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Algebra delle matrici 6 – determinante e matrice inversa

Operazioni e proprietà

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In questo articolo presentiamo 7 esercizi sul calcolo del determinante e della matrice inversa di matrici. Gli esercizi sono corredati di soluzioni, riportate in maniera a volte sintetica, a volte utilizzando concetti generali e meno noti, con lo scopo di fornire al lettore una panoramica di strumenti più ampia e per permettergli di lavorare autonomamente. Ricordiamo la raccolta Algebra delle matrici 8 – calcolo dell’inversa per ulteriori esercizi sul medesimo argomento e Algebra delle matrici 7 – determinante, orlati e regola di Cramer per altri esercizi su temi collegati al tema del determinante e al calcolo dell’inversa.

 

Autori

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L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi su determinante e matrice inversa

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date

A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix},

calcolare
 

  1. A^{-1},
  2. B^{-1},
  3. (AB)^{-1},
  4. \det(2BA^{-1}),
  5. (A^t)^{-1}.

Svolgimento punto 1.

A^{-1}=A.

Svolgimento punto 2.

B^{-1}=B.

Svolgimento punto 3.

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Svolgimento punto 4.

\det(2BA^{-1})=2^2 \, \det(B)\,\det(A)^{-1}=4(-1)(-1)=4.

Svolgimento punto 5.

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t=A^t=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Disegnare i parallelogrammi/parallelepipedi costruiti sui seguenti insiemi di vettori e calcolarne le aree/volumi:

\[\left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) \right\}\]

\[\left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 9 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \right\}\]

Premessa teorica.

Ricordiamo che, dati n vettori linearmente indipendenti v_1,\dots,v_n \in \R^n, il volume (n-dimensionale) del parallelepipedo (n-dimensionale) costruito su tali vettori è la quantità

\[\operatorname{Vol}_n(P)=|\det(A)|\]

(dove A è la matrice avente i v_i come colonne o come righe).

Svolgimento.

Rispettivamente 1,2,6; 8,2.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date le matrici

\[A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & -5 \end{pmatrix} \;\textit{ e }\; B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \end{pmatrix}\]

 

  1. Calcolare il determinante di A e B usando sia l’algoritmo di Gauss che lo sviluppo di Laplace;
  2. Verificare il teorema di Binet: \det(AB)=\det(A)\det(B).

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