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Algebra delle matrici 8 — calcolo della matrice inversa

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 8 — calcolo della matrice inversa

Questa raccolta propone 5 esercizi sul calcolo della matrice inversa. Di ogni esercizio viene proposta una soluzione completa, che permette al lettore di confrontare i risultati ottenuti con le tecniche da noi utilizzate. Segnaliamo anche la raccolta complementare Algebra delle matrici 6 che tratta il determinante e le matrici inverse. Auguriamo a tutti una buona lettura!

 

Introduzione

Leggi...

In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo della matrice inversa di una matrice. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali, Davide la Manna e Matteo Talluri.


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Stabilire se le seguenti matrici sono invertibili ed in caso affermativo, calcolarne l’inversa:

    \begin{align*} A&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\\\\ B&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right),\\\\ C&=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right),\\\\ D&=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right),\\\\ E&=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\\\\ F&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right),\\\\G&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right),\\\\H&=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),\\\\L&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right).\end{align*}

Premessa teorica.

Innanzitutto ricordiamo che una matrice quadrata A è invertibile se e solo se \det(A)\neq 0.

Inoltre, se A è invertibile, la sua matrice inversa D si ottiene mediante la formula:

    \[[D]_{i j}=(-1)^{i+j} \frac{\operatorname{det}\left(A_{j i}\right)}{\operatorname{det}(A)},\]

dove A_{ji} è il minore di A ottenuto cancellando la j-esima riga e la i-esima colonna.

Svolgimento per A.

Partiamo con la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right).\]

Innanzitutto vediamo se la matrice A è invertibile. Usando la formula per il calcolo del determinante di una matrice quadrata 2\times 2, calcoliamo il determinante di A.

    \begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\\&=1\cdot 1-2\cdot 1=\\&=1-2=\\&=-1. \end{align*}

Essendo \det(A)\neq 0, A è invertibile, quindi ammette un’inversa.

Applicando la regola per il calcolo dell’inversa indicata sopra, troviamo innanzitutto i minori:

    \begin{align*} A_{11}&=(1),\\A_{12}&=(1),\\A_{21}&=(2),\\A_{22}&=(1). \end{align*}

Segue quindi che:

    \begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(A_{11})}{-1}=-1,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(A_{21})}{-1}=2,\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(A_{12})}{-1}=1,\\ d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(A_{22})}{-1}=-1. \end{align*}

Quindi l’inversa di A sarà:

    \[A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right).\]

    \[\]

    \[\]

Svolgimento alternativo 1 per A.

Esiste una soluzione alternativa per il calcolo di A^{-1} in cui viene usata la definizione di inversa di una matrice, ovvero

    \[AA^{-1}=I\]

con I la matrice identità.

La matrice A^{-1} sarà quindi una matrice della forma

    \[A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\]

tale che

    \[AA^{-1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a+2c & b+2d \\ a+c & b+d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).\]

Da a+c=0 segue che a=-c, quindi a+2c=a-2a=-a=1, da cui a=-1 e c=1.

Da b+2d=0 segue che b=-2d, quindi b+d=-2d+d=-d=1, da cui d=-1 e b=2.

Possiamo quindi concludere che

    \[A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right)\]

.

Svolgimento alternativo 1 per A.

Vediamo un terzo metodo per il calcolo dell’inversa di A, che però è valido solo per matrici 2\times 2.

In generale, data una matrice quadrata 2\times 2

    \[\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\]

con ad-bc\neq 0, essa è invertibile in quanto il suo determinante non è nullo e la sua inversa è

    \[\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right).\]

Quindi, siccome nel nostro caso

    \[A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\]

e \det(A)=1-2=-1\neq 0, la sua inversa sarà:

    \[A^{-1}=\frac{1}{-1}\cdot\left(\begin{array}{ll} \ 1 & -2 \\ -1 & \ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} -1 & \ 2 \\ \ 1 & -1 \end{array}\right).\]

Svolgimento per B.

Consideriamo la matrice

    \[B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right).\]

Per vedere se B è invertibile, calcoliamo il determinante di B.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ha che

    \begin{align*} \det(B)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 1 & 2 \end{array}\right)-1\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=-2-1-(2-2)=\\&=-3. \end{align*}

Poichè \det(B)\neq 0, allora la matrice B è invertibile.

Analogamente a prima, cominciamo col determinare i minori 2\times 2 di B:

    \begin{align*} B_{11}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & \ 1 \end{array}\right),\\\\B_{21}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right),\\\\B_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{31}&=\left(\begin{array}{ll} \ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\\\\B_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & \ 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right). \end{align*}

Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

    \begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det B_{11}}{-3}=\frac{-2-1}{-3}=1,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det B_{21}}{-3}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3},\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det B_{31}}{-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3},\\d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det B_{12}}{-3}=0,\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det B_{22}}{-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det B_{32}}{-3}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3},\\d_{31}&=(-1)^{3+1}\frac{\det B_{13}}{-3}=\frac{3}{-3}=-1,\\d_{32}&=(-1)^{3+2}\frac{\det B_{23}}{-3}=-\frac{-1}{-3}=-\frac{1}{3},\\d_{33}&=(-1)^{3+3}\frac{\det B_{33}}{-3}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}. \end{align*}

Segue quindi che la matrice inversa di B è

    \[B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 / 3 & -1 / 3 \\ 0 & -2 / 3 & 1 / 3 \\ -1 & -1 / 3 & 2 / 3 \end{array}\right).\]

Svolgimento per C.

Consideriamo infine la matrice

    \[C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right).\]

Per vedere se C è invertibile, calcoliamo il determinante di C usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla quarta colonna.

    \begin{align*} \det(C)&=\det\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)-(-2)\cdot\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ \ 2 & 1 \end{array}\right)-2\cdot 2\det\left(\begin{array}{ll} \ 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)+2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right) + \\ & \quad +2\cdot\det \left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right)+2\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot(-1-2)-4\cdot (2+1)+2\cdot (2-1)+2\cdot (4-2)+2\cdot(2-2)=\\&=6-12+2+4=\\&=0. \end{align*}

Essendo \det(C)=0, la matrice C non è invertibile, quindi non ammette l’inversa.

Svolgimento per D.

Consideriamo la matrice

    \[D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right).\]

Applicando la formula per il calcolo del determinante di una matrice quadrata 2\times 2, si osserva che

    \[\det(D)=-1-4=-5.\]

Essendo \det(D)\neq 0, la matrice D è invertibile.

Calcoliamo ora l’inversa di D mediante la formula citata all’inizio.

Innanzitutto i minori di D sono:

    \begin{align*} D_{11}&=(-1),\\D_{12}&=(2),\\D_{21}&=(2),\\D_{22}&=(1). \end{align*}

Segue che

    \begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(D_{11})}{-5}=\frac{1}{5},\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(D_{21})}{-5}=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5},\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(D_{12})}{-5}=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5},\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(D_{22})}{-5}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}. \end{align*}

Possiamo quindi concludere che

    \[D^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 / 5 & 2 / 5 \\ 2 / 5 & -1 / 5 \end{array}\right).\]

Svolgimento per E.

Consideriamo la matrice

    \[E=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).\]

Innanzitutto osserviamo che E è una matrice diagonale, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero \det(E)=3. Essendo \det(E)\neq 0, la matrice E è invertibile.

Passiamo ora al calcolo dell’inversa di E.

In generale, data E una matrice quadrata diagonale, l’inversa di E è una matrice anch’essa diagonale avente come elementi sulla diagonale i reciproci degli elementi sulla diagonale di E.

Quindi, nel nostro caso si ha che

    \[E^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 / 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).\]

Svolgimento per F.

Consideriamo la matrice

    \[F=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right).\]

Applicando la formula del calcolo del determinante di una matrice quadrata 2\times 2, si ottiene che

    \[\det(F)=3-2=1.\]

Poichè \det(F)\neq 0 segue che F è invertibile

Calcoliamo ora l’inversa di F.

I minori di F sono:

    \begin{align*} F_{11}&=(3),\\F_{12}&=(2),\\F_{21}&=(1),\\F_{22}&=(1). \end{align*}

Segue che

    \begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det(F_{11})}{1}=3,\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det(F_{21})}{1}=-1,\\ d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det(F_{12})}{1}=-2,\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det(F_{22})}{1}=1. \end{align*}

Quindi

    \[F^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right).\]

Svolgimento per G.

Consideriamo la matrice

    \[G=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right).\]

La matrice G è una matrice triangolare superiore, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero

    \[\det(G)=1\cdot 2\cdot (-5)=-10.\]

Essendo \det(G)\neq 0 si ha che G è invertibile.

Passiamo ora al calcolo dell’inversa di G.

I minori 2\times 2 di G sono:

    \begin{align*} G_{11}&=\left(\begin{array}{ll} 2 & \ 1 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 0 & \ 1 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\\\\G_{21}&=\left(\begin{array}{ll} -4 & \ 2 \\ \ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & \ 2 \\ 0 & -5 \end{array}\right),\\\\G_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 0 & \ 0 \end{array}\right),\\\\G_{31}&=\left(\begin{array}{ll} -4 & 2 \\ \ 2 & 1 \end{array}\right),\\\\G_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\\\\G_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 0 & \ 2 \end{array}\right). \end{align*}

Essendo la matrice G triangolare superiore, l’inversa G^{-1} sarà anche essa una matrice triangolare superiore i cui elementi diagonali sono i reciproci degli elementi diagonali di G. Sulla base delle precedenti osservazioni, la matrice G^{-1} sarà della forma

    \[G^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & d_{1,2} & d_{1,3} \\ 0 & 1/2 & d_{2,3} \\ 0 & 0 & -1/5 \end{array}\right).\]

Troviamo ora i valori di d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3}. Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

    \begin{align*} d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det G_{21}}{-10}=-\frac{20}{-10}=2,\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det G_{31}}{-10}=\frac{-8}{-10}=\frac{4}{5},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det G_{32}}{-10}=-\frac{1}{-10}=\frac{1}{10}. \end{align*}

Segue che

    \[G^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4/5 \\ 0 & 1/2 & 1/10 \\ 0 & 0 & -1/5 \end{array}\right).\]

Svolgimento per H.

Consideriamo la matrice

    \[H=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right).\]

H è una matrice diagonale, quindi il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, ovvero

    \[\det(H)=-2\cdot 1\cdot 3=-6.\]

Essendo \det(H)\neq 0, si ha che H è invertibile.

Analogamente a quanto detto prima per le matrici diagonali, la matrice inversa di H sarà

    \[H^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{array}\right).\]

Svolgimento per L.

Consideriamo infine la matrice

    \[L=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right).\]

Usando la formula di Sarrus per il calcolo del determinante di una matrice 3\times 3, dato

    \[\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\Bigg\vert \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\]

si ottiene che

    \[\det(L)=1\cdot 1\cdot 7+(-1)\cdot 2\cdot 2+3\cdot 1\cdot 0-3\cdot 1\cdot 2-1\cdot 2\cdot 0-(-1)\cdot 1\cdot 7=7-4-6+7=4.\]

Osserviamo che \det(L)\neq 0, dunque la matrice L è invertibile.

Passiamo ora al calcolo della matrice inversa di L.

Innanzitutto i minori 2\times 2 di L sono:

    \begin{align*} L_{11}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{12}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{13}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\\\\L_{21}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 3 \\ \ 0 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{22}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right),\\\\L_{23}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & \ 0 \end{array}\right),\\\\L_{31}&=\left(\begin{array}{ll} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\L_{32}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right),\\\\L_{33}&=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 1 & \ 1 \end{array}\right). \end{align*}

Applicando la formula per il calcolo dell’inversa, si ha che:

    \begin{align*} d_{11}&=(-1)^{1+1}\frac{\det L_{11}}{4}=\frac{7}{4},\\ d_{12}&=(-1)^{1+2}\frac{\det L_{21}}{4}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4},\\ d_{13}&=(-1)^{1+3}\frac{\det L_{31}}{4}=\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4},\\d_{21}&=(-1)^{2+1}\frac{\det L_{12}}{4}=-\frac{3}{4},\\d_{22}&=(-1)^{2+2}\frac{\det L_{22}}{4}=\frac{1}{4},\\d_{23}&=(-1)^{2+3}\frac{\det L_{32}}{4}=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4},\\d_{31}&=(-1)^{3+1}\frac{\det L_{13}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\\d_{32}&=(-1)^{3+2}\frac{\det L_{23}}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},\\d_{33}&=(-1)^{3+3}\frac{\det L_{33}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \end{align*}

Ma allora la matrice inversa di L è

    \[L^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 7 / 4 & 7 / 4 & -5 / 4 \\ -3 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 \\ -1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right).\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia k\in\mathbb{R} e siano date le matrici:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)\]

e

    \[B=\left(\begin{array}{ccc}k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k\end{array}\right).\]

Per quali valori di k le due matrici sono contemporaneamente invertibili?

Svolgimento.

Sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Quindi, dobbiamo trovare i k tali per cui \det(A)\neq 0 e \det(B)\neq 0.

Cominciamo con la matrice A. Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

    \begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)=\\&=1\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)+1\cdot\det \left(\begin{array}{ll} k & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\\&=1-4+2k=\\&=-3+2k. \end{align*}

Quindi A è invertibile se e solo se k\neq\frac{3}{2}.

Passiamo ora alla matrice B. Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga, si ottiene che

    \begin{align*} \det(B)&=\det\left(\begin{array}{ccc} k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{array}\right)=\\&=(2k-2)\cdot \det\left(\begin{array}{ll} k & k \\ 1 & 2-k \end{array}\right)=\\&=(2k-2)(2k-k^{2}-k)=\\&=(2k-2)(-k^{2}+k)=\\&=2(k-1)(1-k)k. \end{align*}

Segue che B è invertibile se e solo se k\neq 0,1.

Possiamo quindi concludere che A e B sono invertibili se e solo se

    \[k\neq 0,1,\frac{3}{2}.\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dire per quali valori di k\in\mathbb{R} sono invertibili le seguenti matrici:

    \begin{align*} A&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right),\\\\B&=\left(\begin{array}{ccc} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right),\\\\C&=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right),\\\\D&=\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right). \end{align*}

Svolgimento per A.

Consideriamo la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right).\]

Osserviamo che se k=0 la terza riga è nulla e quindi la matrice non è invertibile. Per k \neq 0, osserviamo che la seconda riga (4,5,6) si può scrivere come combinazione lineare della prima riga e della terza riga, ovvero

    \[(4,5,6)=(1,2,3)+\frac{3}{k}\cdot (k,k,k).\]

Dunque le righe di A non sono linearmente indipendenti, quindi il rango è minore di 3 e perciò la matrice non è invertibile per alcun valore di k.

    \[\]

Svolgimento alternativo per A.

Esiste una soluzione alternativa in cui \det(A) viene calcolato usando il classico sviluppo secondo Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata.

Più precisamente, sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza riga si ottiene che

    \begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right)=\\&=k\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}\right)-k\cdot\det \left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array}\right)+k\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}\right)=\\&=k\cdot(12-15)-k\cdot(6-12)+k\cdot(5-8)=\\&=-3k+6k-3k=\\&=0. \end{align*}

Essendo \det(A)=0 per ogni k, A non è mai invertibile.

Svolgimento per B.

Consideriamo la matrice

    \[B=\left(\begin{array}{lll} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right).\]

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza colonna si ha

    \begin{align*} \det(B)&=\det\left(\begin{array}{lll} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 2 & k \\ k & 2 \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot(4-k^{2})=\\&=k(2-k)(2+k). \end{align*}

Ne segue che B è invertibile se e solo se

    \[k\neq 0,\pm 2.\]

Svolgimento per C.

Consideriamo la matrice

    \[C= \left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right).\]

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda colonna si ha

    \begin{align*} \det(C)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot\det\left(\begin{array}{ll} 1 & -k \\ k & -k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot(-k+k^{2})=\\&=k^{2}(k-1). \end{align*}

Segue che C è invertibile se e solo se

    \[k\neq 0,1.\]

Svolgimento per D.

Consideriamo la matrice

    \[D=\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right).\]

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

    \begin{align*} \det(D)&=\det\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot\det\left(\begin{array}{ll} k & 1 \\ 1 & k \end{array}\right)-\det \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & k \end{array}\right)+\det\left(\begin{array}{ll} 1 & k \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot(k^{2}-1)-(k-1)+(1-k)=\\&=k\cdot(k-1)(k+1)-2(k-1)=\\&=(k-1)(k^{2}+k-2)=(k-1)^2(k+2). \end{align*}

Quindi \det(D)\neq 0 se e solo se k\neq 1,-2, quindi D è invertibile se e solo se

    \[k\neq 1,-2.\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dire per quali valori di a,b\in\mathbb{R} la seguente matrice è invertibile:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right).\]

Svolgimento.

Consideriamo la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right).\]

Osserviamo che A è una matrice di Vandermonde 3\times 3, ovvero della forma

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2} \\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} \end{array}\right),\]

e, per la teoria sulle matrici di Vandermonde, il suo determinante è dato dalla formula

    \[\operatorname{det}(A)=\prod_{1 \leq i<j \leq 3}\left(\alpha_j-\alpha_i\right)=(1-b)(1-a)(b-a).\]

Quindi possiamo concludere che A è invertibile se e solo se

    \[a\neq 1,b\neq 1,b\neq a.\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dire per quali valori di \alpha\in\mathbb{R} la seguente matrice è invertibile:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right).\]

Svolgimento.

Consideriamo la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right).\]

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

    \begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right)=\\\\&=\sin\alpha\cdot\det\left(\begin{array}{ll} \ \sin\alpha & \sin\alpha \\ -\cos\alpha & \sin\alpha \end{array}\right)-\cos\alpha\cdot\det \left(\begin{array}{ll} -\cos\alpha & \sin\alpha \\ \ \sin\alpha & \sin\alpha \end{array}\right)+\\\\ &+\cos\alpha\cdot\det\left(\begin{array}{ll} -\cos\alpha & \ \sin\alpha \\ \ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{array}\right)=\\\\&=\sin\alpha\cdot (\sin^{2}\alpha+\cos\alpha\sin\alpha)-\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha\sin\alpha-\sin^{2}\alpha)+\\ &+\cos\alpha\cdot(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=\\&=\sin^{3}\alpha+\cos\alpha\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\sin\alpha+\cancel{\cos\alpha\sin^{2}\alpha}+\cos^{3}\alpha-\cancel{\cos\alpha\sin^{2}\alpha}=\\&=\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha+\cos\alpha\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\sin\alpha=\\ & = \sin^2 \alpha\,(\sin \alpha + \cos \alpha)+ \cos^2 \alpha\,(\sin \alpha + \cos \alpha)=\\ &=\sin \alpha+\cos\alpha. \end{align*}

Segue che \det(A)\neq 0 se e solo se \alpha \neq \frac{3}{4} \pi+k \pi, k \in \mathbb{Z}, quindi la matrice A è invertibile se e solo se

    \[\alpha \neq \frac{3}{4} \pi+k \pi, \;k \in \mathbb{Z}.\]

 

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