Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Algebra delle matrici 6 – determinante e matrice inversa

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 6 – determinante e matrice inversa

In questo articolo presentiamo 7 esercizi sul calcolo del determinante e della matrice inversa di matrici. Gli esercizi sono corredati di soluzioni, riportate in maniera a volte sintetica, a volte utilizzando concetti generali e meno noti, con lo scopo di fornire al lettore una panoramica di strumenti più ampia e per permettergli di lavorare autonomamente. Ricordiamo la raccolta Algebra delle matrici 8 – calcolo dell’inversa per ulteriori esercizi sul medesimo argomento e Algebra delle matrici 7 – determinante, orlati e regola di Cramer per altri esercizi su temi collegati al tema del determinante e al calcolo dell’inversa.

 

Autori

Leggi...

L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi su determinante e matrice inversa

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date

A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix},

calcolare
 

  1. A^{-1},
  2. B^{-1},
  3. (AB)^{-1},
  4. \det(2BA^{-1}),
  5. (A^t)^{-1}.

Svolgimento punto 1.

A^{-1}=A.

Svolgimento punto 2.

B^{-1}=B.

Svolgimento punto 3.

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Svolgimento punto 4.

\det(2BA^{-1})=2^2 \, \det(B)\,\det(A)^{-1}=4(-1)(-1)=4.

Svolgimento punto 5.

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t=A^t=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Disegnare i parallelogrammi/parallelepipedi costruiti sui seguenti insiemi di vettori e calcolarne le aree/volumi:

    \[\left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) \right\}\]

    \[\left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 9 \end{array}\right) \right\}, \; \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right),\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \right\}\]

Premessa teorica.

Ricordiamo che, dati n vettori linearmente indipendenti v_1,\dots,v_n \in \R^n, il volume (n-dimensionale) del parallelepipedo (n-dimensionale) costruito su tali vettori è la quantità

    \[\operatorname{Vol}_n(P)=|\det(A)|\]

(dove A è la matrice avente i v_i come colonne o come righe).

Svolgimento.

Rispettivamente 1,2,6; 8,2.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date le matrici

    \[A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & -5 \end{pmatrix} \;\textit{ e }\; B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \end{pmatrix}\]

 

  1. Calcolare il determinante di A e B usando sia l’algoritmo di Gauss che lo sviluppo di Laplace;
  2. Verificare il teorema di Binet: \det(AB)=\det(A)\det(B).

Svolgimento punto 1.

Si ha \det(A)=72, \det(B)=2;

Svolgimento punto 2.

Si ha AB= \begin{pmatrix} 0 & 5 & 21 \\ 3 & 7 & 35 \\ -6 & -1 & -25 \end{pmatrix}.

Sviluppando per semplicità rispetto alla prima colonna (o alla prima riga) troviamo

\det(AB)= 144= \det(A)\det(B).


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare il determinante di

    \[A= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 0 & 1 & 0 &-2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2& 3 & 0 & 1 & 0 &-7 \\ 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -4& 0 & -1& 0 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Calcolo del determinante.

Sviluppando nell’ordine lungo la seconda riga, lungo la quinta colonna e lungo l’ultima riga otteniamo

\det(A)=-6\det\begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -7 \\ 1 & -4 & -1 & 9 \end{pmatrix}

Sottraendo la terza riga dalla prima e sommandola alla quarta otteniamo

\det(A)=-6\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -7 \\ 3 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}=-6\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Con lo sviluppo di Laplace o con il metodo di Gauss otteniamo che il determinante dell’ultima matrice 3 \times 3 è uguale a -5. Dunque

\det(A)=(-6)(-5)=30.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare il determinante di

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k & -1 \\ 1 & 1 &-1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

e determinare per quali valori di k\in \R la matrice A risulta invertibile.

Svolgimento.

Questo è un caso in cui è preferibile procedere con gli sviluppi di Laplace, in quanto l’algoritmo di Gauss porterebbe a una serie di sottocasi scomodi da trattare. Cominciamo sviluppando lungo la prima riga e poi sommando il doppio della terza colonna alla prima colonna del minore ottenuto

\det(A)=\det\begin{pmatrix} 1 & k & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} -1 & k & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}= -(1-3k)=3k-1.

Dunque A è invertibile sse k\neq \frac{1}{3}.


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia A \in \mathcal{M}(n,n;\mathbb{R}) una matrice della forma

    \[A=\left(\begin{array}{c|c} B & C \\ \hline 0 & D \end{array}\right)\]

con B\in\mathcal{M}(h,h;\mathbb{R}) e D\in\mathcal{M}(n-h,n-h;\mathbb{R}), dove 0<h<n.
Dimostrare che \det(A)=\det(B)\det(D).

Suggerimento

Fare prima il caso in cui o B o D è diagonale. Per il caso generale osservare che se B è invertibile allora

    \[\left(\begin{array}{c|c} B & C \\ \hline 0 & D \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c|c} B & 0 \\ \hline 0 & \mathbbm{1}_{n-h} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} \mathbbm{1}_h & B^{-1}C \\ \hline 0 & D \end{array}\right).\]


Svolgimento.

Se \det(B)=0 allora anche \det(A)=0 poichè le prime h colonne di A sono linearmente dipendenti, in quanto lo sono le colonne di B. Il caso diagonale segue subito dallo sviluppo di Laplace rispetto le prime h colonne (o rispetto le ultime n-h righe).

Infine concludiamo grazie al suggerimento (osservando che le matrici identità sono diagonali) e al teorema di Binet.


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia \operatorname{Cof}(A) la matrice cofattore di A, cioè la matrice che ha come entrata (i,j) il “complemento algebrico” (-1)^{i+j}\det(\widehat{A}_{ji}).

 

  1. Dimostrare che A\cdot \operatorname{Cof}(A)= \det(A)I_n e usare la formula precedente per calcolare l’inversa della matrice

        \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3& 1 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}\]

  2. Calcolare l’inversa della matrice al punto precedente con il metodo di Gauss

        \[$\displaystyle \left( \begin{array}{c|c} A & \mathbbm{1} \end{array} \right) \curvearrowright \left( \begin{array}{c|c} \mathbbm{1} & A^{-1} \end{array} \right)$\]

  3. Risolvere, usando l’inversa di A, il sistema lineare Ax=b, dove b=(1,1,1).

Svolgimento punto 1.

Si ha che

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ik}\det(A_{jk})=\begin{cases} 0, & \mbox{se } i\neq j; \\ \det(A), & \mbox{se } i=j. \end{cases} \end{equation*}

Se i=j allora la formula coincide con lo sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima riga. Se i\neq j allora riconosciamo lo sviluppo di Laplace lungo la j-esima riga di una matrice avente la j-esima riga uguale alla i-esima riga e dunque il determinante è zero;

Svolgimento punto 2.

A^{-1}=\begin{pmatrix} {7}/{5} & 0 & -{2}/{5} \\ {8}/{15} & {1}/{3} & -{1}/{5} \\ -{1}/{5} & 0 & {1}/{5} \end{pmatrix}.

Svolgimento punto 3.

Abbiamo che x=A^{-1}b, ovvero x=(1, 2/3, 0).

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 5 PDF con esercizi misti risolti, ricchi di dettagli, per migliorare la tua comprensione del calcolo del determinante e dell’inversa di una matrice.

 
 

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






Document