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Energia potenziale gravitazionale: teoria

Gravitazione in Meccanica classica

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.


 
 

Introduzione

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L’energia potenziale gravitazionale è un tipo di energia, appunto potenziale, associata al campo gravitazionale. Poiché le forze gravitazionali sono conservative, è possibile definire un potenziale e un’energia potenziale che consentono di tenere conto dello stato di un sistema gravitazionale e della sua capacità di compiere lavoro o immagazzinare energia.

In questo articolo definiamo l’energia potenziale gravitazionale, ne calcoliamo esplicitamnte l’espressione, e la illustriamo attraverso alcuni esercizi completamente risolti. Introduciamo poi il concetto, strettamente legato, di velocità di fuga.


 
 

Energia potenziale gravitazionale

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La forza gravitazionale è una forza centrale, e quindi è conservativa, come dimostrato in Teoria sulla gravitazione. Pertanto, possiamo definire per la forza gravitazionale un’energia potenziale gravitazionale nella forma di

(1) \begin{equation*} U(r)=-\int_{r_0}^{r}F(r)\,dr+\text{costante}. \end{equation*}

Calcoliamo tale espressione. Sfruttando la legge di gravitazione universale

(2) \begin{equation*} \vec{F}_{1,2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}

si ha

(3) \begin{equation*} \dfrac{k}{r^2}=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}, \end{equation*}

da cui

(4) \begin{equation*} k=Gm_1m_2. \end{equation*}

Abbiamo dunque, sfruttando (1), quanto segue

(5) \begin{equation*} \begin{split} U(r) &= -\int_{r_0}^{r} F(r)\,\mathrm{d}r + \text{costante} \\ &= -\int_{r_0}^{r} \left(-\frac{G m_1 m_2}{r^2}\right)\,\mathrm{d}r + \text{costante} \\ &= -\frac{G m_1 m_2}{r} + \frac{G m_1 m_2}{r_0} + \text{costante} \\ &= -\frac{G m_1 m_2}{r} + \text{costante} \end{split} \end{equation*}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo “inglobato” il termine \dfrac{Gm_1m_2}{r_0} dentro la costante, richiamando con abuso di notazione, la nuova costante sempre con lo stesso nome del passaggio precedente.

Si osservi che

(6) \begin{equation*} \begin{split} \left[U\right]&= \left[G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}\right]= \left[\text{m}^3\cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{s}^{-2}\cdot\,\text{kg}^{2}\cdot \text{m}^{-1}\right]=\\ &= \left[\text{m}^2\cdot \text{kg}\cdot \text{s}^{-2}\right]= \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot \text{kg} \cdot \text{m}\right]=\\ &= \left[\text{N}\cdot \text{m}\right]= \left[\text{J}\right] \end{split} \end{equation*}

L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria

(7) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ U(r)=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}+\text{costante}. } \end{equation*}

Se i corpi m_1 e m_2 sono molto lontani tra di loro, essendo la loro distanza r molto grande, è lecito supporre che la forza di attrazione gravitazionale sia molto debole, ovvero che sia quasi nulla. Di conseguenza, non essendoci attrazione tra i corpi, per convenzione si suppone U(r=\infty)=0, da cui si trova la costante del potenziale pari a zero. Si osservi che in fisica, poiché possibile osservare solo differenze di potenziali, ai fini di tale “calcolo” scrivere U(r)=-Gm_1\,m_2/r è equivalente a calcolare la differenza di energia tra i corpi quando si trovano all’infinito e alla generica distanza r.

Consideriamo un corpo di massa m. Il campo gravitazionale prodotto da esso è dato da

(8) \begin{equation*} \vec{g}=-\dfrac{Gm}{r^2} \, \hat{r}. \end{equation*}

Questo campo è conservativo, poiché esiste un potenziale, infatti abbiamo

(9) \begin{equation*} \vec{g}=-\nabla V, \end{equation*}

o anche

(10) \begin{equation*} -\dfrac{Gm}{r^2}=-\dfrac{dV}{dr}, \end{equation*}

da cui, integrando ambo i membri dell’ultima equazione rispetto alla variabile r, si ottiene

(11) \begin{equation*} V(r)=-\dfrac{Gm}{r}+\text{costante}. \end{equation*}

Procedendo, con lo stesso ragionamento fatto con l’energia, possiamo assumere la precedente costante sia pari a zero1.

(12) \begin{equation*} V(r)=-\dfrac{Gm}{r}. \end{equation*}

Possiamo dunque scrivere U(r) come segue

(13) \begin{equation*} U(r)=V(r)\,m_1, \end{equation*}

assumendo che m=m_2, oppure in modo equivalente, assumendo che m=m_1, si ottiene

(14) \begin{equation*} U(r)=V(r)\,m_2. \end{equation*}

Abbiamo così ottenuto un legame tra l’energia potenziale e il potenziale del campo \vec{g}. Osserviamo, inoltre che, il potenziale V esiste indipendentemente dal sussistere di una relazione tra due masse puntiformi m_1 e m_2, essendo una proprietà dello spazio generata dal campo \vec{g}.

Un’altra fondamentale conseguenza della natura conservativa della forza gravitazionale è la conservazione, oltre a quella del momento angolare, dell’energia totale del sistema a due corpi composto da m_1 e m_2.

In ogni istante, l’energia totale del sistema è

(15) \begin{equation*} E_T=K_T+U_T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2\,v_2^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}, \end{equation*}

dove v_1 e v_2 sono rispettivamente i moduli della velocità di m_1 e m_2, in un generico istante t>0.    

  1. Ossia richiedendo che V(r=\infty)=0 ↩

 
 

Velocità di fuga

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Una semplice ed interessante applicazione dell’equazione (15) è data dal calcolo della velocità di fuga. Si definisce velocità di fuga di un punto materiale di massa m, la velocità iniziale che esso deve possedere affinché, lanciato dalla superficie di un generico corpo celeste2, riesca a sfuggire al suo campo gravitazionale. In altri termini, la velocità di fuga è quella velocità che deve avere un corpo sulla superficie di un corpo celeste, affinché riesca ad arrivare a distanza infinita da esso con velocità nulla. Per calcolare la velocità di fuga immaginiamo di lanciare un oggetto di massa m da un corpo celeste di massa M e raggio R. Applichiamo la legge di conservazione dell’energia. In particolare, all’istante iniziale l’oggetto parte dalla superficie di M con velocità v_{\text{fuga}}, e all’istante finale raggiunge una distanza infinita con velocità nulla. Dunque

(16) \begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f \qquad \Rightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{fuga}}^2-G\,\dfrac{m\,M}{R}=0. \end{equation*}

La velocità di fuga di un generico corpo si può allora scrivere come

(17) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ v_{\text{fuga}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}. } \end{equation*}

Nel caso terreste si ha v_{\text{fuga}} \approx 11{,}2 \ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}.

   

  1. Un corpo celeste è un oggetto naturale che si trova al di fuori dell’atmosfera terrestre, come una cometa, un asteroide, la Luna, un pianeta, il Sole o una stella. ↩

 
 

Energia potenziale gravitazionale: esercizi svolti

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Siano m_1 e m_2 due masse poste a grande distanza. La velocità iniziale di m_1 è nulla, e quella di m_2 ha modulo pari a v_2 ed è diretta nella direzione del segmento che congiunge i due corpi, ovvero \hat{r}. Determinare il modulo v della velocità di m_2 quando si trova ad una distanza r da m_1 molto minore della distanza iniziale.

Svolgimento.

Inizialmente i due corpi sono posti ad una distanza tale da rendere trascurabile l’energia di interazione. Osserviamo che la somma delle forze esterne al sistema è nulla, pertanto si conserva la quantità di moto del sistema in ogni istante. Sappiamo che, la quantità di moto iniziale del sistema è fornita dalla sola massa m_2, poiché m_1 inizialmente è fermo per ipotesi, abbiamo dunque

(18) \begin{equation*} \vec{p}_i=m_2\vec{v}_2. \end{equation*}

Essendo i corpi soggetti alla forza di attrazione gravitazionale, deduciamo che nel generico istante t>0 la quantità di moto è

(19) \begin{equation*} \vec{p}_f=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}=(m_1v_1-m_2v)\,\hat{r}, \end{equation*}

dove abbiamo scelto un sistema di riferimento Ox tale per cui l’asse delle x giaccia nella direzione del segmento che congiunge m_1 e m_2 e tale per cui m_2 abbia una velocità orientata nel verso negativo delle x, e m_1 nel verso positivo delle x. Dalla conservazione della quantità di moto, si ha

(20) \begin{equation*} m_1v_1-m_2v=m_2v_2. \end{equation*}

L’energia totale iniziale E_i del sistema composto dalle due masse coincide con l’energia cinetica del corpo avente massa m_2, il solo ad avere velocità non nulla:

(21) \begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}m_2\,v_2^2. \end{equation*}

Dopo un dato intervallo di tempo il corpo di massa m_2 raggiungerà una distanza r dall’altro corpo a velocità incognita \vec{v} tale che la loro energia d’interazione non sia più trascurabile. Dunque, quando i corpi si trovano ad una distanza r, possiamo scrivere l’energia finale E_f come

(22) \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}\,m_2\,v^2+\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}, \end{equation*}

dove v_1 è la velocità finale di m_1. In virtù della conservazione dell’energia si ha:

(23) \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

da cui

(24) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m_2\,v_2^2=\dfrac{1}{2}\,m_2\,v^2+\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}, \end{equation*}

cioè

(25) \begin{equation*} v^2=v_2^2-\dfrac{m_1}{m_2}\,v_1^2+\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}. \end{equation*}

A questo punto mettiamo a sistema (25) e (20); esprimendo v_1 dall’equazione (20) abbiamo

(26) \begin{equation*} v_1=\dfrac{m_2}{m_1}\,(v_2+v), \end{equation*}

che sostituita nell’equazione (25) ci fornisce

(27) \begin{equation*} v^2=v_2^2-\dfrac{m_2}{m_1}\,(v_2^2+v^2+2\,v_2\,v)+\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}. \end{equation*}

Al fine di risolvere l’equazione quadratica per v, riordiniamola

(28) \begin{equation*} \left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)\,v^2+2\,\dfrac{m_2}{m_1}\,v_2\,v + \left(\dfrac{m_2}{m_1}-1\right)\, v_2^2-\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}=0 \end{equation*}

e calcoliamone il discriminante

(29) \begin{equation*} \begin{split} \Delta&=4\,\dfrac{m_2^2}{m_1^2}\,v_2^2-4\left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)\left[\left(\dfrac{m_2}{m_1}-1\right)\, v_2^2-\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}\right]=\\ &=4\,\dfrac{m_2^2}{m_1^2}\,v_2^2-4\left[\left(\dfrac{m_2^2}{m_1^2}-1\right)\, v_2^2-\left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)\,\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}\right]=\\ &=4\,v_2^2+4\,\left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)\,\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}, \end{split} \end{equation*}

il quale risulta essere positivo. Il modulo della velocità v di m_2 è pertanto

(30) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ v=\dfrac{-\dfrac{m_2}{m_1}\,v_2+\sqrt{v_2^2+\left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)\,\dfrac{2\,G\,m_1}{r^2}}}{\dfrac{m_2}{m_1}+1} } \end{equation*}

in cui la soluzione negativa è stata scartata poiché il modulo della velocità deve essere positivo.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare attorno ad un pianeta di massa M; il raggio dell’orbita è r e il periodo di rivoluzione è T. Calcolare il valore della massa M del pianeta e l’energia del satellite.

Svolgimento.

Supponiamo M\gg m, da cui è possibile considerare il pianeta di massa M fermo rispetto al corpo m che si muove di moto circolare rispetto ad esso. Il corpo di massa m si muove di moto circolare uniforme, pertanto la sua velocità angolare è \omega=(2\pi/T), e inoltre possiede una velocità tangenziale di modulo v=\omega r. L’energia meccanica del satellite E_T è data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale:

(31) \begin{align*} E_T&=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+\dfrac{1}{2}\,m\,v^2=\\ &=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+\dfrac{1}{2}\,m\,\omega^2\,r^2=\\ &=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+\dfrac{1}{2}\,m\left(\dfrac{4\pi^2}{T^2}\right)r^2. \end{align*}

D’altro canto, applicando al satellite la seconda legge di Newton \vec{F}=m\vec{a} e ricordando che siccome il moto è circolare uniforme l’accelerazione sarà centripeta (a_c=\frac{v^2}{r}), otteniamo

(32) \begin{equation*} G\,\dfrac{m\,M}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}\, \end{equation*}

da cui

(33) \begin{equation*} mv^2=G\,\dfrac{m\,M}{r}, \end{equation*}

o anche

(34) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{M=\dfrac{v^2r}{G}=\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2\dfrac{r}{G}=\dfrac{4\pi^2}{T^2}{r^3}{G}. } \end{equation*}

Grazie all’equazione (32) è possibile riscrivere l’equazione (31), come segue

(35) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{E_T=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+\dfrac{1}{2}\,m\,v^2=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+\dfrac{1}{2}\,G\,\dfrac{m\,M}{r}=-\dfrac{1}{2}\,G\,\dfrac{m\,M}{r} . } \end{equation*}

che è una quantità minore di zero.