Problemi risolti su endomorfismi e diagonalizzazione

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In questo articolo troverete una raccolta di 16 esercizi sugli endomorfismi e la diagonalizzazione, dettagliatamente svolti e corredati di tutti i passaggi necessari. Gli esercizi sono pensati per un corso di algebra lineare, ideali per studenti di ingegneria, fisica e matematica, con l’obiettivo di affinare competenze e consolidare la comprensione di questi argomenti fondamentali.

Oltre agli esercizi, il documento include una sezione teorica che esplora definizioni, proprietà e teoremi essenziali sugli endomorfismi e la diagonalizzazione. Sono presenti anche le notazioni adottate e una bibliografia per ulteriori approfondimenti. Segnaliamo inoltre la raccolta di Esercizi sulle applicazioni lineari per esercizi di base sul tema. Ci auguriamo che questa risorsa sia utile per il vostro apprendimento. Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Daniele Volpe.

Revisori: Luigi De Masi, Matteo Talluri, Sara Sottile, Valerio Brunetti.

Notazioni

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$\mathbb{R}$	campo dei numeri reali
$\mathbb{C}$	campo dei numeri complessi
$\mathbb{N}$	insieme numeri naturali (incluso lo zero)
$\mathbb{K}$	generico campo
$V$	generico spazio vettoriale
$\dim V$	dimensione dello spazio vettoriale $V$
$\mathbf{0}_V\in V$	vettore nullo in $V$
$\mathbf{0}$	vettore nullo dello spazio vettoriale in esame
$\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$	spazio vettoriale delle matrici $m\times n$ a coefficienti reali
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$	spazio vettoriale delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti reali
$\operatorname{Id}$	matrice identità di dimensione deducibile dal contesto
$\operatorname{rnk}A$	rango della matrice quadrata $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
$\det A$	determinante della matrice quadrata $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
$\mathbb{R}_{\leq k}[x]$	spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella variabile $x$ aventi grado al più $k\in\mathbb{N}$
$\operatorname{ma(\lambda)}$	molteplicità algebrica dell’autovalore $\lambda$
$\operatorname{mg(\lambda)}$	molteplicità geometrica dell’autovalore $\lambda$
$\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V$	sottospazio vettoriale di $V$ generato dai vettori $v_1,\dots,v_n\in V$
$E(\lambda)\subseteq V$	autospazio relativo all’autovalore $\lambda$

Richiami di teoria su endomorfismi e diagonalizzazione

In questa sezione richiameremo brevemente i concetti di teoria necessari alla comprensione e allo svolgimento degli esercizi proposti, i quali saranno incentrati sulla diagonalizzazione di endomorfismi di spazi vettoriali finito dimensionali. Tutti i risultati riportati possono essere trovati in un qualsiasi testo di base di algebra lineare e geometria: per il lettore interessato, ne sono consigliati tre in bibliografia.

Generalità sugli omomorfismi di spazi vettoriali.

Ricordiamo innanzitutto le definizioni delle principali tipologie di applicazioni fra spazi vettoriali ed i concetti di nucleo ed immagine.

Definizione 1.1. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $\mathbb{K}$ . Una funzione

$F \colon V \to W$

è detta applicazione lineare o omomorfismo se soddisfa le seguenti condizioni:

Additività: $F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)$ per ogni $v_1,v_2 \in V$ .
Omogeneità: $F(kv) = k F(v)$ per ogni $v\in V$ e per ogni $k \in \mathbb{K}$ .

Osservazione 1.2 Si noti che le due condizioni di addività e omogeneità possono essere sintetizzate in una sola proprietà, detta linearità :

$f(k_1 v_1+k_2 v_2)=k_1 f(v_1)+k_2 f(v_2),$

per ogni $v_1,v_2\in V$ e $k_1,k_2\in\mathbb{K}$ .

Definizione 1.3. Si definisce immagine dell’applicazione $f\colon V\to W$ il sottoinsieme del codominio $\operatorname{Im}(f)\subseteq W$ :

$\operatorname{Im}(f)=\{w\in W\colon\exists v\in V\textrm{ tale che } w=f(v) \}.$

Si definisce immagine del sottoinsieme del dominio $V'\subseteq V$ il sottoinsieme del codominio $f(V')\subseteq W$ :

$f(V')=\{w\in W\colon\exists v\in V'\textrm{ tale che } w=f(v) \}.$

Si definisce preimmagine del sottoinsieme del codominio $W'\subseteq W$ il sottoinsieme del dominio $f^{-1}(W')\subseteq V$ :

$f^{-1}(W')=\{v\in V\colon\exists w\in W \textrm{ tale che } f(v)=w\}.$

Si definisce invece nucleo dell’applicazione $f\colon V\to W$ il sottoinsieme del dominio $\operatorname{Ker}(f)\subseteq V$ :

$\operatorname{Ker}(f)=\{v\in V\colon f(v)=\mathbf{0}_W\}..$

Osservazione 1.4 Si prova agevolmente che i due insiemi $\operatorname{Ker}(f)$ e $\operatorname{Im}(f)$ sono sottospazi vettoriali rispettivamente del dominio e del codominio.

Ricordiamo adesso che a livello insiemistico una funzione $f\colon V\to W$ è detta:

iniettiva se $f(v_1)=f(v_2)\iff v_1=v_2$ ;
suriettiva se ogni $w\in W$ è tale che $w=f(v)$ per qualche $v\in V$ o, equivalentemente, se $\operatorname{Im}(f)=W$ ;
biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

In particolare le funzioni biettive sono dette invertibili, poiché si può provare che la biettività è equivalente all’esistenza di un inverso unico. Per approfondire, vedere la proposizione 2.27 della dispensa sulle funzioni elementari [4].

Un’applicazione lineare $f\colon V\to W$ è detta

isomorfismo se è biettiva;
endomorfismo se dominio e codominio coincidono, i.e $V=W$ ;
automorfismo se è un endomorfismo biettivo.

Assumiamo che i due spazi vettoriali $V$ e $W$ abbiano dimensione finita e fissiamo $\operatorname{dim}V=n$ e $\operatorname{dim}W=m$ . Ricordiamo che scelte la base $\mathcal{B}_V=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ di $V$ e la base $\mathcal{B}_W=\{w_1,w_2,...,w_n\}$ di $W$ , all’applicazione può essere associata un’unica matrice $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ di entrate $A_{ij}\in\mathbb{K}$ . Per ogni vettore $v\in V$ infatti si ha

$f(v)=f\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_j v_j\right)=\sum_{j=1}^{n}\alpha_jf( v_j)= \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} \alpha_j f_i ( v_j )w_i.$

Al primo passaggio si è usata la possibilità di decomporre $v$ in modo unico in una combinazione lineare di vettori della base di $V$ con coefficienti $\alpha_j\in\mathbb{K}$ , al secondo passaggio la linearità di $f$ ed al terzo la possibilità di decomporre, le immagini dei vettori $f(v_j)$ in modo unico in combinazioni lineari dei vettori della base di $W$ con coefficienti $f_i(v_j)\in\mathbb{K}$ .

Definizione 1.5. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita $\operatorname{dim}V=n$ e $\operatorname{dim}W=m$ . Sia $f\colon V \rightarrow W$ un’applicazione lineare, siano inoltre $\mathcal{B}_V$ una base di $V$ e $\mathcal{B}_W$ una base di $W$ Definiamo matrice associata all’applicazione $f$ la matrice $A\in\mathcal{M}_{m\times n}({\mathbb{K}})$ avente per colonne le componenti nella base $\mathcal{B}_W$ delle immagini dei vettori della base $\mathcal{B}_V$ :

$A_{ij}=f_i(v_j).$

Notiamo che se $f\colon V\to V$ è un endomorfismo la matrice associata è quadrata.

Sintetizziamo nella seguente proposizione tutte le principali proprietà degli omomorfismi che verranno utilizzate negli esercizi proposti.

Proposizione 1.6. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita $\operatorname{dim}V=n$ e $\operatorname{dim}W=m$ . Sia $f\colon V \rightarrow W$ un’applicazione lineare e sia $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matrice associata ad $f$ rispetto a una base $\mathcal{B}_V$ di $V$ e a una base $\mathcal{B}_W$ di $W$ . Valgono le seguenti proprietà:

Il nucleo di $f$ è il sottospazio vettoriale di $V$ generato da vettori aventi per componenti nella base $\mathcal{B}_V$ un insieme massimale di $n-$ uple linearmente indipendenti che siano soluzioni del sistema lineare omogeneo
$Ax = 0,$

con $x\in\mathbb{K}^n$ .
L’immagine di $f$ è il sottospazio vettoriale di $W$ generato dai vettori aventi per componenti nella base $\mathcal{B}_W$ le $n$ $m-$ uple date dalle colonne di $A$ .
Il rango di $A$ è uguale al numero di colonne linearmente indipendenti di $A$ , dunque è uguale a $\operatorname{dim}\operatorname{Im}(f)$ .
$f$ è iniettivo se e solo se $\operatorname{Ker}(f)=\{\mathbf{0}_V\}.$
Vale la relazione:

(1) $\begin{equation*} \operatorname{dim}\operatorname{Ker}(f)+\operatorname{dim}\operatorname{Im}(f)=\operatorname{dim}V. \end{equation*}$
Nel caso in cui $V=W$ ed $f$ è quindi un endomorfismo, la relazione precedente implica che esso è iniettivo se e solo se è suriettivo. Il verificarsi di una delle due condizioni garantisce dunque che $f$ è un automorfismo. Ciò avviene se e solo se la matrice associata A è non singolare, ossia se e solo se $\det A \neq 0$ .

Inoltre, nello studio degli endomorfismi e delle matrici ad essi associati, sceglieremo sempre, a meno che non sia specificato, la stessa base $\mathcal{B}$ per dominio e codominio.

Enunciamo adesso, nel caso specifico di un endomorfismo, come sono legate le matrici associate ad esso rispetto a basi diverse.

Proposizione 1.7. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ di dimensione $\operatorname{dim}V=n$ , $f\colon V\to V$ un endomorfismo e siano inoltre $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ due basi di $V$ . Allora la matrice $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ associata ad $f$ nella base $\mathcal{B}$ e la matrice $A'\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ associata ad $f$ nella base $\mathcal{B}'$ sono legate dalla relazione

(2) $\begin{equation*} A=P^{-1}A'P \end{equation*}$

dove $P\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ è la matrice di passaggio da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ .

Due matrici quadrate generiche che soddisfano la relazione in proposizione 2 sono dette simili. Notiamo in particolare che, da una banale applicazione del teorema di Binet, segue che matrici simili hanno lo stesso determinante, quindi tutte le matrici associate alla stesso endomorfismo hanno lo stesso determinante.

Diagonalizzazione di endomorfismi.

Passiamo adesso all’argomento principale di tutti gli esercizi della dispensa. Ricordiamo brevemente le nozioni di autovettori ed autovalori di un endomorfismo.

Definizione 1.8. Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e $f\colon V \rightarrow V$ un endomorfismo. Si dice che $\lambda\in\mathbb{K}$ è un autovalore di $f$ se esiste un vettore non nullo $v \in V$ tale che

$f(v) = \lambda v.$

In tal caso, $v$ è detto autovettore di $f$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono necessariamente linearmente indipendenti, ma ad uno stesso autovettore $\lambda\in\mathbb{K}$ possono essere associati più autovettori linearmente indipendenti.

Chiameremo $E(\lambda)$ lo spazio vettoriale generato da un insieme massimale di autovettori linearmente indipendenti di $f$ relativi all’autovalore $\lambda$ , detto l’autospazio di $f$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Da adesso in poi sarà sempre preso in considerazione il caso in cui $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita $\operatorname{dim}V=n$ .

Proposizione 1.9. Sia $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ la matrice associata ad un endomorfismo $f\colon V\to V$ rispetto ad una generica base $\mathcal{B}$ , gli autovettori e gli autovalori possono essere ricavati nella seguente maniera:

Si calcola il polinomio caratteristico
$p(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda \operatorname{Id}).$
I valori di $\lambda$ che lo annullano sono gli autovalori di $f$ : $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{K}$ .
L’autospazio relativo al generico autovalore $\lambda_i\in\mathbb{K}$ è:
$E(\lambda_i)=\operatorname{Ker}(f-\lambda_i\operatorname{Id}).$

Dunque le componenti $x_i\in\mathbb{K}^n$ di un generico autovettore relativo a $\lambda_i$ , nella base $\mathcal{B}$ , si ricaveranno risolvendo il sistema lineare omogeneo:

$(A-\lambda_i \operatorname{Id})x_i=0.$

Il polinomio caratteristico gode inoltre delle proprietà riassunte nella seguente proposizione.

Proposizione 1.10. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimension finita ed $f\colon V\to V$ un endomorfismo. Il suo polinomio caratteristico soddisfa le proprietà elencate di seguito.

Il suo grado $n\in\mathbb{N}$ è pari alla dimensione dello spazio $V$ su cui è definito l’endomorfismo.
Non dipende dalla base scelta, ma caratterizza l’endomorfismo. Matrici simili, essendo associate allo stesso endomorfismo, hanno lo stesso polinomio caratteristico. In altre parole: condizione necessaria affinché due matrici siano simili e rappresentino lo stesso endomorfismo è che abbiano lo stesso polinomio caratteristico.
Il termine di grado $0$ coincide con il determinante della matrice associata $A$ .
Il termine di grado $n-1$ coincide con $(-1)^{n-1}\operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n a_{ii}$ .

Lo studio degli autovettori e degli autovalori si rivela cruciale nella ricerca, quando possibile, di una base nella quale la matrice associata all’applicazione abbia la forma più semplice possibile: quella diagonale.

Definizione 1.11. Un endomorfismo $f\colon V \rightarrow V$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$ tale che la matrice associata ad $f$ rispetto a tale base è una matrice diagonale o, equivalentemente, se la matrice ad esso associata rispetto ad una qualsiasi base è simile ad una matrice diagonale.

In particolare enunciamo il seguente cruciale risultato:

Teorema 1.12. Un endomorfismo $f\colon V\to V$ è diagonalizzabile se e solo se $V$ ammette una base $\mathcal{B}_D=\{v_1,..,v_n\}$ di autovettori di $f$ . Rispetto a tale base, detta base diagonalizzabile, la matrice associata ad $f$ avrà in diagonale gli autovalori:

$A_D=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\0&0&...&0\\0&0&...&\lambda_n \end{pmatrix}.$

Si ha inoltre

$A_D=PAP^{-1},$

dove $A$ è la matrice associata ad $f$ in una base $\mathcal{B}$ e $P$ è la matrice di passaggio da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}_D$ , avente per colonne le componenti degli autovettori di $f$ rispetto ai vettori della base $\mathcal{B}$ ed è detta matrice diagonalizzante.

Definiamo adesso molteplicità algebrica di un autovalore $\lambda_i\in\mathbb{K}$ , che indichiamo con $\operatorname{ma}(\lambda_i)$ , la molteplicità di $\lambda$ come radice del polinomio caratteristico, ovvero, più formalmente, il massimo numero naturale $n\in\mathbb{N}$ per cui $(\lambda-\lambda_i)^n$ divide il polinomio caratteristico.

Definiamo molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda\in\mathbb{K}$ , che indichiamo con $\operatorname{mg}(\lambda)$ , la dimensione dell’autospazio $E(\lambda)$ ad esso relativo:

(3) $\begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda)=\operatorname{dim}E(\lambda)=\operatorname{dim}\operatorname{Ker}(A-\lambda I)=n-\operatorname{rnk}(A-\lambda I). \end{equation*}$

Sappiamo che per ogni autovalore $\lambda_i\in\mathbb{K}$ vale sempre la disuguaglianza

(4) $\begin{equation*} 0<\operatorname{mg}(\lambda_i)\leq\operatorname{ma}(\lambda_i). \end{equation*}$

A questo punto siamo pronti per enunciare il più noto ed importante criterio di diagonalizzabilità, che utilizzeremo continuamente nella prossima sezione.

Teorema 1.13. Un endomorfismo $f\colon V\to V$ è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico è completamente decomponibile in $\mathbb{K}$ e la molteplicità geometrica di ogni autovalore è pari alla sua molteplicità algebrica.

Testi degli esercizi su endomorfismi e diagonalizzazione

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data l’applicazione $F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tale che

$F(x,y)=(x-y,y),\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2.$

Verificare che $F$ è lineare.

Stabilire se $F$ è un automorfismo.

Determinare la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^2$ e rispetto alla base $\mathcal{B}=\{(1,2), (-1,-1)\}.$

Dato il vettore $v=(-1,3)$ , calcolare l’immagine del sottospazio $\mathcal{L}(v)$ e la controimmagine di $\{v\}$ sotto sotto l’azione di $F$ .

Determinare tutti gli autovettori di $F$ e stabilire se $F$ è diagonalizzabile.

Svolgimento punto 1.

Verifichiamo che $F$ rispetta la definizione 1.1.

Dati due vettori arbitrari $(x,y)$ , $(x',y')\in\mathbb{R}^2$ , si ha:

$\begin{aligned} F(x+x',y+y')&=((x+x')-(y+y'), y+y')=\\&=((x-y)+(x'-y'),y+y')=\\ &=(x-y,y)+(x'-y',y')=\\&=F(x,y)+F(x',y'). \end{aligned}$

Dati uno scalare $k\in\mathbb{R}$ ed un vettore $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ arbitrari

$F(kx,ky)=(kx-ky,ky)=(k(x-y),ky)=k(x-y,y)=kF(x,y).$

Svolgimento punto 2.

Per mostrare che l’applicazione è un automorfismo, notiamo prima che

$F(x,y) = A \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix},$

ove la matrice $A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ , dalla definizione 1.5, è la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica richiesta al punto successivo.

Dato che $\det A=1$ , $F$ è un endomorfismo di rango massimo e dunque un automorfismo, come segue dalla proposizione 1.6, punto 6.

Svolgimento punto 3.

La matrice $A$ è quella associata ad $F$ rispetto alla base canonica. Determiniamo la matrice $B$ associata ad $F$ rispetto alla base $\mathcal{B}$ in accordo con la definizione 1.5.

$\begin{aligned} F(1,2)&=(-1,2)=3(1,2)+4(-1,1)\\ F(-1,-1)&=(0,-1)=-(1,2)-(-1,-1). \end{aligned}$

Per definizione segue che $B=\begin{pmatrix} 3&-1\\4&-1 \end{pmatrix}$ .

Svolgimento punto 4.

$F\left(\mathcal{L}(v)\right)=\mathcal{L}(F(v))=\mathcal{L}((-4,3)).$

La controimmagine del singoletto $\{v\}$ , $F^{-1}(\{v\})$ , è data da tutti i vettori $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tali che $F(x,y)=v$ , dunque

$F(x,y)=(-1,3)\iff \begin{cases} x-y=-1\\y=3 \end{cases}\iff (x,y)=(2,3)\iff F^{-1}(v)=\{(2,3)\}.$

Svolgimento punto 5.

Impostiamo e risolviamo l’equazione per determinare gli autovalori, ovvero calcoliamo il polinomio caratteristico $p(\lambda)$ e i suoi zeri.

$p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix} 1-\lambda&-1\\0&1-\lambda \end{pmatrix}=(1-\lambda)^2.$

Tale polinomio si annulla se e solo se $\lambda=1$ , che è dunque l’unico autovalore di $F$ con molteplicità algebrica $\operatorname{ma}(1)=2$ . Per stabilire se l’applicazione sia diagonalizzabile andiamo a studiarne la molteplicità geometrica:

$\operatorname{rnk}\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}=1.$

Dalla disuguaglianza (4) deduciamo che $\operatorname{mg}(1)=1<2=\operatorname{ma}(1)$ , il teorema 1.13 implica quindi che l’applicazione non è diagonalizzabile.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data l’applicazione lineare $F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tale che

$F(x,y)=(x+y,x+y),\qquad \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2.$

Stabilire se $F$ è un automorfismo.

Determinare tutti gli autovettori di $F$ e stabilire se $F$ è diagonalizzabile.

Svolgimento punto 1.

$F$ non è un automorfismo, come si può dedurre notando che $\operatorname{Ker}(F)\neq\{\mathbf{0}\}$ .

Ciò può essere dedotto, ad esempio, notando che la matrice

$A=\begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}$

associata alla base canonica ha righe identiche, quindi determinante nullo: deduciamo quindi dal punto 6 della proposizione 1.6 che l’applicazione non è invertibile. Alternativamente, si verifica banalmente che

$\operatorname{Ker}(F)=\mathcal{L}((1,-1)).$

Svolgimento punto 2.

Innanzitutto, avendo nucleo non banale, l’applicazione ammette $\lambda_1=0$ come autovalore e

$E(0)=\operatorname{Ker}(F).$

Determiniamo adesso il polinomio caratteristico e l’altra sua radice $\lambda_2$ .

$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda&1\\1&1-\lambda \end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-1=(1-\lambda-1)(1-\lambda+1)=\lambda(\lambda-2)\Rightarrow\lambda_2=2.$

Dato che $F$ ammette due autovalori distinti, è diagonalizzabile. Questo perché la molteplicità geometrica dei due autovettori associati ai due autovalori è, come segue da (4), necessariamente $1$ . Dal criterio 1.13 segue la diagonalizzabilità dell’applicazione. Abbiamo quindi due vettori linearmente indipendenti che costituiscono una base di $\mathbb{R}^2$ fatta da autovettori di $f$ . Determiniamo il secondo autospazio.

$(A-2\operatorname{Id})\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=0\iff x=y.$

Dunque $E(2)=\mathcal{L}((1,1)).$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data l’applicazione lineare $F\colon\mathbb{R}_{\leq2}[x]\to\mathbb{R}_{\leq2}[x]$ tale che

$F(1)=x^2\qquad F(x)=-1+x+x^2\qquad F(x^2)=x^2.$

Stabilire se $F$ è un automorfismo.

Determinare una base del nucleo e dell’immagine di $F$ .

Determinare autovalori ed autospazi di $F$ .

Stabilire se $F$ è diagonalizzabile.

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