Esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana
Questa dispensa contiene 25 esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana. I problemi sono stati selezionati dal sito del professore Guido Gentile e dai testi di riferimento [1], [2] e [3]. Gli esercizi sono stati appositamente scelti per corsi di meccanica analitica o meccanica razionale, spesso denominati fisica matematica. Ogni esercizio è presentato con una spiegazione dettagliata, senza omettere alcun passaggio, permettendo così una comprensione completa e approfondita dei concetti trattati.
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Ottieni il documento contenente 25 esercizi risolti, contenuti in 105 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della Meccanica Hamiltoniana.
Introduzione agli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana
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Gli esercizi seguenti mirano a esplorare e approfondire questi temi dal punto di vista pratico. Ogni problema è stato scelto per illustrare concetti chiave e tecniche fondamentali della meccanica hamiltoniana, offrendo al lettore la possibilità di sviluppare una comprensione approfondita e applicativa della materia. Attraverso questi esercizi, si avrà modo di vedere come la teoria si traduca in pratica, fornendo strumenti utili per affrontare problemi complessi sia in ambito accademico che professionale.
Autori e revisori degli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana
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Revisori: Roberto Castorrini, Alberto Cella, Elisa Bucci.
Nota sulle unità di misura sugli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana
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Testi degli esercizi svolti di meccanica hamiltoniana
Esercizio 1 . Data la lagrangiana
scrivere la corrispondente hamiltoniana e risolvere le equazioni di Hamilton associate.
Svolgimento.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso, la lagrangiana è definita per ogni e la funzione
è chiaramente invertibile (vista come funzione di ) per ogni
, e abbiamo
Conseguentemente
In definitiva, l’hamiltoniana del sistema, definita per ogni , è
Le equazioni di Hamilton del moto sono date da:
(1)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del precedente sistema. Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
(2)
Risolviamo il precedente sistema di equazioni differenziali. Osserviamo che, dalla seconda equazione del sistema (2), deduciamo che
Dunque, derivando ambo i membri dell’equazione precedente rispetto al tempo e sfruttando la prima equazione del sistema (2), otteniamo
da cui perveniamo ad un equazione differenziale del secondo ordine per la funzione ,
Il polinomio caratteristico associata alla precedente equazione è
che ha soluzioni reali e
. Dunque, la soluzione generale dell’equazione differenziale in
è data dalla famiglia
Derivando la funzione rispetto al tempo, si ha
Dunque, ricordando che , possiamo ottenere anche
,
Concludiamo che le soluzioni delle equazioni di Hamilton sono
Esercizio 2 . Data la lagrangiana
dove , scrivere la corrispondente hamiltoniana e risolvere le equazioni di Hamilton associate.
Svolgimento.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso la lagrangiana è definita per ogni , e la funzione
è chiaramente invertibile (vista come funzione di ) per ogni
, e abbiamo
Conseguentemente,
Dunque l’hamiltoniana, definita per ogni , è
In definitiva, l’hamiltoniana del sistema è
Le equazioni di Hamilton del moto sono date da:
(3)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (3). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:
Dalla seconda equazione del precedente sistema,
Dunque, derivando ambo i membri dell’equazione precedente rispetto al tempo e sfruttando la prima equazione del precedente sistema, otteniamo
da cui, con semplici semplificazioni, perveniamo ad un equazione differenziale del secondo ordine per la funzione :
Osserviamo che la precedente è l’equazione differenziale per un oscillatore armonico di frequenza .
Il polinomio caratteristico associato è
che ha soluzioni complesse coniugate (ricordiamo che )
Dunque, la soluzione generale dell’equazione differenziale in è data dalla famiglia
dove sono dette rispettivamente ampiezza e fase iniziale dell’oscillazione.
Derivando la funzione
rispetto al tempo si ha
Quindi, ricordando che , possiamo ottenere anche
:
Concludiamo che le soluzioni delle equazioni di Hamilton, valide per ogni , sono
con .
(4)
Si trovi una funzione generatrice di seconda specie in corrispondenza di tali valori.
Svolgimento.
(5)
essendo i casi e
ovvi in dimensione
(i.e. le variabili
e
sono in
).
Le derivate parziali di
sono:
Le derivate parziali di sono:
Quindi otteniamo
Dunque se e solo se
In definitiva, le parentesi di Poisson sono conservate se e solo se
Per tali valori di e
la trasformazione del sistema (4) diventa
(6)
Ricordiamo che una funzione generatrice di seconda specie è una funzione che deve rispettare le seguenti condizioni
Nel nostro caso, dalle equazioni del sistema (6), si ha
(7)
(8)
Integrando entrambi i membri dell’equazione (8) rispetto alla variabile , otteniamo
(9)
dove è una funzione in
.
Non rimane che ricavare
. Derivando ambo i membri dell’equazione (9) rispetto a
si ottiene
Dall’equazione (7) deve essere
da cui
Quindi è costante,
, per ogni
, dove
.
Inserendo l’espressione di nell’equazione (9) otteniamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
(10)
Si trovi una funzione generatrice di prima specie in corrispondenza di tali valori.
Svolgimento.
(11)
essendo i casi e
ovvi.
Le derivate parziali di
sono:
Le derivate parziali di sono:
Quindi otteniamo
(12)
Visto che
per ogni e per ogni
, l’equazione (12) si può riscrivere come
Dal precedente passaggio notiamo che se vale
la trasformazione è canonica, come richiesto.
Visto che
per ogni e per ogni
, l’equazione (12) è vera per ogni
e
se e solo se
Risolvendo il sistema si ha e
. In definitiva, le parentesi di Poisson sono conservate se e solo se
Per tali valori di e
la trasformazione del sistema (10) diventa
(13)
Notiamo che le equazioni del precedente sistema, per , forniscono le relazioni
(14)
Ricordiamo che una funzione generatrice di prima specie è una funzione che deve rispettare le seguenti condizioni
(15)
Nel nostro caso, unendo l’ultima equazione del sistema (15) con l’equazione (14), si ha
Integrando la precedente equazione rispetto alla variabile su entrambi i membri, otteniamo
(16)
dove è una funzione in
.
Non rimane che ricavare
. Derivando ambo i membri dell’equazione (16) rispetto a
si ottiene
Dalla prima equazione del sistema (15) deve essere
(17)
Per ricavare in funzione di
e
, usiamo la seconda equazione del sistema (13), che fornisce
Inserendo quest’ultima nell’equazione (17) si ottiene
Quindi è costante,
per ogni
, dove
. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (16) otteniamo la famiglia di funzioni generatrici di prima specie richiesta, definita per
e per
e data da
(18)
Si trovi una funzione generatrice di quarta specie in corrispondenza dei valori e
.
Svolgimento.
(19)
essendo i casi e
ovvi in dimensione
(i.e. le variabili
e
sono in
).
Le derivate parziali di
sono:
Le derivate parziali di sono:
Quindi otteniamo
(20)
Ovvero deve essere
da cui otteniamo che le parentesi di Poisson sono conservate se e solo se
Per tali valori di e
la trasformazione del sistema (18) diventa
(21)
Determiniamo una funzione generatrice di quarta specie, ovvero una funzione che deve rispettare le seguenti condizioni
(22)
Dalla prima equazione del sistema (22) e dalla seconda equazione del sistema (21), otteniamo
Integrando ambo i membri della precedente equazione rispetto alla variabile abbiamo
(23)
dove è una funzione in
.
Derivando ambo i membri dell’equazione (23) rispetto a
, si ottiene
(24)
Dalla seconda equazione del sistema (22), riformulata usando la relazione (24), e dalla prima equazione del sistema (21), ricordando che , otteniamo:
(25)
da cui si ottiene
Integrando ambo i membri della precedente equazione rispetto a si ha
dove è una costante. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (23) otteniamo la famiglia di funzioni generatrici di prima specie richiesta, definita per
e per
e data da:
Svolgimento.
(27)
(28)
Le derivate parziali di sono:
e quelle di sono
Dunque,
Le derivate parziali di sono
e quelle di sono
da cui
Quindi la condizione (27) è verificata.
Controlliamo ora che siano soddisfatte le equazioni in (28). Si ha
poi,
e
Infine
Dunque anche la condizione (28) è verificata e concludiamo che la trasformazione data è canonica.
(29)
alla hamiltoniana
e si risolvano le equazioni di Hamilton associate alla nuova hamiltoniana. Si determini la funzione generatrice di seconda specie nella forma .
Svolgimento.
sono definite e continue per e
. Dunque il dominio della trasformazione è dato dall’insieme
, e su questo insieme la trasformazione è continua. Tuttavia, siccome nei punti successivi useremo anche la regolarità delle funzioni
e
rispetto alle variabili
e
, è conveniente considerare il dominio in cui la trasformazione data sia composta da funzioni differenziabili. In questo caso osserviamo che
ne deduciamo che l’insieme in cui la trasformazione è derivabile con continuità è dato da .
Supponiamo che , altrimenti siamo in un caso banale. Possiamo riscrivere l’hamiltoniana
come
dove abbiamo usato che e che
Definiamo dunque la nuova hamiltoniana
Le equazioni di Hamilton associate a sono
Poichè
le equazioni di Hamilton diventano
Le due precedenti equazioni differenziali hanno soluzioni
dove e
.
Determiniamo ora una funzione generatrice di seconda specie, ovvero una funzione che deve rispettare le seguenti condizioni
(30)
Dalla prima equazione del sistema (29) abbiamo, poiché ,
e, usando quanto appena ottenuto nella seconda equazione del sistema (29), si ha
(31)
Sostituendo la formula per nella prima equazione del sistema (30) si ottiene
Integrando entrambi i membri dell’equazione precedente rispetto alla variabile , otteniamo
(32)
dove è una funzione di classe
.
Derivando entrambi i membri dell’equazione (32) rispetto alla variabile
, si ottiene
Dall’equazione (31) e dalla seconda equazione del sistema (30) deve essere
Se si ha
da cui, integrando in ,
con costante arbitraria.
Quindi, sostituendo in (32), otteniamo in questo caso che la famiglia di funzioni generatrici è
Se , si ha
da cui è costante,
per ogni
, dove
. La famiglia di funzioni generatrici di seconda specie in questo caso è:
In definitiva si ha:
- Si scrivano l’hamiltoniana
associata a
e le equazioni di Hamilton corrispondenti.
- Si determini il dominio della trasformazione di coordinate
(33)
e si dimostri che è canonica, trovandone una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si determini l’hamiltoniana
nel sistema di coordinate
.
- Si usi il risultato del punto precedente per trovare la soluzione
delle equazioni di Eulero-Lagrange con dati iniziali
.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Osserviamo che e
sono funzioni di
e
.
Nel nostro caso, la lagrangiana è definita per ogni
tale che
e la funzione
è una funzione lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile: abbiamo dunque
(34)
Sfruttando la precedente equazione possiamo esprimere la lagrangiana nelle variabili e
, i.e.,
Si ha
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema, definita per ogni tale che
, è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
Vale il seguente fatto: se la lagrangiana del sistema della forma
per funzioni , con
per ogni
, allora l’hamiltoniana corrispondente è
(35)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (35) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Le equazioni di Hamilton del moto sono date da:
(36)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (36). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
Quindi le equazioni di Hamilton del nostro sistema sono date da:
Svolgimento punto 2.
Verifichiamo ora che la trasformazione è canonica trovando una funzione generatrice di seconda specie, ovvero una funzione che rispetta le seguenti condizioni
(37)
Nel nostro caso, dalle equazioni del sistema (33) abbiamo
da cui otteniamo che il sistema (37) diventa
(38)
Integrando la seconda equazione del sistema (38) rispetto alla variabile si ha
(39)
dove è una funzione di classe
. Infatti, è una funzione che dipende solo dalla variabile
, la quale varia in
essendo
Per convincerci di ciò, osserviamo che è una funzione continua e tale che
Ne segue che l’immagine di è tutto
per il teorema dei valori intermedi.
Non rimane che ricavare
. A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (38) abbiamo l’identità
da cui
Per ottenere la funzione , è sufficiente integrare la precedente equazione rispetto a
su entrambi i membri, ottenendo:
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (39) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie:
dimostrando, in accordo, la canonicità della trasformazione.
Svolgimento punto 3.
Osserviamo che dalla seconda equazione del sistema (33) si ha
da cui,
Pertanto la nuova hamiltoniana cercata è
Svolgimento punto 4.
(40)
Senza perdita di generalità possiamo guardare l’evoluzione del moto per tempi . La seconda equazione del sistema (40) è immediata:
la quale, inserita nella prima equazione del sistema, fornisce l’equazione differenziale per :
Integrando ambo i membri della precedente equazione tra l’istante di tempo e il generico istante
, si ottiene:
da cui
Ora, da (34) abbiamo che
Valutando la precedente equazione in e sostituendo le condizioni iniziali
e
otteniamo
(41)
Valutando il sistema (33) in , si ha
Dalle condizioni iniziali e
, e dall’equazione (41) il precedente sistema diventa
Abbiamo quindi ottenuto, per ogni ,
(42)
Possiamo ricavare l’equazione per a partire dalle equazioni del sistema (33), che forniscono:
Usando le formule ottenute per e
otteniamo
da cui
Essendo , dalla precedente equazione si deve prendere la soluzione positiva, ammissibile poiché
per ogni , e abbiamo assunto
. Si ha in definitiva
(43)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si verifichi che la funzione generatrice
trovata al punto precedente soddisfa la condizione che la matrice
di elementi
è non singolare nel dominio
.
- Data l’hamiltoniana
si determini l’hamiltoniana
nelle nuove variabili.
- Si consideri il sistema descritto dall’hamiltoniana data e si determini la soluzione delle equazioni del moto nelle nuove variabili
al variare dei dati iniziali
.
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 2.
(44)
Dalla quarta equazione del sistema (43) si ha che, usato nella seconda equazione del sistema (44) fornisce
da cui, integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , si trova
(45)
dove è una funzione di classe
che dipende dalle variabili
e
e non dipende da
.
Derivando
rispetto a
e usando la quarta equazione del sistema (44) e la seconda equazione del sistema (43), si ha
dunque
da cui
dove è una funzione di classe
che dipende dalle variabili
e
.
Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (45) come segue
(46)
Derivando rispetto a
, data dall’espressione (46), e usando la prima equazione del sistema (43) e la terza equazione del sistema (44), si ha
da cui, integrando rispetto a ,
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
.
Sfruttando la precedente equazione è possibile riscrivere l’equazione (46) come segue
(47)
Derivando rispetto a
e usando la prima equazione del sistema (44), si ha
(48)
Ora, dalla terza e quarta equazione del sistema di (43), si ottiene
che, sostituito nell’equazione (48), fornisce
da cui si ottiene
ovvero
dove è una costante arbitraria.
Sostituendo quanto ottenuto nella precedente equazione in (47), troviamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
sia non singolare, ovvero che per ogni
.
Calcoliamo gli elementi della matrice usando la formula ottenuta per al punto precedente. Le derivate prime sono:
Dunque, si ha
Possiamo quindi calcolare
Siccome per ogni
, la matrice è non singolare, come volevasi dimostrare.
Svolgimento punto 4.
Vogliamo esprimere in funzione delle variabili
e scrivere l’hamiltoniana corrispondente
.
Osserviamo che
Ricordando la trasformazione data dal sistema (43) si ha subito
Si conclude che
Svolgimento punto 5.
Nel nostro caso specifico, dalla formula per trovata al punto precedente, otteniamo
da cui
(49)
Rimane solo da risolvere il sistema di equazioni differenziali
Derivando entrambi i membri della seconda equazione del precedente sistema rispetto al tempo e utilizzando la prima equazione del precedente sistema, otteniamo la seguente equazione differenziale del secondo ordine per :
Derivando invece entrambi i membri della prima equazione del sistema precedente e utilizzando la seconda equazione del sistema precedente, otteniamo la seguente equazione differenziale del secondo ordine per :
Le due precedenti equazioni descrivono entrambe il moto di un oscillatore armonico. Le soluzioni sono pertanto
dove e dipendono dai dati iniziali
e
In definitiva abbiamo ottenuto, per
,
Esercizio 10
- Determinare l’hamiltoniana del sistema.
- Scrivere le equazioni di Hamilton del sistema.
- Determinare la trasformazione canonica generata dalla funzione generatrice di seconda specie
.
- Usare la trasformazione canonica trovata al punto precedente per ricavare le equazioni del moto con dati iniziali
.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso, la funzione
è chiaramente invertibile (vista come funzione di ) per ogni
, e abbiamo
Quindi
(50)
In definitiva, l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
(51)
per funzioni , con
per ogni
.
In questo caso
ovvero, visto che ,
Pertanto
ovvero, se la lagrangiana ha la forma (51), allora l’hamiltoniana corrispondente è
(52)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (52) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 2.
Usando (50), abbiamo
(53)
Le equazioni di Hamilton del nostro sistema sono pertanto
Svolgimento punto 3.
Svolgimento punto 4.
(56)
Dunque l’hamiltoniana cercata è
Le equazioni di Hamilton associate ad sono
(57)
Integrando ambo i membri, della prima equazione del sistema (57), tra l’istante di tempo e il generico istante
, si ottiene:
da cui
Pertanto la seconda equazione del sistema (57) diventa
da cui, integrando, si ha
Poiché per ipotesi
ricordando le equazioni del sistema (55), si ha
Dunque, si ha
Ricordando le (56), per si ottengono le equazioni del moto cercate:
Il grafico in figura rappresenta la curva descritta dalla legge oraria in funzione del tempo
.
Figura 1: andamento della funzione dell’esercizio 10
- Si determini l’hamiltoniana
associata a
.
- Si scrivano le equazioni di Hamilton corrispondenti.
- Si dimostri che la trasformazione di coordinate
è canonica, verificando che si conservano le parentesi di Poisson fondamentali.
- Si determini l’hamiltoniana
nel sistema di coordinate
.
- Si usi il risultato del punto precedente per trovare la soluzione
delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
in forma implicita, ovvero nella forma
.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
della trasformazione.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso, la funzione
è lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile: abbiamo dunque
Quindi
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
per funzioni , con
per ogni
. Allora l’hamiltoniana corrispondente è
(58)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (58) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 2.
(59)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (59). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:
Svolgimento punto 3.
(60)
Per verificare che si tratta di una trasformazione canonica, dobbiamo controllare che le parentesi di Poisson fondamentali soddisfano
(61)
essendo i casi e
ovvi in dimensione uno (i.e. le variabili
e
sono in
).
Calcoliamo i vari termini di (61) separatamente. Sfruttando (60) otteniamo :
Sostituendo quanto ottenuto nella formula per otteniamo
da cui
Svolgimento punto 4.
(62)
dal quale dedurremo subito che
Per provare (62), usiamo la trasformazione canonica del punto precedente, dalla quale segue l’identità:
da cui, per definizione di logaritmo,
Elevando al quadrato i membri della precedente equazione si ottiene
ovvero, considerando i reciproci,
Infine, dividendo ambo i membri per si ha
Pertanto la nuova hamiltoniana cercata è
Svolgimento punto 5.
Per determinare una tale equazione, vogliamo ottenere le equazioni per e
dalle equazioni di Hamilton
per l’hamiltoniana
ottenuta al punto 4, quindi ottenere le equazioni per
e
usando la trasformazione di coordinate data al punto 3.
Ricordiamo che le equazioni di Hamilton per l’hamiltoniana trovata al punto precedente sono date da
Essendo , si ha dunque
La prima equazione del sistema è immediata:
la quale, inserita nella seconda equazione del sistema, fornisce l’equazione differenziale per :
Integrando ambo i membri tra l’istante di tempo e il generico istante
, si ottiene:
da cui
Infine, ricordando che
e
(63)
abbiamo
e le condizioni iniziali fornite dall’esercizio ( e
) implicano che
Abbiamo quindi ottenuto, per ogni ,
(64)
Per ricavare le equazioni in e
, confrontiamo le equazioni del sistema (60) con quelle del sistema (64), ottenendo
(65)
La prima equazione del sistema precedente implica
da cui
Usando il risultato appena trovato nella seconda equazione di (65) otteniamo
Abbiamo quindi ottenuto l’equazione (implicita) per :
ovvero quanto richiesto dall’esercizio con .
Svolgimento punto 6.
(66)
Nel nostro caso, dal sistema (60) abbiamo
da cui otteniamo che il sistema (66) diventa
(67)
Integrando la seconda equazione del sistema (67) rispetto alla variabile si ha
(68)
dove è una funzione
che dipende solo da
. Non rimane che ricavare
. A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (67) abbiamo l’identità
ovvero
da cui
Per ottenere la funzione non rimane che integrare rispetto a
la precedente equazione
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (68) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie:
(69)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si verifichi che la funzione generatrice
trovata al punto precedente soddisfa la condizione che
non si annulla nel dominio
.
- Si verifichi esplicitamente che la trasformazione del punto 1 conserva le parentesi di Poisson fondamentali.
- Data l’hamiltoniana
si scriva l’hamiltoniana
nelle variabili
e
.
e si risolvano le equazioni di Hamilton in queste nuove variabili.
- Si scriva la soluzione delle equazioni di Hamilton in funzione delle coordinate originali
.
Svolgimento punto 1.
ovvero la regione (aperta) nel piano delimitata dall’area sottesa al grafico della curva di equazione
e l’asse delle ascisse
.
Svolgimento punto 2.
(70)
Nel nostro caso ricordiamo che la trasformazione è data dal sistema (69). Elevando ambo i membri della seconda equazione del sistema (69), si ottiene
da cui
(71)
Sostituendo (calcolata nella precedente equazione) nella prima equazione del sistema (70), si trova
D’altra parte, confrontando la prima equazione del sistema (69) con la seconda del sistema (70), si ha
dove nell’ultimo passaggio che si è usata la definizione di .
Abbiamo dunque ottenuto
(72)
Integrando ambo i membri della prima equazione del sistema (72) rispetto alla variabile , si ottiene
(73)
dove è una funzione
. Non rimane che ricavare
. A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella seconda equazione del sistema (72), si ottiene
Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (71), si ha
o anche
ovvero
da cui
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (73) otteniamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
è derivabile rispetto alla variabile è lecito calcolare
Osserviamo che la funzione si annulla per
, ovvero se
oppure se
.
Siccome la retta
non appartiene al dominio
e
in quanto
in ,
abbiamo provato che
non si annulla mai in
.
Svolgimento punto 4.
(74)
in quanto e
sono identicamente nulle.
Calcoliamo
,
,
e
separatamente.
Poiché1
si ha
(75)
Derivando, ambo i membri rispetto alla variabile , della seconda equazione del sistema (69), si trova
(76)
Derivando, ambo i membri rispetto alla variabile , della seconda equazione del sistema (69), si trova
(77)
Sfruttando le equazioni (76) e (77), l’equazione (75) diventa
come volevasi dimostrare.
-
Ricordiamo che
dipende da
e da
. ↩
Svolgimento punto 5.
Elevando al quadrato ambo i membri della seconda equazione del sistema (69), si ha
o anche
da cui, l’Hamiltoniana diventa
(78)
ovvero abbiamo ottenuto l’hamiltoniana nelle coordinate e
.
Calcoliamo ora le equazioni di Hamilton associate alle coordinate
e
, ovvero
Dalla (78) abbiamo
da cui il precedente sistema diventa
Integrando ambo i membri delle due equazioni delle precedente sistema rispetto al tempo, si ottiene
(79)
Svolgimento punto 6.
(80)
Poi, elevando al quadrato, ambo i membri della seconda equazione del sistema (69), si ottiene
da cui, sfruttando l’equazione (80), si ha
oppure
per cui
D’altra parte, usando l’equazione (80) e dalla formula appena ottenuta per , si ha
(81)
Infine, inserendo le equazioni del sistema (79) in (81) si ottiene
Si osservi che, chiaramente, affinché il precedente sistema sia ben definito deve valere
con .
- Si calcolino le derivate parziali di
e
rispetto a
e
e si dimostri che la trasformazione è canonica verificando che si conservano le parentesi di Poisson fondamentali.
- Si dimostri che
e si utilizzi tale risultato per ricavare
in termini di
e
a partire dall’espressione di
in termini di
e
.
Esplicitando anchein funzione di
e
, si calcoli la trasformazione inversa della trasformazione data.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si consideri il sistema hamiltoniano descritto dall’hamiltoniana
- Si calcoli l’hamiltoniana nelle variabili
.
- Si usi il risultato del punto precedente per determinare esplicitamente la soluzione
delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
.
Svolgimento punto 1.
Per calcolare le derivate parziali di e
è conveniente introdurre la seguente funzione:
Osserviamo che, per ogni ,
Ora, è possibile riscrivere e
in funzione di
, cioè
Calcoliamo le derivate parziali di rispetto a
e
, cioè
e
Calcoliamo le derivate parziali di rispetto a
e
, cioè
Per verificare che la trasformazione (82) conserva le parentesi di Poisson fondamentali, dobbiamo controllare che esse soddisfino la condizione
(83)
Si osservi che non abbiamo verificato i casi e
, poiché molto semplici.
Dal calcolo delle derivate parziali appena fatto, si ha
come volevasi dimostrare.
Svolgimento punto 2.
che è esattamente quello che volevamo ottenere.
Sfruttando è possibile riscrivere
come segue
ovvero
cioè abbiamo espresso in funzioni delle variabili
e
, come richiesto.
D’altra parte, si ha
o anche
cioè abbiamo ottenuto in funzioni delle variabili
e
.
Abbiamo dunque trovato la trasformazione inversa cercata, data da
Svolgimento punto 3.
(84)
Nel nostro caso ricordiamo che la trasformazione è data dal sistema (82).
Dalla seconda equazione del sistema (82) è possibile esprimere in funzione di
e
. Dunque, elevando al quadrato ambo i membri della seconda equazione del sistema (82), si ottiene
da cui
e dunque
Sostituendo (ottenuta nella precedente equazione) nella prima equazione del sistema (84), si ottiene
Sostituendo (definita nella prima equazione della trasformazione (82) nella seconda equazione del sistema (84), si ottiene
(85)
Integrando ambo i membri della seconda equazione del sistema (85) rispetto alla variabile , si ha
(86)
Ponendo , con
vista come funzione della sola
, e quindi
, l’ultimo integrale in (86) diventa
Per calcolare l’ultimo integrale in , usiamo il metodo della scomposizione in fratti semplici: cerchiamo
tali che, per ogni
,
ovvero tali che, per ogni ,
Per si ha subito
. Sostituendo
nella precedente relazione, si ottiene
che implica subito la soluzione
In definitiva si ha
dove è una funzione arbitraria che può dipendere da
.
Usando quanto ottenuto in (86) e ricordando che
, si ha
dove è una funzione che può dipendere solo da
.
Abbiamo quindi trovato un’espressione per
data da
(87)
Non rimane che ricavare . A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (84) abbiamo l’identità
(88)
Ricordiamo ora che nei punti precedenti abbiamo mostrato che e che
Dalla precedente equazione, ponendo , ricaviamo
da cui
quindi
Sostituendo la precedente formula
per in (88), si ha
ovvero
da cui, integrando rispetto a , si trova
dove è una costante arbitraria.
Inserendo l’espressione di
nell’equazione (87) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 4.
Usando la seconda equazione del sistema (82).
otteniamo l’hamiltoniana nelle coordinate :
(89)
Svolgimento punto 5.
Dalla (89) abbiamo
da cui, integrando rispetto alla variabile ,
otteniamo
(90)
Dall’equazione (89) abbiamo
(91)
(92)
Integrando, ambo i membri della (91) rispetto al tempo, si ottiene
Analogamente a prima, integrando, ambo i membri della (92) rispetto al tempo, si ottiene
Imponendo le condizioni iniziali si trova , da cui abbiamo
Imponendo le condizioni iniziali si trova e quindi
Riassumendo, si ha
(93)
Infine, dal sistema (82)
e dalle condizioni iniziali si ha
e
,
da cui
(94)
Possiamo infine calcolare e
usando le formule ottenute al punto 2.
Infatti
Osserviamo che il dominio di e
è dato da
.
(95)
- Si dimostri che la trasformazione è canonica verificando che si conservano le parentesi di Poisson fondamentali.
- Si dimostri che
e si utilizzi tale risultato e l’espressione di
in termini di
e
per esprimere
in termini di
e
.
- Esplicitando anche
in funzione di
e
, si calcoli la trasformazione inversa della trasformazione data.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si consideri il sistema hamiltoniano descritto dall’hamiltoniana
(96)
Si usi il fatto che la trasformazione del punto 1 è canonica per determinare esplicitamente la soluzione
delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
.
Svolgimento punto 1.
Per verificare che la trasformazione conserva le parentesi di Poisson fondamentali, dobbiamo controllare che esse soddisfino
(97)
essendo i casi e
ovvi in dimensione uno.
Per calcolare le derivate parziali di
e
rispetto a
e
è utile introdurre la seguente funzione
Osserviamo che, per ogni ,
Riscriviamo la trasformazione (101) come
Sfruttando la funzione è possibile riscrivere le due precedenti equazioni come di seguito:
(98)
da cui otteniamo le derivate parziali di
e di
Dal calcolo delle derivate parziali appena fatto, si ha
(99)
Mostriamo che l’ultima espressione equivale a uno. Osserviamo che
da cui
Sfruttando la precedente equazione è possibile riscrivere l’equazione (99) come
che è esattamente quello che volevamo ottenere, cioè abbiamo dimostrato che la trasformazione è canonica.
Svolgimento punto 2.
Facendo il prodotto ambo i membri delle due precedenti equazioni si ottiene
ovvero
Esplicitiamo ora la variabile
in funzione di
e
.
Dalla seconda equazione del sistema (101), sfruttando la precedente equazione, si trova
che implica
ovvero
infine
che è quanto richiesto.
Svolgimento punto 3.
(100)
conseguentemente, usando il risultato pervenuto al precedente punto, si ha
Utilizzando l’equazione pervenuta al punto 2 e la precedente equazione, otteniamo la trasformazione inversa richiesta, data da
(101)
Svolgimento punto 4.
(102)
Nel nostro caso ricordiamo che la trasformazione è data dal sistema (101).
Possiamo sfruttare l’equazione (100). Osserviamo che deve essere . Infatti, se fosse
, l’equazione (100) darebbe
e il risultato del punto 2 darebbe
, che non è ammesso. Quindi dall’equazione (100) si ottiene immediatamente
Quindi, inserendo quanto ottenuto nella prima equazione del sistema (102), si ha
D’altra parte, dalla prima equazione del sistema (101) e dalla seconda del sistema (102), si ha
(103)
Integrando la prima equazione del sistema (103) rispetto alla variabile si ha
(104)
dove è una funzione che varia in modo
in
.
Abbiamo quindi trovato un’espressione per
data da
(105)
Non rimane che ricavare . Supponiamo che sia
, l’altro caso si fa in modo analogo.
Ricordando il risultato pervenuto all’equazione (98), si ottiene
(106)
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato .
Ora, da (105), calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella seconda equazione del sistema (103), e usando (106), abbiamo l’identità
ovvero
da cui, integrando, ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , si trova
dove è una costante arbitraria.
Inserendo l’espressione di
nell’equazione (105) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 5.
(107)
Calcoliamo ora le equazioni di Hamilton associate alle coordinate e
, ovvero
Sfruttando l’equazione (107) il precedente sistema diventa
da cui, integrando ambo i membri delle precedenti equazioni rispetto al tempo, otteniamo
Infine, dal sistema (101)
e dalle condizioni iniziali si ha
(108)
Possiamo infine calcolare e
usando le formule ottenute al punto 3 in (101). Infatti
e
Osserviamo che il dominio di e
è dato rispettivamente da
e
.
Si conclude che
- Si determini l’hamiltoniana
associata a
.
- Si scrivano le equazioni di Hamilton corrispondenti.
- Si dimostri che la trasformazione di coordinate
è canonica, o verificando che si conservano le parentesi di Poisson fondamentali o trovandone una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si determini l’hamiltoniana
nel sistema di coordinate
e si risolvano le corrispondenti equazioni di Hamilton.
- Si determini la soluzione delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
e
.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Osserviamo che e
sono funzioni di
e
.
Nel nostro caso, la funzione
è una funzione lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile: abbiamo dunque
(109)
Sfruttando la precedente equazione possiamo esprimere la lagrangiana nelle variabili e
, i.e.,
Si ha inoltre
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
per funzioni , con
per ogni
. Allora l’hamiltoniana corrispondente è
(110)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (110) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 2.
(111)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (111). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:
Svolgimento punto 3.
(112)
la quale è definita per e
.
Osserviamo preliminarmente che
Per completezza verifichiamo che si tratta di una trasformazione canonica mostrando entrambi i procedimenti suggeriti dall’esercizio, cioè verificando che la trasformazione sia canonica tramite la conservazione delle parentesi fondamentali di Poisson, e determinando una funzione generatrice di seconda specie.
3a – Parentesi di Poisson. Dobbiamo controllare che le parentesi di Poisson fondamentali soddisfano
(113)
essendo i casi e
ovvi in dimensione uno.
Calcoliamo i vari termini di (113) separatamente. Sfruttando (112) otteniamo
Sostituendo quanto ottenuto nella formula per otteniamo
da cui
come volevasi dimostrare. Dunque, la trasformazione data è canonica perché conserva le parentesi fondamentali di Poisson.
3b – Funzione generatrice. Verifichiamo ora che la trasformazione del punto precedente è canonica trovando una funzione generatrice di seconda specie, ovvero una funzione che rispetta le seguenti condizioni
(114)
Nel nostro caso, dalla seconda equazione del sistema (112) abbiamo
(115)
ovvero
da cui otteniamo che il sistema (114) diventa
(116)
Integrando la seconda equazione del sistema (116) rispetto alla variabile si ha
(117)
dove è una funzione che dipende solo da
. In particolare, poiché l’immagine di
(come una funzione di
e
) è
,
. Non rimane che ricavare
. A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (116) abbiamo l’identità
Essendo, da (115),
si ha
da cui
Per ottenere la funzione non rimane che integrare rispetto a
la precedente equazione
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (117) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie:
dimostrando, in accordo, la canonicità della trasformazione.
Svolgimento punto 4.
Osserviamo che dalla seconda equazione del sistema (112) si ha
da cui, elevando al quadrato ambo i membri la precedente equazione, si ottiene
Pertanto la nuova hamiltoniana cercata è
Le equazioni di Hamilton per l’hamiltoniana appena trovata sono date da
(118)
Svolgimento punto 5.
la quale, inserita nella prima equazione del sistema, fornisce l’equazione differenziale per :
Integrando ambo i membri tra l’istante di tempo e il generico istante
, si ottiene:
da cui
Ora, da (109) abbiamo che
Valutando la precedente equazione in e sostituendo
e
nella precedente equazione otteniamo
(119)
Valutando il sistema (112) in , si ha
Sfruttando le condizioni iniziali e
, e l’equazione (119) il precedente sistema diventa
Abbiamo quindi ottenuto, per ogni ,
(120)
Possiamo ricavare le equazioni in e
a partire dal sistema (112):
(121)
Si ha
da cui
Essendo , dalla precedente equazione si deve prendere la soluzione positiva, cioè
Sfruttando i risultati pervenuti nel sistema (120) la precedente equazione diventa
(122)
Osserviamo che per ogni
.
Abbiamo quindi ottenuto l’equazione per
. L’equazione per
si ottiene dalla prima equazione del sistema (121) e da (122) :
Osserviamo che, visto che , la precedente equazione è ben definita.
Si conclude che
(123)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si verifichi esplicitamente che la funzione generatrice trovata al punto precedente soddisfa la condizione che la matrice
di elementi
è non singolare.
- Data l’hamiltoniana
si scriva l’hamiltoniana
e si risolvano le equazioni di Hamilton nelle nuove variabili
date dalla trasformazione del punto 1.
- Si determini la soluzione
delle equazioni del moto del sistema con hamiltoniana
con dati iniziali
e
.
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 2.
(124)
Dalla terza equazione del sistema (123) si ha
(125)
che, usato nella seconda equazione del sistema (124) fornisce
da cui, integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , si trova
(126)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alle variabili
e
e non dipende da
.
Derivando
rispetto a
e usando la terza equazione e la prima equazione del sistema (124), si ha
dunque
da cui
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alle variabili
e
.
Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (126) come segue:
(127)
Derivando rispetto a
, e usando la seconda e la quarta equazione del sistema (123) e la quarta equazione del sistema (124), si ha
da cui, integrando rispetto a ,
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
.
Sfruttando la precedente equazione è possibile riscrivere l’equazione (127) come segue:
(128)
(129)
Elevando al cubo ambo i membri la quarta equazione di (123) si trova
e da (125) si ha
Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (129) e la prima equazione del sistema (124) si ottiene
da cui
Sostituendo quanto ottenuto nella precedente equazione in (128), troviamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
sia non singolare, ovvero che per ogni
.
Calcoliamo gli elementi della matrice usando la formula ottenuta per
al punto precedente:
Dunque possiamo calcolare
Siccome il dominio della trasformazione, calcolato nel punto 1, fornisce
si ha per ogni
, e quindi la matrice è non singolare, come volevasi dimostrare.
Svolgimento punto 4.
Svolgimento punto 5.
dobbiamo dapprima ricavare le condizioni iniziali in termini delle nuove variabili usando la trasformazione (123):
Inserendo quanto ottenuto nelle equazioni del sistema (131) si ha
Infine dobbiamo ricavare le equazioni per . Usiamo ancora una volta le equazioni del sistema (123). Si ha
da cui abbiamo, usando (131),
D’altra parte si ha
Concludiamo che
- Si determini l’hamiltoniana
associata a
.
- Si scrivano le equazioni di Hamilton corrispondenti.
- Si dimostri che la trasformazione di coordinate
è canonica verificando che si conservano le parentesi di Poisson fondamentali. Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
della trasformazione.
- Si determini l’hamiltoniana
nel sistema di coordinate
.
- Si usi il risultato del punto precedente per trovare la soluzione
delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
e
.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso, la funzione
è una funzione lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile: abbiamo dunque
(132)
Quindi, esprimendo la lagrangiana nelle variabili , i.e.,
si ha
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
per funzioni , con
per ogni
. Allora l’hamiltoniana corrispondente è
(133)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (133) come
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 2.
(134)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (134). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
e
da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:
Svolgimento punto 3.
(135)
Per verificare che si tratta di una trasformazione canonica possiamo procedere in due modi: usando le parentesi di Poisson oppure trovando una funzione generatrice di seconda specie. Mostriamo entrambi i metodi.
3a – Parentesi di Poisson. Dobbiamo controllare che le parentesi di Poisson fondamentali soddisfano
(136)
essendo i casi e
ovvi in dimensione uno.
Calcoliamo i vari termini di (136) separatamente. Essendo, da (135),
si ha
Sostituendo quanto ottenuto nella formula (136) otteniamo
da cui
come volevasi dismostrare.
3b – Funzione generatrice Verifichiamo ora che la trasformazione del punto precedente è canonica trovando una funzione generatrice di seconda specie, ovvero una funzione che rispetta le seguenti condizioni
(137)
Consideriamo
(138)
Facendo rapporto ambo i membri delle due precedenti equazioni otteniamo
Inoltre, se eleviamo ambo i membri la seconda equazione del precedente sistema, si trova
Otteniamo quindi che il sistema (137) diventa
(139)
Integrando la prima equazione del sistema (139) rispetto alla variabile si ha
(140)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto a
. Non rimane che ricavare
. A tal fine,
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
: derivando ambo i membri rispetto alla variabile
la precedente
equazione, si ottiene
Sostituendo la formula precedente nella seconda equazione del sistema (139) abbiamo
Per ottenere la funzione non rimane che integrare rispetto a
ambo i membri nella precedente equazione
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (140) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie:
dimostrando, in accordo, la canonicità della trasformazione e l’esistenza di una funzione generatrice di seconda specie.
Svolgimento punto 4.
Osserviamo, elevando alla quarta ambo i membri della seconda equazione del sistema (135), si trova
Sfruttando la precedente equazione l’hamiltoniana diventa
Svolgimento punto 5.
Essendo trovata al punto precedente, il precedente sistema diventa
(141)
La seconda equazione del sistema (141) è immediata, infatti integrando ambo i membri di quest’ultima rispetto al tempo, si ottiene
la quale, inserita nella prima equazione del sistema, fornisce l’equazione differenziale per :
Integrando ambo i membri tra l’istante di tempo e il generico istante
la precedente equazione, si ottiene:
Ricordiamo che
(142)
da cui
Sfruttando il precedente sistema, abbiamo quindi ottenuto, per ogni ,
(143)
Possiamo ricavare le equazioni in a partire dal sistema (135), facendo rapporto ambo i membri:
da cui
Essendo , scegliamo
Usando le equazioni trovate per e
si conclude che
In definitiva
(144)
- Si trovi una funzione generatrice di prima specie
- Si verifichi esplicitamente che la funzione generatrice trovata al punto precedente soddisfa la condizione che la matrice
di elementi
è non singolare.
Svolgimento punto 1.
(145)
Sommando membro a membro le prime due equazioni del sistema (144) otteniamo
da cui
Sostituendo quanto ottenuto nella precedente equazione nella seconda equazione del sistema (145) otteniamo
Integrando ambo i membri la precedente equazione in si ha dunque
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
. Per ottenere una formula per
dobbiamo quindi ricavare
. Derivando ambo i membri della precedente equazione rispetto alla variabile
si trova:
(146)
Moltiplicando ambo i membri della prima equazione del sistema (144) per e sommando il risultato alla seconda equazione sistema (144),si ha
(147)
Quindi, dalle equazioni (146),(147) e dalla prima equazione del sistema (145) otteniamo
Integrando ambo i membri di quest’ultima equazione rispetto alla variabile si ha
dove è una funzione
che varia in modo
rispetto alle variabili
e
, e non dipende da
e
.
Abbiamo ottenuto una seconda informazione su
:
(148)
Dunque dobbiamo ricavare la funzione . Derivando ambo i membri della precedente equazione rispetto a
e usando la terza equazione del sistema (144) e la terza equazione del sistema (145) si ottiene
da cui, integrando ambo i membri della precedente equazione rispetto alla variabile , otteniamo
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
. Sfruttando la precedente equazione si può riscrivere l’equazione (148) come di seguito
(149)
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile Q2, e avvalendoci della quarta equazione del sistema (144), e della quarta equazione del sistema (145), si giunge a
da cui
Sostituendo quanto ottenuto nella precedente equazione in (149), troviamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 2.
sia non singolare, ovvero che per ogni
.
Osserviamo che
Calcoliamo quindi gli elementi della matrice usando le equazioni dei sistemi (144) e (145):
Ne segue che la matrice di funzioni è effettivamente una matrice costante data da
il cui determinante è
Segue che la matrice è non singolare per ogni .
(150)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di prima specie
.
- Si verifichi esplicitamente che la trasformazione del punto 1 conserva le parentesi di Poisson fondamentali.
- Si calcoli la trasformazione inversa della trasformazione data.
- Data l’hamiltoniana
si scriva l’hamiltoniana e si risolvano le equazioni di Hamilton nelle nuove variabili
, e si determini la soluzione delle equazioni di Hamilton in termini delle coordinate originali
con dati iniziali
.
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 2.
(151)
Nel nostro caso ricordiamo che la trasformazione è data dal sistema
(152)
Dalla prima equazione del sistema (150) possiamo calcolare :
(153)
Quindi, usando quanto ottenuto nella prima equazione del sistema (151), si ha
D’altra parte, dalla seconda equazione del sistema (152) e dalla seconda del sistema (151) si ottiene
(154)
Integrando ambo i membri della prima equazione del sistema (154) rispetto alla variabile si giunge a
(155)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
.
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla varaibile
si ottiene
Notiamo che
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato (153). Ora, avvalendoci di quanto fatto fino ad ora, la seconda equazione del sistema (154) diventa
o anche
Integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile diventa
Inserendo l’espressione di nell’equazione (155) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
(156)
essendo i casi e
ovvi in dimensione uno.
Calcoliamo i vari termini di (156). Da (150)
si ha
e dunque, sfruttando le due precedenti equazioni, l’equazione (156) diventa
come volevasi dimostrare.
Svolgimento punto 4.
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la prima equazione del sistema (152). Dunque, sfruttando la precedente equazione, otteniamo
(157)
Dalla precedente equazione e dalla prima equazione del sistema (152), si ottiene
(158)
Svolgimento punto 5.
Vogliamo ottenere l’hamiltoniana nelle coordinate .
Possiamo scrivere direttamente l’hamiltoniana
in funzione di
usando le formule del punto precedente:
(159)
Scriviamo ora le equazioni di Hamilton associate alle coordinate e
, ovvero
(160)
Dalla (159) abbiamo
da cui, integrando le equazioni del sistema (160) rispetto a , otteniamo
(161)
Usando le condizioni iniziali date dall’esercizio e il sistema (152), abbiamo
Quindi si ha
Possiamo infine calcolare le equazioni per e
usando (157) e (158) rispettivamente. Si ha
Abbiamo in definitiva ottenuto
(162)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di prima specie
.
- Si verifichi esplicitamente che la funzione generatrice trovata al punto precedente soddisfa la condizione che la matrice
di elementi
è non singolare nel dominio
.
- Data l’hamiltoniana
si scriva l’hamiltoniana
in funzione delle coordinate
e si risolvano le corrispondenti equazioni di Hamilton scrivendo la soluzione che fa seguito al dato iniziale
.
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 2.
(163)
Sfruttando la seconda equazione del sistema (162) è possibile riscrivere la seconda equazione del precedente sistema come di seguito
da cui si ha, integrando ambo i membri della precedente equazione rispetto a ,
(164)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
.
Osserviamo che, da una parte dall’equazione appena scritta ricaviamo la derivata parziale di
in funzione di
:
(165)
D’altra parte, dalle prime due equazioni del sistema (162) si ha
(166)
Quindi, dalle equazioni (165),(166) e dalla prima equazione del sistema (163) otteniamo
Integrando ambo i membri di quest’ultima equazione rispetto a , si ha
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alle variabili
e
.
Sostituendo quanto ottenuto nella precedente equazione nell’equazione (164) perveniamo a
(167)
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , e usando la terza equazione del sistema (162), e la terza equazione del sistema (163), si giunge ad
da cui, integrando ambo i membri rispetto alla variabile si ottiene,
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
. Sfruttando la precedente equazione e l’equazione (167) si ottiene
(168)
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , e usando la quarta equazione del sistema (162), e la quarta equazione del sistema (163), otteniamo
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la prima equazione del sistema (162). Dalla precedente equazione otteniamo quindi
conseguentemente, integrando ambo i membri rispetto alla variabile la precedente equazione, otteniamo
Sostituendo la precedente equazione in (168) troviamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
sia non singolare, ovvero che per ogni
in
.
Notiamo che
e
Calcoliamo gli elementi della matrice usando le equazioni dei sistemi (162) e (163):
Ne segue che la matrice di funzioni è data da
il cui determinante è
poiché, nel dominio ,
dove abbiamo usato la seconda equazione del sistema (162).
Svolgimento punto 4.
Vogliamo esprimere in funzione delle variabili
e scrivere l’hamiltoniana corrisponente
.
Ricordando la trasformazione data dal sistema (162) si ha
(169)
Ricordiamo che le equazioni di Hamilton associate ad sono date da
Sfruttando l’equazione (169) il precedente sistema diventa
Integrando rispetto al tempo ambo i membri tutte le precedenti equazioni, e considerando il dato iniziale , si ottiene
(170)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si trovi una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si verifichi esplicitamente che la funzione generatrice trovata al punto precedente soddisfa la condizione che la matrice
di elementi
è non singolare.
- Data l’hamiltoniana
si scriva l’hamiltoniana
e le corrispondenti equazioni di Hamilton.
- Si determini la soluzione
delle equazioni del moto del sistema con hamiltoniana
con dati iniziali
.
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 2.
(171)
Dalla seconda equazione del sistema (170) e dalla quarta equazione del sistema (171) si ha subito
da cui, da cui integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile si giunge a
(172)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alle variabili
e
e che non dipende da
.
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile
, e usando la prima equazione del sistema (171), e la terza equazione del sistema (170), otteniamo
Dunque
da cui, da cui integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile ,
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alle variabili
e
che non dipende da
e
.
Avvalendoci della precedente equazione è possibile riscrivere l’equazione (172) come segue
(173)
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , e usando la la quarta equazione del sistema (170), e la seconda equazione del sistema (171), si trova
Da
poiché
si ha
Quindi avvalendoci di quanto ottenuto, si ha
i.e
da cui, integrando ambo i membri rispetto a ,
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
.
Avvalendoci della precedente equazione l’equazione (173) può essere riscritta come di seguito
(174)
Derivando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile si ottiene
(175)
Conseguentemente avvalendoci della precedente equazione, della prima e della terza equazione del sistema (170), e dalla terza del sistema (171), otteniamo
da cui
e quindi, integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile , si trova
Dalla precedente equazione e dall’equazione (174) troviamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Svolgimento punto 3.
sia non singolare, ovvero che per ogni
.
Osserviamo che
e
Calcoliamo gli elementi della matrice usando le equazioni dei sistemi (170) e (171):
Dunque possiamo calcolare
Siccome il dominio della trasformazione, calcolato nel punto 1, fornisce
si ha per ogni
, e quindi la matrice è non singolare, come volevasi dimostrare.
Svolgimento punto 4.
Svolgimento punto 5.
dobbiamo dapprima ricavare le condizioni iniziali in termini delle nuove variabili usando la trasformazione (170):
Inserendo quanto ottenuto nelle equazioni del sistema (177) si ha
Infine dobbiamo ricavare le equazioni per . Usiamo ancora una volta le equazioni del sistema (170). Si ha
da cui
D’altra parte, dalla prima equazione del sistema (170),
ovvero, dalla terza equazione del sistema (170),
da cui, esplicitando la precedente equazione nella variabile , otteniamo
Si conclude che
La soluzione delle equazioni del moto cercata è dunque
- Si determini l’hamiltoniana
associata a
.
- Si scrivano le equazioni di Hamilton corrispondenti.
- Si determini il dominio della trasformazione di coordinate
(178)
e si dimostri che è canonica trovandone una funzione generatrice di seconda specie
.
- Si determini l’hamiltoniana
nel sistema di coordinate
.
- Si usi il risultato del punto precedente per trovare la soluzione
delle equazioni di Hamilton con dati iniziali
.
Premessa.
Svolgimento primo metodo punto 1.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Nel nostro caso, la funzione
è una funzione lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile: abbiamo dunque, siccome
,
Quindi
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 1.
per funzioni , con
per ogni
. Allora l’hamiltoniana corrispondente è
(179)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (179) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 2.
(180)
Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (180). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo
da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:
Svolgimento punto 3.
(181)
Il dominio di questa trasformazione è dato dall’insieme
Ricordiamo che una funzione generatrice di seconda specie è una funzione che deve rispettare le seguenti condizioni
(182)
Elevando al quadrato ambo i membri della seconda equazione del sistema (181) abbiamo
ovvero
Supponiamo che e
e lasciamo al lettore gli altri casi (che hanno un conto analogo). Allora si ha
(183)
da cui otteniamo che il sistema (182) diventa
(184)
Integrando la seconda equazione del sistema (184) rispetto alla variabile , ed essendo
e
, si ha
(185)
dove è una funzione che varia in modo
rispetto alla variabile
. Calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
usando la precedente equazione:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (184) e sfruttando l’equazione (183), si ha l’identità
ovvero
Integrando la precedente equazione rispetto a otteniamo
con una costante arbitraria.
Inserendo l’espressione di
nell’equazione (185) otteniamo finalmente la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie:
Svolgimento punto 4.
Poiché
si ha
Facendo il rapporto ambo i membri delle due equazioni del sistema (181) si ottiene
Sostituendo questo nella precedente formula otteniamo
Pertanto la nuova hamiltoniana cercata è
Svolgimento punto 5.
Essendo , si ha dunque
La prima equazione del sistema è immediata:
la quale, inserita nella seconda equazione del sistema, fornisce l’equazione differenziale per :
Integrando ambo i membri della precedente equazione tra l’istante di tempo e il generico istante
, si ottiene:
Ricordando che
usando le condizioni iniziali , otteniamo
(186)
Grazie al sistema (178) abbiamo
Avvalendoci dell’equazione (186) il precedente sistema diventa
Abbiamo quindi ottenuto, per ogni ,
(187)
Per ricavare le equazioni in e
, eleviamo al quadrato ambo i membri delle le equazioni del sistema (181), ottenendo
(188)
Abbiamo quindi
da cui
Usando il cambio di variabili
si ha
le cui soluzioni per sono
Usando le equazioni per e
ottenute in (187) si ha
dove è la soluzione scegliendo il
e
è quella scelgliendo il
.
Dunque si hanno quattro possibilità per
: poiché
,
e
Si hanno dunque, per le soluzioni
e per le soluzioni
Infine, dobbiamo scegliere l’unica soluzione che fa seguito al dato iniziale . Osserviamo che
Si conclude che la soluzione del moto è data da
trascurabile. Si assuma come coordinata lagrangiana l’angolo
- Si determini la lagrangiana del sistema.
- Si determinino le configurazioni di equilibrio del sistema e se ne discuta la natura.
- Si supponga che il sistema parta dalla quiete nella configurazione iniziale
. Calcolare la velocità angolare dell’asta
quando il sistema raggiunge la configurazione in cui
.
- Si determini il momento cinetico
coniugato all’angolo
e si scrivano le equazioni di Hamilton del sistema.
Si osservi che nella figura 2 si è scelto un sistema di riferimento fisso . Tutti i risultati devono essere forniti relativamente a tale sistema di riferimento. Inoltre, si consideri il sistema dinamico conservativo.
Figura 2: schema del problema.
Svolgimento punto 1.
(189)
e per il punto l’ascissa
è data da
dove abbiamo considerato il triangolo isoscele , definendo
come il punto medio del segmento
e considerando il triangolo
, è chiaro che il lato
, da cui
(190)
Il centro di massa dell’asta in coordinate coincide con il punto medio dell’asta, perché si è supposto che la massa sia distribuita in modo omogeneo su tutta
la lunghezza dell’asta, cioè
(191)
e la sua velocità è data da
dove e
sono i versori rispettivamente dell’asse
e dell’asse
.
Il modulo della velocità al quadrato è
(192)
Utilizzando il teorema di König per l’energia cinetica, possiamo riscrivere l’energia cinetica dell’asta come
(193)
dove è il momento d’inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace il sistema, cioè
(194)
Sostituendo e
, calcolati rispettivamente nelle equazioni (192) e (194), nell’equazione (193) si ottiene
(195)
Il disco rispetto al polo ruota e basta, pertanto la sua energia cinetica è solo rotazionale, quindi è data, sempre per il teorema di König per l’energia cinetica, da
dove è il momento d’inerzia del disco relativo ad un asse passante per
e perpendicolare al piano sul quale giace il disco.
Per il teorema di Huygens-Steiner , dove
è il momento d’inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace. Nel nostro caso
dove abbiamo sostituito .
L’energia cinetica del disco è2
(196)
L’energia cinetica totale del sistema è data dalla somma dell’energia cinetica del disco e dell’asta, date da (195) e (196), cioè
(197)
L’energia potenziale del sistema composto dal disco e dall’asta è data dalla somma dell’energia potenziale gravitazionale del disco e dell’asta, e dall’energia potenziale elastica dovuta alla forza della molla che collega a
.
L’energia potenziale è
(198)
dove e
sono rispettivamente l’ordinata di
e
, e
è la lunghezza della molla.
Le coordinate del centro di massa del disco sono
(199)
Sfruttando (199) e (190) è possibile calcolare , cioè
(200)
Sostituendo nell’equazione (198) i valori di ,
, e
(calcolati rispettivamente nelle equazioni (191), (199) e (200), si ha
(201)
Si osservi che con abuso di notazione abbiamo posto .
Determiniamo la lagrangiana del sistema, sfruttando le equazioni (197) e (201). Abbiamo dunque
-
Si ricordi che
↩
Svolgimento Punto 2.
(202)
Dall’equazione (202) otteniamo
che hanno soluzioni rispettivamente e
, dove abbiamo posto
.
Dunque i punti di equilibrio determinati sono
Si noti che le ultime due soluzioni e
per la condizione di esistenza dell’arcocoseno hanno senso solo se
.
Per studiare la natura dei punti trovati applichiamo il teorema delle derivate successive. Calcoliamo la derivata seconda di , cioè
(203)
Valutiamo la derivata seconda nei punti trovati. Si ha
Per il teorema delle derivate successive deduciamo che il punto è un punto di equilibrio stabile.
Valutiamo
- Se
allora
. Pertanto
è un punto di equilibrio stabile.
- Se
allora
. Pertanto
è un punto di equilibrio instabile.
- Se
allora
, pertanto lo studio del punto
richiede un supplemento d’indagine. Calcoliamo la derivata terza del potenziale, cioè
Valutiamo
, pertanto dobbiamo calcolare la derivata quarta del potenziale. Abbiamo dunque
Valutiamo
e poniamo
, ottenendo
Pertanto
è un punto di equilibrio instabile.
Valutiamo
Ora sfruttiamo il seguente fatto
da cui abbiamo
(204)
Vale che e dall’osservazione precedente
esiste solo se
. Deduciamo le seguenti conclusioni.
- Se
allora
. Pertanto
è un punto di equilibrio instabile.
- Se
allora
, già studiato in precedenza.
Osserviamo che
per cui
Dunque, per il punto valgono le stesse considerazioni fatte per il punto
.
Per otteniamo
che non va studiato perché stiamo considerando
Svolgimento Punto 3.
Osserviamo che il sistema quando si trova nella posizione è in quiete, pertanto l’energia totale nell’istante iniziale sarà solo potenziale, ovvero
(205)
Si osservi che per il calcolo esplicito abbiamo sostituito nell’espressione dell’energia potenziale (calcolata in (201)).
L’energia nell’istante in cui il sistema si trova a
è
(206)
dove abbiamo valutato in le espressioni dell’energia cinetica e potenziale (calcolate in (197) e (201)).
Quindi uguagliando (205) e (206) si ha
da cui
Ne segue
Si osservi che la velocità angolare è negativa perché il sistema si muove in senso orario.
Svolgimento Punto 4.
Ora scriviamo in funzione di
per poter scrivere l’hamiltoniana
(207)
Allora
Le equazioni di Hamilton sono date da
da cui
Approfondimento.
Istantaneamente ogni punto dell’asta si muove di moto circolare rispetto ad esso, e pertanto il prodotto scalare tra la velocità del punto e il vettore che congiunge la posizione del punto materiale rispetto al CIR deve essere zero. Per determinare le coordinate del basta porre tale condizione rispetto ai soli punti
e
. Osserviamo che, fissato l’angolo
, scegliendo i soli due punti
e
imponendo la condizione descritta in precedenza, si ottiene un sistema di due equazioni in due incognite , ovvero nelle solo variabili
e
. Nella figura 3
riportiamo la situazione descritta.
Figura 3: posizione del CIR.
Abbiamo dunque
dove con e
si intendono i vettori posizione che collegano rispettivamente
e CIR e
e CIR, e con
e
si intendono rispettivamente le velocità di
e
. Da (189) e (190) si ha che
quindi il sistema diventa
da cui
o anche
ovvero
cioè
conseguentemente
(208)
L’energia cinetica dell’asta è data da
dove è il momento d’inerzia dell’asta rispetto al CIR. Il momento
può essere determinato applicando il teorema di Huygens-Steiner, cioè
dove è la distanza tra il CIR e il centro di massa dell’asta. Da (194) si ha
, e vale che
Sfruttando quanto ottenuto, possiamo determinare l’energia cinetica dell’asta, cioè
(209)
come ottenuto in precedenza in (195).
(210)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si determinino i valori di
per cui la trasformazione è simplettica.
- Per i valori dei parametri trovati al punto precedente, data l’hamiltoniana
si determini l’hamiltoniana
nelle variabili
.
- Si determini nel nuovo sistema di coordinate
la soluzione corrispondente al dato iniziale
.
- Si scriva la soluzione trovata al punto precedente nel sistema di coordinate originale
.
Svolgimento Punto 1.
Svolgimento Punto 2.
- Non dipende esplicitamente dal tempo.
- È una trasformazione canonica.
Dal sistema (210) osserviamo che la trasformazione non dipende esplicitamente dal tempo. Per verificare che la trasformazione è canonica dobbiamo verificare che conserva le parentesi di Poisson fondamentali, ovvero dobbiamo controllare che sia verificato
(211)
Calcoliamo i vari termini di (211) derivando le equazioni in (210), da cui
Dunque si ha
e
Quindi, sfruttando le due precedenti equazioni, abbiamo
L’equazione (211) è verificata se
Affinché l’equazione precedente valga per ogni , imponiamo
. Allora deve essere,
L’uguaglianza è ver per ogni se imponiamo
, ovvero
. Allora si ha
, da cui
.
Dunque la trasformazione è canonica (e quindi simplettica) se
Svolgimento Punto 3.
e riscriviamo la trasformazione (210) con i parametri appena trovati. Abbiamo
(212)
Dalla seconda equazione si nota subito che
Quindi, l’hamiltoniana nelle coordinate e definita per
, è
Svolgimento Punto 4.
(213)
Derivando rispetto a
e
, otteniamo
(214)
Integrando entrambi i membri della precedente equazione tra e
, otteniamo
Sapendo che i dati iniziali sono e
, usando la trasformazione (212), si ha
Abbiamo in definitiva ottenuto, per :
Svolgimento Punto 5.
(215)
Dalla prima equazione del sistema precedente otteniamo
Inserendo quanto ottenuto nella seconda equazione del sistema (215) si ha
In definitiva, abbiamo la soluzione, valida per ogni ,
\]
la quale è l’unica soluzione che fa seguito al dato iniziale ,
.
(216)
- Si determini il dominio
della trasformazione.
- Si dimostri che la trasformazione è canonica trovandone una funzione generatrice di seconda specie
. Si verifichi esplicitamente che tale funzione generatrice
soddisfa la condizione
- Data la Lagrangiana
si determini la corrispondente hamiltoniana
.
- Si determini l’hamiltoniana
nelle coordinate
.
- Si risolvano le equazioni del moto nelle variabili
in corrispondenza dei dati iniziali, in coordinate lagrangiane,
.
Premessa.
Svolgimento Punto 1.
Svolgimento Punto 2.
(217)
Dalla seconda equazione del sistema (217) e dalla prima equazione del sistema (216) si ottiene
Integrando ambo i membri dell’ equazione precedente rispetto alla variabile si ottiene
(218)
dove è una funzione di classe
che dipende dalla sola variabile
. Per ricavare
calcoliamo la derivata parziale di
rispetto a
:
Sostituendo la formula precedente nella prima equazione del sistema (217), e invertendo la prima equazione del sistema (216), si ottiene
ovvero
da cui
dove è una costante arbitraria. Inserendo l’espressione di
nell’equazione (218) otteniamo la famiglia di funzioni generatrici di seconda specie richiesta:
Proviamo ora che non si annulla mai in
.
Siccome la funzione definita da
è di classe , è lecito calcolare
Osserviamo che la funzione si annulla solo se
.
Siccome la retta
non appartiene al dominio
abbiamo provato che
non si annulla mai in
.
Svolgimento primo metodo punto 3.
Quando la funzione è invertibile, allora possiamo esprimere
in termini di
e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione
Osserviamo che e
sono funzioni di
e
.
Nel nostro caso, la funzione
è una funzione lineare (vista come funzione di ) e quindi è chiaramente invertibile, abbiamo dunque
(219)
Sfruttando la precedente equazione possiamo esprimere la lagrangiana nelle variabili e
, i.e.
Si ha
Si conclude che l’hamiltoniana del sistema è
Svolgimento secondo metodo punto 3.
per funzioni , con
per ogni
, allora l’hamiltoniana corrispondente è
(220)
Nel caso specifico dell’esercizio, abbiamo
Pertanto, da (220) si ha
ottenendo lo stesso risultato fornito dal metodo 1.
Svolgimento punto 4.
Usando le equazioni del sistema precedente nella formula di trovata al Punto 3, otteniamo immediatamente
e dunque, per ogni ,
Svolgimento punto 5.
Dalla formula per trovata al punto precedente, abbiamo
da cui il precedente sistema diventa
(221)
Derivando ambo i membri delle seconda equazione del sistema precedente rispetto al tempo abbiamo , e usando la prima equazione del medesimo sistema, si ottiene un’equazione differenziale lineare del secondo ordine per la variabile
, data da:
(222)
la cui soluzione generale è
(223)
Calcolando in le precedenti equazioni otteniamo
(224)
e
Dalla precedente equazione e dalla seconda equazione del sistema (221) si ha,
(225)
Non resta che trovare le condizioni iniziali e
. Derivando l’equazione (225) rispetto al tempo si ha
(226)
D’altra parte, valutando l’equazione (225) in ,
(227)
Infine, siccome , dalla prima equazione del sistema (216) si ha
Invertendo l’equazione (219) e sostituendola nella seconda equazione del sistema (216), otteniamo
Inserendo quanto ottenuto nelle equazioni (226) e (227), otteniamo finalmente
(228)
Mettendo insieme le equazioni (224), (225) e (228), abbiamo in definitiva la soluzione delle equazioni di Hamilton richiesta: per ogni vale
Riferimenti bibliografici
[1] Celletti, A., Esercizi di meccanica razionale,, Aracne (1999).
[2] Gentile, G., Introduzione ai sistemi dinamici – Volume 1,, Springer (2021).
[3] Gentile, G., Introduzione ai sistemi dinamici – Volume 2, Springer (2022).
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