Applicazioni lineari: esercizi numero 1

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In questo articolo troverete 30 esercizi misti su applicazioni lineari tra spazi vettoriali, dettagliatamente svolti con tutti i passaggi. Gli esercizi, organizzati in ordine di difficoltà crescente, sono particolarmente indicati per un corso di algebra lineare destinato a studenti di ingegneria, fisica e matematica.

Sono inoltre presenti alcuni richiami teorici sulle applicazioni lineari utili nella soluzione degli esercizi. Segnaliamo infine il prosieguo Esercizi sulle applicazioni lineari – 2 e gli Esercizi su endomorfismi e diagonalizzazione. Buona lettura!

applicazione lineare

Autori e revisori

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Autori: Chiara Bellotti, Sara Sottile

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi, Matteo Talluri

Notazioni sulle applicazioni lineari

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$\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)$	sottospazio vettoriale generato da $v_1,\dots,v_n$
$\operatorname{Ker} F$	nucleo dell’applicazione lineare $F$
$\operatorname{Im} F$	immagine dell’applicazione lineare $F$
$\mathbb{R}_{\leq k}[x]$	polinomi di grado al più $k$ a coefficienti reali
$\mathcal{M}_k(\mathbb{R})$	insieme delle matrici quadrate $k \times k$
$\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$	insieme delle matrici $n \times m$
$I_k$	matrice identica di ordine $k$
$\mathbf{0}$	vettore nullo
$\operatorname{rk}A$	rango della matrice $A$
$v^T$	vettore trasposto di $v$

Richiami di teoria sulle applicazioni lineari

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In questa sezione richiamiamo brevemente le principali definizioni e proprietà delle applicazioni lineari che verranno usate negli esercizi che seguono.

Definizione 1.1. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $\mathbb{K}$ . Una funzione

$F \colon V \to W$

è detta applicazione lineare o omomorfismo se soddisfa le seguenti condizioni:

Additività: $F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)$ per ogni $v_1,v_2 \in V$ .
Omogeneità: $F(kv) = k F(v)$ per ogni $v\in V$ e per ogni $k \in \mathbb{K}$ .

Le due condizioni di additività e omogeneità possono essere sintetizzate in un’unica condizione, detta linearità :

$F(k_1 v_1 + k_2 v_2) = k_1 F(v_1) + k_2 F(v), \qquad \forall v_1,v_2 \in V,\quad \forall k_1,k_2 \in \mathbb{K}.$

Definizione 1.2. Sia $F\colon V \to W$ un’applicazione lineare. Si definisce immagine dell’applicazione lineare $F$ il sottoinsieme del codominio $\operatorname{Im}F\subseteq W$ definito da

$\operatorname{Im} F \coloneqq \{w \in W \colon \exists v \in V \text{ tale che } w = F(v) \}.$

Si definisce nucleo dell’applicazione lineare $F$ il sottoinsieme del dominio $\operatorname{Ker} F\subseteq V$ definito da

$\operatorname{Ker} F \coloneqq \{v \in V \colon F(v)= \mathbf{0}_W\}.$

Definizione 1.3. Sia $F\colon V \to W$ un’applicazione lineare.

$F$ è detta endomorfismo se dominio e codominio coincidono, cioè $V = W$ .
$F$ è detta isomorfismo se $F$ è biettiva.
$F$ è detta automorfismo se $F$ è un endomorfismo biettivo.

Teorema 1.4. [1, teorema 4.1] Sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare. Allora

$F(\mathbf{0}) = \mathbf{0}.$

Inoltre

$F \text{è iniettiva} \iff \operatorname{Ker} F = \{\mathbf{0}\}.$

Teorema 1.5. [1, teorema 4.2] Sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare e sia $A\subset V$ . Allora

$F(\mathcal{L}(A)) = \mathcal{L}(F(A)).$

In particolare, se $\mathcal{B}$ è un qualsiasi sistema di generatori di $V$ , si ha che

$\operatorname{Im} F = \mathcal{L}(F(\mathcal{B})).$

Teorema 1.6. [1, teorema 4.3] Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali e sia $\mathcal{B} = \{v_i\}_{i\in I}$ una base di $V$ . Data $S= \{w_i\}_{i\in I}$ una famiglia di vettori di $W$ , esiste una e una sola applicazione lineare $F \colon V \to W$ tale che

$F(v_i) = w_i \qquad \forall i \in I.$

Teorema 1.7. Due spazi vettoriali $V$ e $W$ sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

$\[\]$

Dimostrazione Dimostriamo le due implicazioni.

$\rightarrow$ ) Sia $F \colon V \to W$ un isomorfismo e sia $\mathcal{B} = \{v_i\}_{i \in I}$ una base di $V$ . Si ha

(1) $\begin{equation*} \mathcal{L}(\mathcal{B}) = \operatorname{Im} F = W, \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza segue dal teorema 1.5 e la seconda dalla suriettività di $F$ . Quindi la famiglia $\mathcal{B}' = \{F(v_i)\}_{i \in I}$ è un sistema di generatori di $W$ . Mostriamo che è anche indipendente; infatti, sia $n \in \mathbb{N}$ e supponiamo che si abbia

(2) $\begin{equation*} \alpha_1 F(v_{i_1}) + \dots + \alpha_n + F(v_{i_n}) = \mathbf{0}_W \end{equation*}$

per degli scalari $\alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{K}$ e un insieme $\{i_1,\dots,i_n\} \subseteq I$ costituito da $n$ indici distinti. Per la linearità di $F$ si ha dunque

(3) $\begin{equation*} \begin{split} F \big( \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} \big) = \mathbf{0}_W \iff & \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} \in \ker F \\ \iff & \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} = \mathbf{0}_V, \end{split} \end{equation*}$

dove l’ultima equivalenza segue dall’iniettività di $F$ e dal fatto che $F(\mathbf{0}_V)= \mathbf{0}_W$ . Poiché $\mathcal{B}$ è una base di $V$ , l’ultima relazione in (3) implica che $\alpha_1=\dots=\alpha_n=0$ , provando quindi che $\mathcal{B}'$ è indipendente in $W$ . Poiché $\mathcal{B}'$ è un sistema di generatori indipendenti di $W$ , esso è una base. Dato che $V$ e $W$ possiedono basi della stessa cardinalità, in quanto individuate da famiglie costruite sullo stesso insieme di indici $I$ , si ha $\dim V = \dim W$ .
$\leftarrow$ ) Viceversa, supponiamo che $\dim V = \dim W$ ; dunque esiste una base $\mathcal{B} = \{v_i\}_{i \in I}$ di $V$ , una base $\mathcal{B}' = \{w_j\}_{j \in J}$ di $W$ e una funzione $\phi \colon I \to J$ biunivoca. In virtù del teorema 1.6, esiste un’applicazione lineare $F \colon V \to W$ tale che

(4) $\begin{equation*} F(v_i)= w_{\phi(i)} \qquad \forall i \in I. \end{equation*}$

Vale

(5) $\begin{equation*} \operatorname{Im}F = \mathcal{L}(F(\mathcal{B})) = \mathcal{L}(\mathcal{B}') = W, \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza segue dal teorema 1.5, la seconda da (4), mentre l’ultima dal fatto che $\mathcal{B}'$ è una base di $W$ . Dunque (5) prova che $F$ è suriettiva. Per dimostrare che $F$ è iniettiva, utilizziamo il teorema 1.4 provando che $\ker F=\{\mathbf{0}_V\}$ . Sia $v \in \ker F$ ; dato che $\mathcal{B}$ è una base di $V$ , esistono degli scalari $\alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{K}$ e un insieme $\{i_1,\dots,i_n\} \subseteq I$ di indici tali che

(6) $\begin{equation*} v= \alpha_1 v_{i_1} + \dots + \alpha_n v_{i_n} \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{0}_W = F(v) = \alpha_1 F(v_{i_1}) + \dots + \alpha_n F(v_{i_n}) = \alpha_1 w_{\phi(i_1)} + \dots + \alpha_n w_{\phi(i_n)}, \end{equation*}$

da cui segue che $\alpha_1=\dots = \alpha_n=0$ , in quanto $\mathcal{B}'$ è una base di $W$ . Ciò mostra che $v=\mathbf{0}_V$ , provando che $\ker F=\{\mathbf{0}_V\}$ e quindi l’iniettività di $F$ . Poiché $F$ è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, esso è un isomorfismo.

Teorema 1.8. [2, teorema 3.2] Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare. Allora

$\operatorname{dim} V = \operatorname{dim}\operatorname{Ker} F + \operatorname{dim} \operatorname{Im} F.$

Teorema 1.9. [1, teorema 4.5] Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita tali che $\operatorname{dim} V = n$ e $\operatorname{dim} W=m$ . Sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare e siano $\mathcal{B}_V$ e $\mathcal{B}_W$ rispettivamente basi di $V$ e $W$ . Allora esiste un’unica matrice $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ avente per colonne le componenti nella base $\mathcal{B}_W$ delle immagini dei vettori della base $\mathcal{B}_V$ tale che, se $v \in V$ ha componenti $(v_1,\dots,v_n)$ nella base $\mathcal{B}_V$ , allora $F(v)$ ha componenti $A(v_1,\dots,v_n)^T$ nella base $\mathcal{B}_W$ .

Viceversa, ogni matrice $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ definisce un’applicazione lineare ponendo che $F(v)$ abbia componenti nella base $\mathcal{B}_W$ pari a $A(v_1,\dots,v_n)^T$ , dove $(v_1,\dots,v_n)$ è il vettore delle componenti di $v$ nella base $\mathcal{B}_V$ .

Corollario 1.10. [2, teorema 3.2] Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita tali che $\operatorname{dim} V = n$ e $\operatorname{dim} W=m$ . Sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare e sia $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ la matrice associata ad $F$ rispetto ad una base $\mathcal{B}_V$ di $V$ e una base $\mathcal{B}_W$ di $W$ . Allora

$\operatorname{rk} A =\operatorname{dim}\operatorname{Im} F.$

Corollario 1.11. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita tali che $\operatorname{dim} V = n$ e $\operatorname{dim} W=n$ . Sia $F \colon V \to W$ un’applicazione lineare e sia $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ la matrice associata ad $F$ rispetto ad una base $\mathcal{B}_V$ di $V$ e una base $\mathcal{B}_W$ di $W$ . Allora

$F \text{ è invertibile } \iff A \text{ è invertibile }.$

Inoltre, se $F$ è invertibile allora la sua inversa $F^{-1}$ è lineare e la matrice associata ad $F^{-1}$ rispetto alle stesse basi $\mathcal{B'}$ e $\mathcal{B}$ è la matrice $A^{-1}$ .

$\[\]$

Dimostrazione Per il corollario 1.10, $F$ è suriettiva se e solo se $\operatorname{rk} A = n$ , cioè se e solo se $A$ è invertibile.

Poiché $F$ è rappresentata dalla matrice $A$ nelle basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ e poiché

(7) $\begin{equation*} F^{-1}(F(v))=v \qquad \forall v \in V, \end{equation*}$

per il teorema 1.9 l’applicazione inversa $F^{-1} \colon W \to V$ è rappresentata, nelle stesse basi, da una matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ soddisfacente

(8) $\begin{equation*} BA(v_1,\dots,v_n)^T = (v_1,\dots,v_n)^T \qquad \forall (v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{K}^n. \end{equation*}$

Scegliendo $v=e_i$ , dove $e_i$ sono i vettori della base canonica di $\mathbb{K}^n$ , si ottiene $BA=I_n$ , da cui $B=A^{-1}$ .

Testi degli esercizi sulle applicazioni lineari

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare che le seguenti applicazioni sono lineari:

$F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definita da $F(x, y)=(x+2 y, 2 x+y, x-y) \qquad \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2$ ;

$F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definita da $F(x, y,z)=(x-z, x+y-z, x-y) \qquad \forall (x,y,z)\in \mathbb{R}^3$ ;

$F\colon \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}_{\leq 1}[x]$ definita da $F\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\right)=(a-b)+(c+2 d) x \qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 1.

Dati $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2$ e $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , abbiamo

$\begin{aligned} F\left(\lambda(x_1,x_2)+\mu (x_1,x_2)\right) &= F\left(\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1+\mu y_2\right)=\\ &= ( \lambda x_1+\mu x_2+2 \lambda y_1+2 \mu y_2, 2 \lambda x_1+2 \mu x_2+ \\& +\lambda y_1+\mu y_2,\lambda x_1+\mu x_2-\lambda y_1-\mu y_2 )=\\&=\lambda(x_1+2 y_1,2x_1+y_1,x_1-y_1)+\mu(x_2+2 y_2,2x_2+y_2,x_2-y_2)=\\&=\lambda F\left(x_1, y_1\right)+\mu F\left(x_2, y_2\right). \end{aligned}$

Segue che $F$ è lineare.

Svolgimento punto 2.

Dato $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ possiamo scrivere

$F(x, y, z)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$

allora $F$ è lineare in quanto il prodotto righe per colonne tra matrici è lineare, come segue dal teorema 1.9.

Svolgimento punto 3.

Dati $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ e $\lambda\in \mathbb{R}$ , si ha

$\begin{aligned} F\left(\begin{array}{ll} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{array}\right)&=(\lambda a-\lambda b)+(\lambda c+2 \lambda d) x=\\&=\lambda[(a - b)+(c+2 d) x] = \lambda F\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \end{aligned}$

e, dati $a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2 \in \mathbb{R}$ , si ha

$\begin{aligned} F\left(\left(\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{ll} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right)\right) &=\left( a_1+a_2-b_1-b_2 \right)+\left(c_1+c_2+2 d_1+2 d_2\right) x = \\ & =( (a_1-b_1) + (c_1+2d_1)x) +( (a_2-b_2) + (c_2+2d_2)x)= \\&= F\left(\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right)+F\left(\begin{array}{ll} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right). \end{aligned}$

Segue dunque che $F$ è lineare.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare che le seguenti applicazioni non sono lineari:

$F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $F(x, y)=\sin x-y \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ;

$F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $F(x, y)=x^2 y \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ;

$F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $F(x, y)=3 x-y+2 \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ;

$F\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $F(x)=|x| \qquad \forall x \in \mathbb{R}$ .

Svolgimento punto 1.

$F$ non è lineare in quanto

$F\left( \left(\frac{\pi}{2},0\right) + \left(\frac{\pi}{2},0\right) \right) = F\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}, 0\right)=\sin \pi=0,$

$F\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)+F\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)=\sin \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2}=2 .$

Svolgimento punto 2.

$F$ non è lineare in quanto

$4=F(2,1)=F((1,0)+(1,1)) \neq F(1,0)+F(1,1)=0+1=1.$

Svolgimento punto 3.

Ricordando che ogni applicazione lineare deve verificare $F(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ per il teorema 1.4, notiamo che

$F(0,0)=2\neq 0,$

da cui segue che $F$ non è lineare.

Svolgimento punto 4.

$F$ non è lineare poiché

$F(-1)=1$

$-F(1)=-1 .$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data l’applicazione lineare $F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ tale che

$F(x, y)=(x+2 y , 3 y , x-y) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2.$

Trovare $F^{-1}(\{5,6,-1\})$ .

Calcolare l’immagine diretta tramite $F$ del sottospazio $U=\mathcal{L}((1,-2))$ .

Stabilire se $F$ è iniettiva o suriettiva.

Trovare una base e la dimensione dell’immagine e del nucleo di $F$ .

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