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Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto

In questa dispensa presentiamo 18 esercizi completamente risolti sull’algebra delle matrici. Esploriamo le operazioni di somma, differenza e prodotto righe per colonne di matrici, fornendo esempi pratici che spiegano i concetti teorici. Se soluzioni sono, dove necessario, corredate da note aggiuntive che chiariscono ulteriormente degli aspetti interessanti.

Segnaliamo inoltre le raccolte Algebra delle matrici 2 – calcolo del determinante e Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango per ulteriori esercizi su temi collegati.
Auguriamo a tutti una buona lettura.

 

Algebra matrici: sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sulle proprietà e operazioni tra matrici. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

 

Algebra matrici: autori e revisori

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Autore: Matteo Talluri, Silvia Lombardi

Revisori: Jacopo Garofali, Nicola Fusco


 

Prerequisiti teorici sull’algebra delle matrici

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Un vettore è un caso particolare di una matrice dove una delle dimensioni è 1. Se una matrice ha 1 riga è un vettore riga, se invece ha 1 colonna è un vettore colonna. Data una matrice A con m righe e n colonne e una matrice B con n righe e p colonne, la matrice AB è

\[(AB)_{i,j} = \left( \sum_{k=1}^n a_{i,k} \, b_{k,j} \right)_{i,j}, \quad i=1, \dots, m, \; j=1,\dots, p.\]

dove ricordiamo che, data una matrice A, indichiamo con a_{i,j} l’elemento di A posto nella i-esima riga e j-esima colonna. La moltiplicazione tra matrici, e quindi anche tra vettori, è dunque il prodotto riga per colonna. In generale il prodotto tra matrici è un’operazione

\[\mathcal{M}_{a\times b} \times \mathcal{M}_{b \times c} \longrightarrow \mathcal{M}_{a \times c}, \quad (A,B) \mapsto AB,\]

dove abbiamo denotato con \mathcal{M}_{a\times b} l’insieme delle matrici con a righe e b colonne.

La potenza di una matrice quadrata n\times n è la moltiplicazione della matrice stessa tante volte quando è l’esponente.

Data la matrice

\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix},\]

la matrice trasposta A^T si ottiene scambiando le righe con le colonne

\[A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}.\]


 

Testi degli esercizi sull’algebra delle matrici

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente prodotto tra vettori

\[\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento.

Occupiamoci del nostro esercizio:

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 & 1 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & 1 \cdot 1\\\\ -2 \cdot (-1) & -2 \cdot 0 & -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & -2 \cdot 1\\\\ 0 \cdot (-1) & 0 \cdot 0 & 0 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & 0 \cdot 1\\\\ \pi \cdot (-1) & \pi \cdot 0 & \pi \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & \pi \cdot 1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -\pi & 0 & -\dfrac{\pi }{2} & \pi \end{pmatrix}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente prodotto tra vettori

\[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\0\\\\ -\dfrac{1}{2}\\\\1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento.

Analogamente a prima,

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\0\\\\ -\dfrac{1}{2}\\\\1 \end{pmatrix} & = \left( 1 \cdot (-1) + (-2)\cdot 0 + 0 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \pi \cdot 1 \right) = \\\\ &= \left( -1 +\pi \right). \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare l’espressione matriciale

\[\left[ \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix}^2 - \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ -1&-1 \end{pmatrix}^T.\]

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