Algebra delle matrici 8 — calcolo della matrice inversa

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Questa raccolta propone 5 esercizi sul calcolo della matrice inversa. Di ogni esercizio viene proposta una soluzione completa, che permette al lettore di confrontare i risultati ottenuti con le tecniche da noi utilizzate. Segnaliamo anche la raccolta complementare Algebra delle matrici 6 che tratta il determinante e le matrici inverse. Auguriamo a tutti una buona lettura!

Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo della matrice inversa di una matrice. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali, Davide la Manna e Matteo Talluri.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Stabilire se le seguenti matrici sono invertibili ed in caso affermativo, calcolarne l’inversa:

$\begin{align*} A&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\\\\ B&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right),\\\\ C&=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right),\\\\ D&=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right),\\\\ E&=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\\\\ F&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right),\\\\G&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right),\\\\H&=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),\\\\L&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right).\end{align*}$

Premessa teorica.

Innanzitutto ricordiamo che una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se $\det(A)\neq 0$ .

Inoltre, se $A$ è invertibile, la sua matrice inversa $D$ si ottiene mediante la formula:

$[D]_{i j}=(-1)^{i+j} \frac{\operatorname{det}\left(A_{j i}\right)}{\operatorname{det}(A)},$

dove $A_{ji}$ è il minore di $A$ ottenuto cancellando la $j$ -esima riga e la $i$ -esima colonna.

Svolgimento per A.

Partiamo con la matrice

$A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right).$

Innanzitutto vediamo se la matrice $A$ è invertibile. Usando la formula per il calcolo del determinante di una matrice quadrata $2\times 2$ , calcoliamo il determinante di $A$ .

$\begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\\&=1\cdot 1-2\cdot 1=\\&=1-2=\\&=-1. \end{align*}$

Essendo $\det(A)\neq 0$ , $A$ è invertibile, quindi ammette un’inversa.

Applicando la regola per il calcolo dell’inversa indicata sopra, troviamo innanzitutto i minori:

$\begin{align*} A_{11}&=(1),\\A_{12}&=(1),\\A_{21}&=(2),\\A_{22}&=(1). \end{align*}$

Segue quindi che:

$\begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(A_{11})}{-1}=-1,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(A_{21})}{-1}=2,\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(A_{12})}{-1}=1,\\ d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(A_{22})}{-1}=-1. \end{align*}$

Quindi l’inversa di $A$ sarà:

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right).$

$\[\]$

Svolgimento alternativo 1 per A.

Esiste una soluzione alternativa per il calcolo di $A^{-1}$ in cui viene usata la definizione di inversa di una matrice, ovvero

$AA^{-1}=I$

con $I$ la matrice identità.

La matrice $A^{-1}$ sarà quindi una matrice della forma

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)$

tale che

$AA^{-1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a+2c & b+2d \\ a+c & b+d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Da $a+c=0$ segue che $a=-c$ , quindi $a+2c=a-2a=-a=1$ , da cui $a=-1$ e $c=1$ .

Da $b+2d=0$ segue che $b=-2d$ , quindi $b+d=-2d+d=-d=1$ , da cui $d=-1$ e $b=2$ .

Possiamo quindi concludere che

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right)$

Svolgimento alternativo 1 per A.

Vediamo un terzo metodo per il calcolo dell’inversa di $A$ , che però è valido solo per matrici $2\times 2$ .

In generale, data una matrice quadrata $2\times 2$

$\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)$

con $ad-bc\neq 0,$ essa è invertibile in quanto il suo determinante non è nullo e la sua inversa è

$\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right).$

Quindi, siccome nel nostro caso

$A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$

e $\det(A)=1-2=-1\neq 0$ , la sua inversa sarà:

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\cdot\left(\begin{array}{ll} \ 1 & -2 \\ -1 & \ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right).$

Svolgimento per B.

Consideriamo la matrice

$B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right).$

Per vedere se $B$ è invertibile, calcoliamo il determinante di $B$ .

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ha che

$\begin{align*} \det(B)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 1 & 2 \end{array}\right)-1\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=-2-1-(2-2)=\\&=-3. \end{align*}$

Poichè $\det(B)\neq 0,$ allora la matrice $B$ è invertibile.

Analogamente a prima, cominciamo col determinare i minori $2\times 2$ di $B$ :

$\begin{align*} B_{11}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & \ 1 \end{array}\right),\\\\B_{21}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{31}&=\left(\begin{array}{ll} \ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & \ 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right). \end{align*}$

Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

$\begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det B_{11}}{-3}=\frac{-2-1}{-3}=1,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det B_{21}}{-3}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3},\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det B_{31}}{-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3},\\d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det B_{12}}{-3}=0,\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det B_{22}}{-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det B_{32}}{-3}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3},\\d_{31}&=(-1)^{3+1}\frac{\det B_{13}}{-3}=\frac{3}{-3}=-1,\\d_{32}&=(-1)^{3+2}\frac{\det B_{23}}{-3}=-\frac{-1}{-3}=-\frac{1}{3},\\d_{33}&=(-1)^{3+3}\frac{\det B_{33}}{-3}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}. \end{align*}$

Segue quindi che la matrice inversa di $B$ è

$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 / 3 & -1 / 3 \\ 0 & -2 / 3 & 1 / 3 \\ -1 & -1 / 3 & 2 / 3 \end{array}\right).$

Svolgimento per C.

Consideriamo infine la matrice

$C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right).$

Per vedere se $C$ è invertibile, calcoliamo il determinante di $C$ usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla quarta colonna.

$\begin{align*} \det(C)&=\det\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)-(-2)\cdot\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 2 & 1 \end{array}\right)-2\cdot 2\det\left(\begin{array}{ll} \ 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)+2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right) + \\ & \quad +2\cdot\det \left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right)+2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot(-1-2)-4\cdot (2+1)+2\cdot (2-1)+2\cdot (4-2)+2\cdot(2-2)=\\&=6-12+2+4=\\&=0. \end{align*}$

Essendo $\det(C)=0$ , la matrice $C$ non è invertibile, quindi non ammette l’inversa.

Svolgimento per D.

Consideriamo la matrice

$D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right).$

Applicando la formula per il calcolo del determinante di una matrice quadrata $2\times 2$ , si osserva che

$\det(D)=-1-4=-5.$

Essendo $\det(D)\neq 0$ , la matrice $D$ è invertibile.

Calcoliamo ora l’inversa di $D$ mediante la formula citata all’inizio.

Innanzitutto i minori di $D$ sono:

$\begin{align*} D_{11}&=(-1),\\D_{12}&=(2),\\D_{21}&=(2),\\D_{22}&=(1). \end{align*}$

Segue che

$\begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(D_{11})}{-5}=\frac{1}{5},\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(D_{21})}{-5}=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5},\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(D_{12})}{-5}=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5},\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(D_{22})}{-5}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}. \end{align*}$

Possiamo quindi concludere che

$D^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 / 5 & 2 / 5 \\ 2 / 5 & -1 / 5 \end{array}\right).$

Svolgimento per E.

Consideriamo la matrice

$E=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Innanzitutto osserviamo che $E$ è una matrice diagonale, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero $\det(E)=3$ . Essendo $\det(E)\neq 0$ , la matrice $E$ è invertibile.

Passiamo ora al calcolo dell’inversa di $E$ .

In generale, data $E$ una matrice quadrata diagonale, l’inversa di $E$ è una matrice anch’essa diagonale avente come elementi sulla diagonale i reciproci degli elementi sulla diagonale di $E$ .

Quindi, nel nostro caso si ha che

$E^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 / 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Svolgimento per F.

Consideriamo la matrice

$F=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right).$

Applicando la formula del calcolo del determinante di una matrice quadrata $2\times 2$ , si ottiene che

$\det(F)=3-2=1.$

Poichè $\det(F)\neq 0$ segue che $F$ è invertibile

Calcoliamo ora l’inversa di $F$ .

I minori di $F$ sono:

$\begin{align*} F_{11}&=(3),\\F_{12}&=(2),\\F_{21}&=(1),\\F_{22}&=(1). \end{align*}$

Segue che

$\begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(F_{11})}{1}=3,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(F_{21})}{1}=-1,\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(F_{12})}{1}=-2,\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(F_{22})}{1}=1. \end{align*}$

Quindi

$F^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right).$

Svolgimento per G.

Consideriamo la matrice

$G=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right).$

La matrice $G$ è una matrice triangolare superiore, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero

$\det(G)=1\cdot 2\cdot (-5)=-10.$

Essendo $\det(G)\neq 0$ si ha che $G$ è invertibile.

Passiamo ora al calcolo dell’inversa di $G$ .

I minori $2\times 2$ di $G$ sono:

$\begin{align*} G_{11}&=\left(\begin{array}{ll} 2 & \ 1 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 0 & \ 1 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\\\\G_{21}&=\left(\begin{array}{ll} -4 & \ 2 \\ \ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & \ 2 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 0 & \ 0 \end{array}\right),\\\\G_{31}&=\left(\begin{array}{ll} -4 & 2 \\ \ 2 & 1 \end{array}\right),\\\\G_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\\\\G_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 0 & \ 2 \end{array}\right). \end{align*}$

Essendo la matrice $G$ triangolare superiore, l’inversa $G^{-1}$ sarà anche essa una matrice triangolare superiore i cui elementi diagonali sono i reciproci degli elementi diagonali di $G$ . Sulla base delle precedenti osservazioni, la matrice $G^{-1}$ sarà della forma

$G^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & d_{1,2} & d_{1,3} \\ 0 & 1/2 & d_{2,3} \\ 0 & 0 & -1/5 \end{array}\right).$

Troviamo ora i valori di $d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3}$ . Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

$\begin{align*} d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det G_{21}}{-10}=-\frac{20}{-10}=2,\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det G_{31}}{-10}=\frac{-8}{-10}=\frac{4}{5},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det G_{32}}{-10}=-\frac{1}{-10}=\frac{1}{10}. \end{align*}$

Segue che

$G^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4/5 \\ 0 & 1/2 & 1/10 \\ 0 & 0 & -1/5 \end{array}\right).$

Svolgimento per H.

Consideriamo la matrice

$H=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right).$

$H$ è una matrice diagonale, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero

$\det(H)=-2\cdot 1\cdot 3=-6.$

Essendo $\det(H)\neq 0$ , si ha che $H$ è invertibile.

Analogamente a quanto detto prima per le matrici diagonali, la matrice inversa di $H$ sarà

$H^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{array}\right).$

Svolgimento per L.

Consideriamo infine la matrice

$L=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right).$

Usando la formula di Sarrus per il calcolo del determinante di una matrice $3\times 3$ , dato

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\Bigg\vert \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right),$

si ottiene che

$\det(L)=1\cdot 1\cdot 7+(-1)\cdot 2\cdot 2+3\cdot 1\cdot 0-3\cdot 1\cdot 2-1\cdot 2\cdot 0-(-1)\cdot 1\cdot 7=7-4-6+7=4.$

Osserviamo che $\det(L)\neq 0$ , dunque la matrice $L$ è invertibile.

Passiamo ora al calcolo della matrice inversa di $L$ .

Innanzitutto i minori $2\times 2$ di $L$ sono:

$\begin{align*} L_{11}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\\\\L_{21}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 3 \\ \ 0 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & \ 0 \end{array}\right),\\\\L_{31}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\L_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\L_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 1 & \ 1 \end{array}\right). \end{align*}$

Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

$\begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det L_{11}}{4}=\frac{7}{4},\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det L_{21}}{4}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4},\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det L_{31}}{4}=\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4},\\d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det L_{12}}{4}=-\frac{3}{4},\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det L_{22}}{4}=\frac{1}{4},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det L_{32}}{4}=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4},\\d_{31}&=(-1)^{3+1}\frac{\det L_{13}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\\d_{32}&=(-1)^{3+2}\frac{\det L_{23}}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},\\d_{33}&=(-1)^{3+3}\frac{\det L_{33}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \end{align*}$

Ma allora la matrice inversa di $L$ è

$L^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 7 / 4 & 7 / 4 & -5 / 4 \\ -3 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\ -1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right).$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $k\in\mathbb{R}$ e siano date le matrici:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{ccc}k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k\end{array}\right).$

Per quali valori di $k$ le due matrici sono contemporaneamente invertibili?

Svolgimento.

Sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Quindi, dobbiamo trovare i $k$ tali per cui $\det(A)\neq 0$ e $\det(B)\neq 0$ .

Cominciamo con la matrice $A$ . Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

$\begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)=\\&=1\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)+1\cdot\det \left(\begin{array}{ll} k & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\\&=1-4+2k=\\&=-3+2k. \end{align*}$

Quindi $A$ è invertibile se e solo se $k\neq\frac{3}{2}.$

Passiamo ora alla matrice $B$ . Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga, si ottiene che

$\begin{align*} \det(B)&=\det\left(\begin{array}{ccc} k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{array}\right)=\\&=(2k-2)\cdot \det\left(\begin{array}{ll} k & k \\ 1 & 2-k \end{array}\right)=\\&=(2k-2)(2k-k^{2}-k)=\\&=(2k-2)(-k^{2}+k)=\\&=2(k-1)(1-k)k. \end{align*}$

Segue che $B$ è invertibile se e solo se $k\neq 0,1.$

Possiamo quindi concludere che $A$ e $B$ sono invertibili se e solo se

$k\neq 0,1,\frac{3}{2}.$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Dire per quali valori di $k\in\mathbb{R}$ sono invertibili le seguenti matrici:

$\begin{align*} A&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right),\\\\B&=\left(\begin{array}{ccc} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right),\\\\C&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right),\\\\D&=\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right). \end{align*}$

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