori $u_1,u_2$ sono linearmente indipendenti (la prima componente di $u_2$ è nulla mentre in $u_1$ è diversa da zero). Inoltre, $\dim F_k=2$ per ogni valore di $k$ per il teorema teorema 2.5. in quanto le equazioni cartesiane di $F_k$ sono sempre linearmente indipendenti per ogni valore di $k$ .

Osserviamo ora che, essendo $\dim E=\dim F_k=2$ per ogni valore di $k$ , la somma è diretta se e solo se $\dim( F_k\cap E)=0$ e questo è vero se e solo se la matrice dei coefficienti del sistema formato dalle equazioni cartesiane di $F_k$ e di $E$ (cioè il sistema di equazioni cartesiane di $E \cap F_k$ )

$M=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & k \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$

è invertibile.

È facile vedere che una eventuale combinazione lineare delle colonne che dia il vettore nullo deve avere il coefficiente della prima e della terza uguali (per la prima riga). Per la terza riga questi devono essere quindi entrambi nulli. La seconda e la quarta colonna sono dipendenti se e solo se $k=-1$ . Infatti i coefficienti della seconda e della quarta colonna possono essere non nulli se e solo se $k=-1$ . Segue che esistono combinazioni lineari non banali delle colonne che danno il vettore nullo se e solo se $k=-1$ , dunque $M$ è invertibile se e solo se $k \neq -1$ .

Segue che se $k\neq -1$ allora la somma è diretta mentre se $k=-1$ non lo è.

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Si considerino i sottospazi di $\mathbb{R}^4$

$\begin{array}{c} V_1=\mathscr{L}((2,1,0,1),(1,2,3,2),(1,0,-1,0)) \\ \\ V_2=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \colon 2 x+2 y+z+2 t=2 x-z=y+z+t=0\right\} . \end{array}$

Determinare le dimensioni di $V_1$ e $V_2$ e stabilire se $\mathbb{R}^4=V_1 \oplus V_2$ .

Svolgimento.

La dimensione di $V_1$ è data dal rango della matrice

$M:=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$

le cui colonne sono costituite dai generatori di $V_1$ . Osserviamo subito che il rango di $M$ è $2$ in quanto il doppio della prima riga è pari alla seconda più 3 volte la terza.

Ora osserviamo che

$(2 x-z)+2(y+z+t)=2 x+2 y+z+2 t$

quindi

$V_2=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \colon 2 x-z=y+z+t=0\right\}$

e siccome le due equazioni non sono una multipla dell’altra segue che $\dim V_2=2.$

Osserviamo ora che siccome $V_1$ e $V_2$ hanno entrambi dimensione $2$ , si ha che

$\mathbb{R}^4=V_1 \oplus V_2 \Leftrightarrow \operatorname{dim} V_1 \cap V_2=0 .$

Siccome i primi due vettori generatori di $V_1$ sono indipendenti e quindi formano una sua base, le equazioni parametriche di $V_1$ sono

$x=2 w+s, \quad y=w+2 s,\quad z=3 s,\quad t=w+2s,\quad\quad w,s\in\mathbb{R},$

da cui le equazioni cartesiane

$x-y-t+z=0 \text { e } y-t=0.$

Notiamo che la dimensione di $V_1\cap V_2$ è zero se e solo se la matrice dei coefficienti del sistema formato dalle equazioni cartesiane di $V_1$ e $V_2$

$A\coloneqq\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$

è invertibile.

Usando l’algoritmo di Gauss si ottiene

$\begin{align*} $A$&\stackrel{\begin{array}{l} R_4=R_4-2R_1 \end{array}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \end{array}\right)\\&\stackrel{\begin{array}{ll} R_3=R_3-R_2\\ R_4=R_4-2R_2 \end{array}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 4 \end{array}\right)\\&\stackrel{\begin{array}{l} R_4=R_4+3R_1 \end{array}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right). \end{align*}$

Segue che il rango di $A$ è $4$ e quindi la somma è diretta.

Riferimenti bibliografici

[1]. Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.

[2]. Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1994.

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Esercizi spazi vettoriali 7 — Somma e intersezione di sottospazi

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