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Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica

Complementi di analisi matematica, Curiosità e approfondimenti matematici, Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica, Forme differenziali e campi vettoriali, Integrali di linea di seconda specie

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In questo articolo presentiamo una dimostrazione rigorosa e dettagliata del teorema delle forze vive o dell’energia cinetica, pensata per chi sta preparando l’esame di Fisica 1. La dimostrazione è chiara e completa, senza dare nulla per scontato. Successivamente, affrontiamo anche la dimostrazione della conservazione dell’energia e analizziamo altre curiosità legate a questo argomento dal punto di vista matematico.

Consigliamo di consolidare la comprensione dell’argomento con la pratica, utilizzando gli esercizi disponibili Lavoro ed energia: testi degli esercizi.

 
 Non ci resta che augurarvi una lettura piacevole e interessante!

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Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

 

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Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica: introduzione

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Il Teorema delle forze vive, o Teorema dell’energia cinetica, è fondamentale in fisica perché collega il lavoro compiuto da una forza su un corpo alla variazione della sua energia cinetica. Questo teorema permette di comprendere come le forze influenzano il movimento di un oggetto e come l’energia viene trasferita o trasformata. Quando su un corpo agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica si conserva, e questo principio è una diretta conseguenza del teorema energia-lavoro. Grazie a questa relazione, è possibile analizzare problemi meccanici in modo più semplice, concentrandosi sulle variazioni di energia piuttosto che sui dettagli delle forze lungo il percorso. Questo rende il teorema un elemento centrale per spiegare fenomeni naturali e applicazioni pratiche, facilitando la comprensione delle leggi fondamentali del movimento e dell’energia.

 

Teorema 1 [teorema dell’energia lavoro].  Dato un punto materiale di massa m soggetto a n forze, la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso lungo un percorso \gamma uguaglia la variazione di energia cinetica ovvero

    \[K_f - K_0 = \sum_{k=1}^n L_k,\]

dove K è l’energia cinetica (definita come K=\dfrac{1}{2}mv^2), L_k è il lavoro della forza \vec{F}_k, quindi

    \[\dfrac{1}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = L_1 + \dots + L_n.\]

Nota: le forze possono essere sia di natura conservativa che non conservativa.

Dimostrazione.

In figura 1 è rappresentato un punto materiale, soggetto a n forze, con n \in \mathbb{N}, che si muove di moto vario rispetto ad un sistema fisso Oxyz lungo un percorso \gamma  

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: rappresentazione di un punto materiale in moto sotto l’azione di n-forze.

 

Dalla seconda legge della dinamica abbiamo che

(1)   \begin{equation*} \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = \dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}

dove \vec{P} = m\vec{v} è la quantità di moto. Ipotizzando che la massa non dipenda dal tempo, la (1) diventa

    \[\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = m \dfrac{d\vec{v}}{dt}.\]

Ora ricordiamo che il lavoro di una forza è definito come

(2)   \begin{equation*} L = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{t_0}^{t_f} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}^{\prime}(t) \; dt, \end{equation*}

dove \gamma è il sostegno (il percorso fatto da m) di estremi A e B (si veda la figura 1), \vec{r}(t)=x(t) \, \hat{x}+y(t) \, \hat{y}+z(t) \, \hat{z} è la parametrizzazione di \gamma con t \in [t_0,t_f] ed infine \vec{r}^{\,\prime}(t)=\vec{v}(t) è la velocità di m.

Notiamo che \vec{r}(t_0)=A e \vec{r}(t_f)=B.

La (1) può essere riscritta come segue

    \[\begin{aligned} & \int_{\gamma} \left(\vec{F}_1 + \dots + \vec{F_n}\right) \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} \,\,\,\,\Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow \; \underbrace{\int_{\gamma} \vec{F}_1 \cdot d\vec{r}}_{L_1 = \text{Lavoro } F_1 \text{ da } A \to B} + \dots + \underbrace{\int_{\gamma} \vec{F}_n \cdot d\vec{r}}_{L_n = \text{Lavoro } F_n \text{ da } A \to B} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}\,\,\,\, \Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow\quad L_1 + \dots + L_n = \underbrace{\sum_{k=1}^n L_k}_{\text{Somma di tutti i lavori}} = \int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}. \end{aligned}\]

Consideriamo ora

    \[\int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}\]

e poichè m non dipende da d\vec{r}, allora possiamo portarla fuori dall’integrale

    \[\int_{\gamma} m \, \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m \int_{\gamma} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}.\]

Da (2) abbiamo

    \[m \int_{\gamma} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m \int_{t_0}^{t_f} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \, dt.\]

Ora ricordiamo che \vec{v} \cdot \vec{v} = v^2 e, derivando quest’ultima da entrambe le parti,

    \[\dfrac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt} = \dfrac{d(v^2)}{dt}\quad \Leftrightarrow \quad \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} + \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}= 2 v \; \dfrac{dv}{dt}.\]

Poiché il prodotto scalare è commutativo, abbiamo

    \[\vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt}+ \dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = 2 \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = 2v \; \dfrac{dv}{dt} \Leftrightarrow \vec{v} \cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} = v \dfrac{dv}{dt},\]

quindi

    \[m \int_{t_0}^{t_f} \dfrac{d\vec{v}}{dt} \, \cdot \, \vec{v} \; dt = m \int_{t_0}^{t_f} v \; \dfrac{dv}{dt} \; dt = m\dfrac{v^2(t)}{2} \bigg\vert_{t_0}^{t_f} = \dfrac{m}{2} v^2(t_f)-\dfrac{m}{2} v^2(t_0)= \dfrac{m}{2} \left(v_f^2 - v_0^2\right),\]

da cui

    \[\sum_{k=1}^n L_k = \dfrac{1}{2} \, m \, \left(v_f^2 - v_0^2\right).\]

Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: la somma di tutti i lavori agenti su un punto materiale che va da un punto A a B lungo un percorso \gamma (si veda la figura 1) uguaglia la variazione di energia cinetica. Osserviamo che il teorema dell’energia lavoro può essere espresso anche in funzione della quantità di moto come

    \[\sum_{k=1}^n L_k = \dfrac{1}{2} \, m \, \left(v_f^2 - v_0^2\right)= \dfrac{1}{2m} \left(p_f^2 - p_0^2\right).\]


 

Definizione [forza conservativa].  Un campo di forze \vec{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 si dice conservativo in \Omega se esiste una funzione U: \Omega \to \mathbb{R}, tale che U \in \mathcal{C}^1(\Omega) e \vec{F} =\nabla U in \Omega, cioè

    \[\begin{cases} F_1 = \dfrac{\partial U}{\partial x}\\ \\ F_2 = \dfrac{\partial U}{\partial y}\\ \\ F_3 = \dfrac{\partial U}{\partial z}. \end{cases}\]

Il campo scalare E_{pot} = -U+costante rappresenta l’energia potenziale associata al campo.

 

Teorema 2.  Sia \vec{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 un campo di forze continuo. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
 

  1. Per ogni coppia di curve regolari a tratti \gamma_1,\gamma_2 contenute in \Omega ed aventi stesso punto iniziale e stesso punto finale (e per il resto disgiunte),

        \[\int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d \vec{r}.\]

    2.  

  2. Per ogni curva chiusa semplice \gamma, regolare a tratti e contenuta in \Omega,

        \[\oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0.\]

    3.  

  3. \vec{F} è conservativo.

Dimostrazione.

(3) \Rightarrow (1),(2): segue immediatamente dal Lemma.

(1) \Rightarrow (3): siano p_0,p due punti di \Omega di coordinate, rispettivamente, (x_0,y_0,z_0) e (x,y,z) e sia \gamma una qualunque curva orientata di estremi p_0 e p. Osserviamo che per ipotesi, fissato p_0, l’integrale curvilineo del campo \vec{F} lungo \gamma dipende solo da p e non dal percorso scelto. Dunque è ben definita la funzione

    \[U(p)=\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}.\]

Vogliamo mostrare che U è effettivamente un potenziale di \vec{F}. Proviamo che

    \[\dfrac{\partial U}{\partial x} = F_1 \mbox{ in } \Omega.\]

Congiungiamo (x,y,z) al punto (x+\Delta x,y,z) con un segmento rettilineo \Gamma di equazioni parametriche

    \[x(t) = x+t \Delta x, \; y(t) =y, \; z(t)=z, \qquad t \in [0,1]\]

come mostrato nella figura 2.  

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2.

  Poiché si ha x^\prime(t)=\Delta x, y^\prime(t)=z^\prime(t)=0, usando le proprietà di additività dell’integrale di linea, scriviamo

    \[U(x +\Delta x, y, z) = U(x,y,z) + \int_{\Gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = U(x,y,z) + \int_0^1 F_1(x+t\Delta x, y,z) \, \Delta x\; dt.\]

Ne segue che

    \[\dfrac{U(x +\Delta x, y, z) - U(x , y, z)}{\Delta x} = \int_0^1 F_1(x+t \Delta x, y ,z) \, dt.\]

Poichè la funzione di una variabile g(t)=F_1(x +t \Delta x, y, z) è continua in [0,1], per il teorema della media integrale, l’ultimo integrale scritto è uguale a F_1(x+\delta \Delta x, y, z) per un certo \delta \in (0,1) dipendente da x, \Delta x, y, z. Per \Delta x \to 0, la continuità di F_1 rispetto a tutte le variabili ci dà \dfrac{\partial U}{\partial x}= F_1.

In modo analogo si dimostra che

    \[\dfrac{\partial U}{\partial y} = F_2 \quad \mbox{e} \quad \dfrac{\partial U}{\partial z}= F_3 \quad \mbox{ in } \Omega\]

per cui U è una funzione potenziale per il campo \vec{F}, che risulta pertanto conservativo.

(2) \Rightarrow (1): siano \gamma_1, \gamma_2 curve regolari a tratti contenute in \Omega e aventi stesso punto iniziale e stesso punto finale, per il resto disgiunte. Cambiamo l’orientazione di \gamma_2 e chiamiamo \gamma_2^\star la nuova curva. Sappiamo che

    \[\int_{\gamma_2^\star} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}.\]

Definiamo poi la curva semplice e chiusa \gamma=\gamma_1 \cup \gamma_2^\star che risulta regolare a tratti. Usando (2) e l’additività dell’integrale di linea, si ha

    \[0 = \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r}+ \int_{\gamma_2^\star} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{r}- \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{r},\]

da cui (1).


Osservazione 1.

Sottolineiamo che la dimostrazione di (1)\Rightarrow(3) indica un modo per costruire una funzione potenziale di un campo \vec{F}, qualora questo risulti conservativo. La ricetta generale è la seguente: si fissa un punto \vec{p}_0 in \Omega e lo si congiunge con una curva \gamma qualsiasi, purché contenuta in \Omega, con un punto generico \vec{p}=(x,y,z). Un potenziale, in particolare quello che si annulla in \vec{p}_0, è dato da

    \[U(x,y,z) = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r}.\]

Il teorema implica che, se si riesce a trovare una curva semplice e chiusa \gamma \subset \Omega tale che

    \[\oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} \neq 0,\]

allora \vec{F} non è conservativo in \Omega.


 

Lemma.  Il lavoro compiuto da una forza conservativa su un punto materiale m uguaglia la variazione di energia potenziale cambiata di segno, ovvero

    \[L_{A \to B} = -\Delta E_{pot}=E_{pot}(A)-E_{pot}(B).\]

In particolare esso non dipende dal percorso fatto da m (si veda la figura 1) ma solamente dai punti iniziale e finale (ai veda il teorema 2).

Dimostrazione lemma.

Sia \vec{r}(t) con t \in [t_0,t_f] la parametrizzazione di \gamma, il percorso fatto da un punto materiale m che si muove da A a B (si veda la figura 1) soggetto solo a forze conservative. Dalla (2) si ha che

    \[\begin{aligned} L=&\int_\gamma \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_f}\vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot {\vec{r}\,}^\prime(t) \,dt=\int_{t_0}^{t_f}\nabla U(\vec{r}(t)) \cdot {\vec{r}\,}^\prime(t) \,dt=\\ &=\int_{t_0}^{t_f}\dfrac{d}{dt}\left( U(\vec{r}(t))\right)\,dt= U(\vec{r}(t_f))-U(\vec{r}(t_0))=-\Delta E_{pot}. \end{aligned}\]

Nel caso in cui la parametrizzazione del sostegno \gamma ovvero \vec{r} sia di classe \mathcal{C}^1 a tratti si ragiona nello stesso modo in ogni tratto in cui è regolare e si sommano i vari contributi per ottenere il risultato.


Osservazione 2.

Il teorema stabilisce una sorta di viceversa del Lemma, ovvero che l’annullarsi del lavoro lungo qualunque curva chiusa semplice, regolare a tratti, implica la conservatività del campo. Per questo, talvolta, si prende come definizione di forza conservativa le condizioni equivalenti (1) o (2). Inoltre le condizioni (2) o (3) implicano che la condizione (1) valga anche per curve \gamma_1,\gamma_2 non disgiunte.

 

Conservazione dell’energia meccanica.  Nell’ipotesi che su tale punto agiscano solo forze di natura conservativa, dal teorema dell’energia-lavoro e dal Lemma si ha che

(3)   \begin{equation*} \begin{aligned} & K_f - K_0 =-\Delta E_{pot} =E_{pot, \,0} -E_{pot,\,f} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \boxed{K_f + E_{pot, \, f} = K_0 + E_{pot,\,0}.} \end{aligned} \end{equation*}

Il risultato (3) rappresenta un concetto fondamentale in fisica ovvero che su un punto materiale sul quale agiscono solo forze conservative, si conserva l’energia meccanica totale E=K+E_{pot}. Questo teorema prende il nome di conservazione dell’energia meccanica.

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Nota: Il teorema delle forze vive spesso viene chiamato anche teorema del lavoro-energia o dell’energia cinetica.

 
 

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