Statica del corpo rigido: testi degli esercizi

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Statica del corpo rigido: testi degli esercizi

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Statica del corpo rigido: autori e revisori

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Autori e Revisori:

Valerio Brunetti, Giuseppe Palaia.

Autori:

Romano Rotonda, Daniele Massaro, Andrea Corradini, Davide Vignotto, Cosimo Tommasi.

Revisori:

Cesare Malagù, Nicola Fusco.

Autori in collaborazione:

Giulia Romoli, Antonio Figura, Christian Magliano.

Ex Autori & Revisori:

Patrizio Di Lorenzo, Simone Brozzesi, Nicola Santamaria, Vittorio Larotonda, Leonardo Rebeschini, Simone Romiti, Antonio Junior Iovino, Daniele Bjørn Malesani, Tiziano Schiavone, Serena Lezzi, Marco Chilioiro.

Testi degli esercizi sulla statica del corpo rigido

Esercizio 1 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . L’estremità di una trave omogenea di massa $m$ e lunga $\ell$ è incernierata ad un muro. L’altro estremo è sostenuto da un filo nella posizione indicata in figura 1. Inoltre sia $\alpha$ l’angolo formato dalla fune con il muro, come in figura 1.
(a) Trovare la tensione $\vec{T}$ generata dal filo che collega la trave al muro.
(b) Trovare la reazione vincolare $\vec{R}$ generata dalla cerniera per mantenere il sistema in equilibrio.

Figura 1: schema della trave incernierata e del filo che forma un angolo $\alpha$ con il muro.

Svolgimento esercizio 1.

Esercizio 2 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il sistema rappresentato in figura 2 è in equilibrio. Una massa di $m_1$ è appesa all’estremità del puntone, che ha una massa di $m_2$ . Gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ sono rappresentati in figura 2. Trovare
(a) la forza di tensione $T$ nel cavo;
(b) determinare la forza $\vec{R}$ generata dalla cerniera.

Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile.

Figura 2: diagramma del sistema con il puntone, la cerniera e la massa $m_1$ . Gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ sono mostrati.

Svolgimento esercizio 2.

Esercizio 3 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta composta da due metà, ciascuna di lunghezza $L$ e massa $m$ , può ruotare in un piano verticale intorno ad un perno passante per il suo punto medio e posto ad una quota $2L$ da terra (si veda la figura 3). La metà di sinistra ha densità lineare $\lambda_1$ uniforme, mentre quella di destra ha densità lineare $\lambda_2=kx^2$ , con $x$ distanza dal centro dell’asta. Alla rotazione si oppone un momento frenante $\vec{M}$ .

Determinare:

a) l’angolo $\theta_{eq}$ che la barra forma con la verticale nella posizione di equilibrio statico;
b) l’energia potenziale $U_{eq}$ della barra in tale posizione, calcolata rispetto a terra.

Effettuare i calcoli con $L=1\,\text{m}$ , $m=1\,\text{kg}$ , $M=1,2\,\text{N}\cdot\text{m}$

Figura 3: schema dell’asta con densità lineari $\lambda_1$ e $\lambda_2$ e perno di rotazione al punto medio.

Svolgimento esercizio 3.

Esercizio 4 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due aste $AB$ e $CD$ omogenee, di uguale lunghezza e massa $m$ , vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta $AB$ viene poi incernierato a un punto $O$ (vedere la figura 4) intorno al quale l’asta può ruotare senza attrito. Si calcolino i valori dell’angolo $\alpha$ formato dall’asta $AB$ rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.

Figura 4: due aste $AB$ e $CD$ omogenee, di uguale lunghezza e massa $m$ , saldate perpendicolarmente con l’estremo libero dell’asta $AB$ incernierato al punto $O$ . L’angolo $\alpha$ è quello formato dall’asta $AB$ con l’orizzontale.

Svolgimento esercizio 4.

Esercizio 5 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza $\ell$ , poggia con un’estremità su un piano orizzontale scabro ( $\mu_s=0.2$ ) e con l’altra contro una parete verticale liscia. Si determini l’angolo di minima inclinazione $\theta_{min}$ che la scala puo’ formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.

Figura 5: rappresentazione della fisica del problema 5.

Svolgimento esercizio 5.

Esercizio 6 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due aste omogenee e uguali, ciascuna di massa $m$ , sono saldate insieme per un’estremità e l’angolo compreso tra le due aste è $\alpha$ e l’angolo $\beta$ è l’angolo formato dall’asta $AB$ e il piano orizzontale (guardare figura 6). Il sistema è incernierato senza attrito in $A$ ed è in equilibrio nella posizione di figura sotto l’azione della forza verticale $\vec{F}$ applicata in $C$ .
Si calcoli l’intensità della forza $\vec{F}$ , esprimendo i risultati in funzione di $\beta \,\, \text{e} \,\, \alpha$ .

Figura 6: due aste omogenee incernierate in $A$ con una forza $\vec{F}$ verticale applicata in $C$ .

Svolgimento esercizio 6.

Esercizio 7 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta omogenea di lunghezza $L$ è appoggiata sulla superficie di una semisfera perfettamente liscia di raggio $r$ fissata a un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico $\mu_s$ , come mostrato in figura 7. Dimostrare che se il sistema è in equilibrio vale la seguente relazione

(1) $\begin{equation*} \dfrac{1-\cos\left(2\theta\right)}{\dfrac{4r}{L}-\sin\left(2\theta\right)}\leq \mu_s, \end{equation*}$

dove $\theta$ è l’angolo che forma il segmento (raggio della sfera) che congiunge il centro della sfera ( $C$ ) e il punto di contatto tra asta e sfera ( $B$ ) con il piano orizzontale.

Figura 7: geometria del problema 7

Svolgimento esercizio 7.

Esercizio 8 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta omogenea di lunghezza $L$ è appoggiata in corrispondenza dello spigolo di un gradino di altezza $H$ e di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico $\mu_s$ , come mostrato nella figura 8>. Se l’asta è in equilibrio, dimostrare che vale la seguente relazione

(2) $\begin{equation*} \dfrac{\sin\left(2\theta\right)}{2\left(\sin^2 \theta +1\right) } \leq \mu_s, \end{equation*}$

dove $\theta$ è l’angolo che forma l’asta con il piano orizzontale.

Figura 8: illustrazione del sistema con le dimensioni $L$ e $H$ e l’angolo $\theta$ .

Svolgimento esercizio 8.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il sistema in figura 9 composto da un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ e da un’asta omogenea $AB$ di lunghezza $\ell$ e massa $m$ . Il disco è appoggiato ad una guida verticale scabra (coincidente con l’asse $y$ ). L’estremo $A$ dell’asta è incernierato al centro del disco, mentre l’estremo $B$ è semplicemente appoggiato su una guida orizzontale liscia (coincidente con l’asse $x$ ). Gli assi descritti definiscono un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , con asse $z$ uscente dal piano del disegno. Il sistema è contenuto nel piano verticale $xy$ , dove agisce l’accelerazione di gravità $\vec{g}$ . L’asta forma un angolo $\alpha$ con la guida orizzontale. Una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla collega l’origine $O$ al punto $A$ , e una coppia di momento $\vec{C} = C \, \hat{z}$ è applicata al disco ( $\hat{z}$ denota il versore dell’asse $z$ ). Il momento $\vec{C}$ può essere applicato rispetto ad un qualsiasi polo. Si richiede di determinare la reazione vincolare sull’asta nel punto $B$ e il valore della coppia $C$ affinché il sistema sia in equilibrio.

Figura 9: configurazione del sistema.

Svolgimento esercizio 9.

Esercizio 10 $(\bigstar \bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Il sistema in figura 10 è formato da tre aste di uguale lunghezza $\ell$ , incernierate agli estremi. Le aste $OA$ e $BC$ hanno
massa $m$ , distribuita in modo omogeneo, mentre l’asta $AB$ ha massa trascurabile. Le cerniere in $A$ e $B$ sono mobili, la cerniera in $O$ è fissa nel sistema di riferimento fisso $Oxyz$ mostrato in figura 10. La cerniera in $C$ è vincolata tramite un carrello a muoversi lungo l’asse orizzontale $x$ . Tutti i vincoli sono lisci. Una molla ideale, con massa trascurabile, lunghezza a riposo nulla e di costante elastica $k$ collega il punto fisso $O$ al carrello $C$ . All’asta $OA$ è applicato un momento esterno $\vec{M} = M\hat{z}$ (dove $\hat{z}$ è il versore dell’asse $z$ ) nel polo $O$ . Determinare i valori della costante $k$ e del momento $\vec{M}$ per i quali la configurazione di equilibrio del sistema sia quella con l’asta $AB$ parallela all’asse orizzontale (come mostrato in figura 10) e l’asta $OA$ che forma con l’asse $x$ un angolo $0 < \alpha < \pi/2$ .