Teorema delle forze vive (o teorema lavoro-energia, o teorema dell’energia cinetica)

Complementi, Curiosità e approfondimenti, Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica, Forme differenziali e campi vettoriali, Integrali di linea di seconda specie

Home » Teorema delle forze vive (o teorema lavoro-energia, o teorema dell’energia cinetica)

Teorema dell’energia-lavoro e conservazione dell’energia meccanica

Autori e revisori dell’articolo Teorema delle forze vive

Mostra autori e revisori

Autori: Valerio Brunetti.

Teorema 1 [teorema dell’energia lavoro]. Dato un punto materiale di massa $m$ soggetto a $n$ forze, la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso lungo un percorso $\gamma$ uguaglia la variazione di energia cinetica ovvero

$K_f - K_0 = \sum_{k=1}^n L_k,$

dove $K$ è l’energia cinetica (definita come $K=\dfrac{1}{2}mv^2$ ), $L_k$ è il lavoro della forza $\vec{F}_k$ , quindi

$\dfrac{1}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = L_1 + \dots + L_n.$

Nota: le forze possono essere sia di natura conservativa che non conservativa.

Dimostrazione.

In figura 1 è rappresentato un punto materiale, soggetto a $n$ forze, con $n \in \mathbb{N}$ , che si muove di moto vario rispetto ad un sistema fisso $Oxyz$ lungo un percorso $\gamma$

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: rappresentazione di un punto materiale in moto sotto l’azione di $n$ -forze.

Dalla seconda legge della dinamica abbiamo che

(1) $\begin{equation*} \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = \dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}$

dove $\vec{P} = m\vec{v}$ è la quantità di moto. Ipotizzando che la massa non dipenda dal tempo, la (1) diventa

$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = m \dfrac{d\vec{v}}{dt}.$

Ora ricordiamo che il lavoro di una forza è definito come

(2) $\begin{equation*} L = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{t_0}^{t_f} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}^{\prime}(t) \; dt, \end{equation*}$

dove $\gamma$ è il sostegno (il percorso fatto da $m$ ) di estremi $A$ e $B$ (si veda la figura 1), $\vec{r}(t)=x(t) \, \hat{x}+y(t) \, \hat{y}+z(t) \, \hat{z}$ è la parametrizzazione di $\gamma$ con $t \in [t_0,t_f]$ ed infine $\vec{r}^{\,\prime}(t)=\vec{v}(t)$ è la velocità di $m$ .

Notiamo che $\vec{r}(t_0)=A$ e $\vec{r}(t_f)=B$ .

La (1) può essere riscritta come segue

$\begin{aligned} & \int_{\gamma} \left(\vec{F}_1 + \dots + \vec{F_n}\right) \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} \,\,\,\,\Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow \; \underbrace{\int_{\gamma} \vec{F}_1 \cdot d\vec{r}}_{L_1 = \text{Lavoro } F_1 \text{ da } A \to B} + \dots + \underbrace{\int_{\gamma} \vec{F}_n \cdot d\vec{r}}_{L_n = \text{Lavoro } F_n \text{ da } A \to B} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}\,\,\,\, \Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow\quad L_1 + \dots + L_n = \underbrace{\sum_{k=1}^n L_k}_{\text{Somma di tutti i lavori}} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}. \end{aligned}$

Consideriamo ora

$\int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}$

e poichè $m$ non dipende da $d\vec{r}$ , allora possiamo portarla fuori dall’integrale

$\int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m \int_{\gamma} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}.$

Da (2) abbiamo

$m \int_{\gamma} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m \int_{t_0}^{t_f} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \, dt.$

Ora ricordiamo che $\vec{v} \cdot \vec{v} = v^2$ e, derivando quest’ultima da entrambe le parti,

$\dfrac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt} = \dfrac{d(v^2)}{dt}\quad \Leftrightarrow \quad \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} + \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}= 2 v \; \dfrac{dv}{dt}.$

Poiché il prodotto scalare è commutativo, abbiamo

$\vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt}+ \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = 2 \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = 2v \; \dfrac{dv}{dt} \Leftrightarrow \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = v \dfrac{dv}{dt},$

quindi

$m \int_{t_0}^{t_f} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \, \cdot \, \vec{v} \; dt = m \int_{t_0}^{t_f} v \; \dfrac{dv}{dt} \; dt = m\dfrac{v^2(t)}{2} \bigg\vert_{t_0}^{t_f} = \dfrac{m}{2} v^2(t_f)-\dfrac{m}{2} v^2(t_0)= \dfrac{m}{2} \left(v_f^2 - v_0^2\right),$

da cui

$\sum_{k=1}^n L_k = \dfrac{1}{2} \, m \, \left(v_f^2 - v_0^2\right).$

Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: la somma di tutti i lavori agenti su un punto materiale che va da un punto $A$ a $B$ lungo un percorso $\gamma$ (si veda la figura 1) uguaglia la variazione di energia cinetica. Osserviamo che il teorema dell’energia lavoro può essere espresso anche in funzione della quantità di moto come

$\sum_{k=1}^n L_k = \dfrac{1}{2} \, m \, \left(v_f^2 - v_0^2\right)= \dfrac{1}{2m} \left(p_f^2 - p_0^2\right).$

Definizione [forza conservativa]. Un campo di forze $\vec{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ si dice conservativo in $\Omega$ se esiste una funzione $U: \Omega \to \mathbb{R}$ , tale che $U \in \mathcal{C}^1(\Omega)$ e $\vec{F} =\nabla U$ in $\Omega$ , cioè

$\begin{cases} F_1 = \dfrac{\partial U}{\partial x}\\ \\ F_2 = \dfrac{\partial U}{\partial y}\\ \\ F_3 = \dfrac{\partial U}{\partial z}. \end{cases}$

Il campo scalare $E_{pot} = -U+costante$ rappresenta l’energia potenziale associata al campo.

Teorema 2. Sia $\vec{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un campo di forze continuo. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Per ogni coppia di curve regolari a tratti $\gamma_1,\gamma_2$ contenute in $\Omega$ ed aventi stesso punto iniziale e stesso punto finale (e per il resto disgiunte),
$\int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d \vec{r}.$

Per ogni curva chiusa semplice $\gamma$ , regolare a tratti e contenuta in $\Omega$ ,
$\oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0.$

$\vec{F}$ è conservativo.

Dimostrazione.

$(3) \Rightarrow (1),(2)$ : segue immediatamente dal Lemma.

$(1) \Rightarrow (3)$ : siano $p_0,p$ due punti di $\Omega$ di coordinate, rispettivamente, $(x_0,y_0,z_0)$ e $(x,y,z)$ e sia $\gamma$ una qualunque curva orientata di estremi $p_0$ e $p$ . Osserviamo che per ipotesi, fissato $p_0$ , l’integrale curvilineo del campo $\vec{F}$ lungo $\gamma$ dipende solo da $p$ e non dal percorso scelto. Dunque è ben definita la funzione

$U(p)=\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}.$

Vogliamo mostrare che $U$ è effettivamente un potenziale di $\vec{F}$ . Proviamo che

$\dfrac{\partial U}{\partial x} = F_1 \mbox{ in } \Omega.$

Congiungiamo $(x,y,z)$ al punto $(x+\Delta x,y,z)$ con un segmento rettilineo $\Gamma$ di equazioni parametriche

$x(t) = x+t \Delta x, \; y(t) =y, \; z(t)=z, \qquad t \in [0,1]$

come mostrato nella figura 2.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2.

Poiché si ha $x^\prime(t)=\Delta x, y^\prime(t)=z^\prime(t)=0$ , usando le proprietà di additività dell’integrale di linea, scriviamo

$U(x +\Delta x, y, z) = U(x,y,z) + \int_{\Gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = U(x,y,z) + \int_0^1 F_1(x+t\Delta x, y,z) \, \Delta x\; dt.$

Ne segue che

$\dfrac{U(x +\Delta x, y, z) - U(x , y, z)}{\Delta x} = \int_0^1 F_1(x+t \Delta x, y ,z) \, dt.$

Poichè la funzione di una variabile $g(t)=F_1(x +t \Delta x, y, z)$ è continua in $[0,1]$ , per il teorema della media integrale, l’ultimo integrale scritto è uguale a $F_1(x+\delta \Delta x, y, z)$ per un certo $\delta \in (0,1)$ dipendente da $x$ , $\Delta x, y, z$ . Per $\Delta x \to 0$ , la continuità di $F_1$ rispetto a tutte le variabili ci dà $\dfrac{\partial U}{\partial x}= F_1$ .

In modo analogo si dimostra che

$\dfrac{\partial U}{\partial y} = F_2 \quad \mbox{e} \quad \dfrac{\partial U}{\partial z}= F_3 \quad \mbox{ in } \Omega$

per cui $U$ è una funzione potenziale per il campo $\vec{F}$ , che risulta pertanto conservativo.

$(2) \Rightarrow (1)$ : siano $\gamma_1, \gamma_2$ curve regolari a tratti contenute in $\Omega$ e aventi stesso punto iniziale e stesso punto finale, per il resto disgiunte. Cambiamo l’orientazione di $\gamma_2$ e chiamiamo $\gamma_2^\star$ la nuova curva. Sappiamo che

$\int_{\gamma_2^\star} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}.$

Definiamo poi la curva semplice e chiusa $\gamma=\gamma_1 \cup \gamma_2^\star$ che risulta regolare a tratti. Usando (2) e l’additività dell’integrale di linea, si ha

$0 = \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r}+ \int_{\gamma_2^\star} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r}- \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r},$

da cui (1).

Osservazione 1.

Sottolineiamo che la dimostrazione di $(1)\Rightarrow(3)$ indica un modo per costruire una funzione potenziale di un campo $\vec{F}$ , qualora questo risulti conservativo. La ricetta generale è la seguente: si fissa un punto $\vec{p}_0$ in $\Omega$ e lo si congiunge con una curva $\gamma$ qualsiasi, purché contenuta in $\Omega$ , con un punto generico $\vec{p}=(x,y,z)$ . Un potenziale, in particolare quello che si annulla in $\vec{p}_0$ , è dato da

$U(x,y,z) = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}.$

Il teorema implica che, se si riesce a trovare una curva semplice e chiusa $\gamma \subset \Omega$ tale che

$\oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} \neq 0,$

allora $\vec{F}$ non è conservativo in $\Omega$ .

Lemma. Il lavoro compiuto da una forza conservativa su un punto materiale $m$ uguaglia la variazione di energia potenziale cambiata di segno, ovvero

$L_{A \to B} = -\Delta E_{pot}=E_{pot}(A)-E_{pot}(B).$

In particolare esso non dipende dal percorso fatto da $m$ (si veda la figura 1) ma solamente dai punti iniziale e finale (ai veda il teorema 2).

Dimostrazione lemma.

Sia $\vec{r}(t)$ con $t \in [t_0,t_f]$ la parametrizzazione di $\gamma$ , il percorso fatto da un punto materiale $m$ che si muove da $A$ a $B$ (si veda la figura 1) soggetto solo a forze conservative. Dalla (2) si ha che

$\begin{aligned} L=&\int_\gamma \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_f}\vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot {\vec{r}\,}^\prime(t) \,dt=\int_{t_0}^{t_f}\nabla U(\vec{r}(t)) \cdot {\vec{r}\,}^\prime(t) \,dt=\\ &=\int_{t_0}^{t_f}\dfrac{d}{dt}\left( U(\vec{r}(t))\right)\,dt= U(\vec{r}(t_f))-U(\vec{r}(t_0))=-\Delta E_{pot}. \end{aligned}$

Nel caso in cui la parametrizzazione del sostegno $\gamma$ ovvero $\vec{r}$ sia di classe $\mathcal{C}^1$ a tratti si ragiona nello stesso modo in ogni tratto in cui è regolare e si sommano i vari contributi per ottenere il risultato.

Osservazione 2.

Il teorema stabilisce una sorta di viceversa del Lemma, ovvero che l’annullarsi del lavoro lungo qualunque curva chiusa semplice, regolare a tratti, implica la conservatività del campo. Per questo, talvolta, si prende come definizione di forza conservativa le condizioni equivalenti (1) o (2). Inoltre le condizioni (2) o (3) implicano che la condizione (1) valga anche per curve $\gamma_1,\gamma_2$ non disgiunte.

Conservazione dell’energia meccanica. Nell’ipotesi che su tale punto agiscano solo forze di natura conservativa, dal teorema dell’energia-lavoro e dal Lemma si ha che

(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} & K_f - K_0 =-\Delta E_{pot} =E_{pot, \,0} -E_{pot,\,f} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \boxed{K_f + E_{pot, \, f} = K_0 + E_{pot,\,0}.} \end{aligned} \end{equation*}$

Il risultato (3) rappresenta un concetto fondamentale in fisica ovvero che su un punto materiale sul quale agiscono solo forze conservative, si conserva l’energia meccanica totale $E=K+E_{pot}$ . Questo teorema prende il nome di conservazione dell’energia meccanica.

$\\\\$

Nota: Il teorema delle forze vive spesso viene chiamato anche teorema del lavoro-energia o dell’energia cinetica.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Menu

Chiudi

Teorema delle forze vive (o teorema lavoro-energia, o teorema dell’energia cinetica)

Teorema dell’energia-lavoro e conservazione dell’energia meccanica

Autori e revisori dell’articolo Teorema delle forze vive

Mostra autori e revisori

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Osservazione 1.

Dimostrazione lemma.

Osservazione 2.

Suggerimenti, refusi ed errori