Esercizio urti 1

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Tre blocchetti di massa m_1= 1 kg, m_2= 4\,\text{kg}, m_3= 3\,\text{kg} stanno su un asse orizzontale liscio. Il blocchetto m_1 ha velocità v_1= 2 \,\text{m/s}, il blocchetto m_2 è fermo, il blocchetto m_3 ha velocità v_3= -1\,\text{m/s} . Nello stesso istante contemporaneamente i blocchetti m_1 e m_3 urtano il blocchetto m_2, provenendo da versi opposti rispetto alla sua posizione, e vi restano attaccati. Calcolare: a) la velocità del sistema dopo l’urto, b) la variazione della quantità di moto di m_1 nell’urto; c) la variazione dell’energia cinetica di m_3 nell’urto.

 

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Svolgimento punto a. Scegliamo un opportuno sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui la direzione delle ascisse sia parallela alla direzione dei vettori \vec{v}_1 e \vec{v}_3. Dopo l’urto considerato, di tipo completamente anelastico, i tre blocchetti si muovono insieme all’unisono, ossia con la stessa velocità \vec{v}_f, lungo l’asse x; occorre pertanto, come prima cosa, determinare modulo e verso di tale vettore rispetto al nostro sistema di riferimento.
Consideriamo la conservazione della quantità di moto del sistema in questione [1]

(1)   \begin{equation*} m_1 \vec{v}_1 + m_3 \vec{v}_3 = m_{tot} \vec{v}_f \end{equation*}

da cui segue, dividendo entrambi i membri per m_{tot}:

(2)   \begin{equation*} \vec{v}_f=\frac{m_1 \vec{v}_1 + m_3 \vec{v}_3}{m_{tot}} \end{equation*}

dove si è indicata con m_{tot}=m_1+m_2+m_3 la massa totale formata dal sistema dei tre blocchetti dopo l’urto. Sostituendo i valori numerici, avendo cura di riportare il segno meno per il modulo del vettore \vec{v}_3, di segno opposto a quello di \vec{v}_1, segue che:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{v}_f=-0,125 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}\,\hat{x}.}\]

 

La velocità finale, di segno negativo, è pertanto rappresentativa della situazione alla fine dell’urto illustrata in figura 2, dove anche il sistema di riferimento scelto è visibile, per maggiore chiarezza:

 

 

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Svolgimento punto b. Per rispondere al secondo quesito, consideriamo il blocchetto m_1: dopo l’urto, esso si muove alla velocità dell’intero sistema, cioè \vec{v}_f. Per determinare la variazione della quantità di moto di m_1 nell’urto, che indicheremo brevemente con \Delta \vec{p}_{1} occorre pertanto considerare la seguente relazione:

(3)   \begin{equation*} \Delta \vec{p}_1 = \vec{p}_{1f} - \vec{p}_{1i} = m_1\vec{v}_{f} - m_1 \vec{v}_{1} \end{equation*}

dove si sono indicati rispettivamente con \vec{p}_{1f} e \vec{p}_{1f} i vettori quantità di moto finale e iniziale per la massa m_1. Sostituendo ancora i valori numerici, otteniamo

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta \vec{p}_1= - 2.125 \ \ \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}\,\,\hat{x}.}\]

 

Svolgimento punto c. Per rispondere all’ultima richiesta, consideriamo invece la massa m_3; per determinare la variazione di energia cinetica di m_3 nell’urto consideriamo la relazione:

(4)   \begin{equation*} \Delta K_3 = K_{3,f} - K_{3,i} = \frac{1}{2} m_3 v_f^2 - \frac{1}{2} m_3 v_3^2 \end{equation*}

in cui si sono indicate con \Delta K_3, K_3i e K_3f la variazione di energia cinetica, l’energia cinetica iniziale e quella finale, rispettivamente. Ancora una volta, basterà sostituire i valori numerici per ottenere

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta K_3= -1,47 \,\text{J}.}\]

 

 

 

1.  Ricordiamo che negli urti anelastici in assenza di forze esterne di natura impulsiva la quantità di moto del sistema si conserva, mentre l’energia cinetica non si conserva.

 

 

Fonte: Esercizio 8.3 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.