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Esercizio 74  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo A di massa m_A = 2 kg è collegato tramite una fune inestensibile di massa trascurabile, di lunghezza 2\ell = 4 m, ad un corpo B di massa m_B = 3 kg tramite una carrucola O. Tra filo e carrucola non è presente attrito. Inizialmente il corpo B è appoggiato su un piano orizzontale ed il tratto di filo OB è verticale, mentre il corpo A, in quiete, è tenuto col tratto di filo OA teso ed orizzontale, come illustrato in figura 1. Finché il corpo B rimane a contatto con il piano orizzontale vale \overline{OA} = \overline{OB} = \ell. Ad un certo istante si lascia libero il corpo A. Si determini di quanto si abbassa il corpo A, in verticale, prima che il corpo B si stacchi dal piano d’appoggio.

 

 

 

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Svolgimento metodo 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso O'xy, in modo tale che l’origine O' sia alla stessa quota del tratto di filo OA all’istante di tempo t=0. Al tempo t=0 la configurazione fisica è rappresentata in figura 1, mentre ad un tempo generico t>0 il corpo A è libero di cadere per effetto della forza peso, mentre il corpo B rimane fermo, come illustrato in figura 2. Sul corpo A agisce la forza peso \vec{P}_A e la tensione \vec{T}_A, sul corpo B agisce la forza peso \vec{P}_B, la reazione normale esercitata dal contatto col piano orizzontale \vec{R}_B e la tensione della fune \vec{T}_B, mentre sulla carrucola agiscono le due tensioni opposte -\vec{T}_A e -\vec{T}_B perché il filo ha massa trascurabile e una reazione vincolare \vec{R} che si oppone alle due tensioni. La configurazione fisica a t>0 prima che il corpo B si stacchi dal piano d’appoggio, è rappresentata in figura 2.  

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   Scriviamo la seconda legge della dinamica per i due corpi A e B nel sistema di riferimento O'xy, che sono rispettivamente

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{P}_A + \vec{T}_A = m_A\vec{a}_A\\ \vec{P}_B + \vec{R}_B + \vec{T}_B = \vec{0}, \end{cases} \end{equation*}

dove \vec{a}_A è l’accelerazione del corpo di massa m_A, mentre la seconda equazione è stato posta a zero perché il corpo B è in quiete. Fintanto che il corpo B rimane a contatto col piano d’appoggio la lunghezza del filo nel tratto OA e OB rimarrà pari ad \ell, pertanto il moto del corpo A è circolare e la sua accelerazione \vec{a}_A può essere riscritta come

(2)   \begin{equation*} \vec{a}_A = \dfrac{v_A^2}{\ell}\,\hat{n}+\alpha \ell\, \hat{t}, \end{equation*}

dove v_A è il modulo della sua velocità \vec{v}_A, \alpha è la sua accelerazione angolare, mentre \hat{n} e \hat{t} sono rispettivamente il versore normale alla traiettoria e il versore tangente alla traiettoria. Dato che tra filo e carrucola non è presente attrito le due tensioni \vec{T}_A e \vec{T}_B devono essere uguali in modulo T_A = T_B = T. Avvalendoci del fatto che le tensioni agenti sui due fili sono uguali in modulo possiamo riscrivere, utilizzando i moduli delle forze, la seconda equazione del sistema (1) come segue

(3)   \begin{equation*} T + R_B = P_B, \end{equation*}

dove R_B e P_B sono rispettivamente le componenti della reazione vincolare \vec{R}_B lungo l’asse delle y e della forza peso \vec{P}_B lungo l’asse delle y. All’istante t>0 in cui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio si verifica che la reazione normale R_B si annulla, pertanto la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} T = P_B = m_B g, \end{equation*}

dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità. Indichiamo con \theta l’angolo percorso dal corpo A durante il suo moto circolare, come rappresentato in figura 3. Riscriviamo la seconda legge della dinamica per il corpo A all’istante in cui T = m_Bg, ovvero all’istante in cui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio, proiettando le forze agenti su A nella direzione normale alla traiettoria (la cui direzione e verso è rappresentata dal versore \hat{n}) che collega il corpo A alla carrucola, come descritto in figura 3. La prima equazione del sistema (1) nella direzione normale alla traiettoria di A si riscrive come segue

(5)   \begin{equation*} T - m_A g\sin\theta = m_Bg-m_A g \sin\theta=m_A \dfrac{v_A^2}{\ell}, \end{equation*}

dove abbiamo usato le equazioni (2) e (3).  

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  Grazie al teorema delle forze vive possiamo calcolare il modulo v_A della velocità \vec{v}_A. L’unica forza che svolge lavoro sul corpo A è la forza peso, poiché la forza di tensione \vec{T} è sempre perpendicolare al moto e quindi fa lavoro nullo. All’istante t=0 il corpo A si trova ad un’altezza y=0 con un’energia potenziale gravitazionale iniziale pari ad

(6)   \begin{equation*} U_{P_A,i} = mgy + \text{costante} = \text{costante}. \end{equation*}

Il corpo A per raggiungere la velocità v_A è sceso di \ell \sin \theta (come raffigurato in figura 3), in tale istante avremo che l’energia potenziale gravitazionale finale è

(7)   \begin{equation*} U_{P_A,f} = -mg\ell \sin \theta + \text{costante}. \end{equation*}

L’opposto della variazione di energia potenziale gravitazionale è pari al lavoro della forza peso sul corpo A

(8)   \begin{equation*} W_{P_A} = U_{P_A,i}-U_{P_A, f} = m_Ag\ell \sin \theta. \end{equation*}

All’istante t=0 il corpo A è fermo (energia cinetica iniziale nulla K_i = 0), mentre nello stato finale la sua energia cinetica è pari a

(9)   \begin{equation*} K_{f} = {1\over 2}m_Av_A^2. \end{equation*}

Applicando il teorema delle forze vive otteniamo

(10)   \begin{equation*} K_f - K_i = {1\over 2}m_Av_A^2 = W_{P_A} = m_A g \ell \sin \theta, \end{equation*}

dunque la velocità del corpo A all’istante in qui il corpo B si stacca dal piano d’appoggio è pari a

(11)   \begin{equation*} v_A = \sqrt{2 g \ell \sin \theta}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione scritta precedentemente con l’equazione (5) si ottiene

(12)   \begin{equation*} \cancel{g}(m_B -m_A \sin \theta) = m_A \dfrac{2\cancel{g} \cancel{\ell} \sin \theta}{\cancel{\ell}}, \end{equation*}

da qui si ricava il seno dell’angolo \theta

(13)   \begin{equation*} \sin\theta = \dfrac{m_B}{3 m_A}. \end{equation*}

Il corpo A si trova nella posizione y = -\ell \sin\theta prima che il corpo B si stacchi da terra, pertanto la soluzione del problema è il seguente spostamento

    \[\boxcolorato{fisica}{h = \ell \sin \theta =  \dfrac{m_B}{3m_A}\ell = 1\,\text{m},}\]

dove nell’ultimo passaggio sono stati sostituiti i dati numerici del problema.

Svolgimento metodo 2.

L’unica forza che svolge lavoro sul corpo A è la forza peso. Essa è una forza conservativa pertanto l’energia meccanica del corpo A si conserva. L’energia meccanica iniziale E_i del corpo A è pari a

(14)   \begin{equation*} E_i = U_{P_A, i} + K_i = \text{costante}, \end{equation*}

mentre l’energia meccanica finale è pari a

(15)   \begin{equation*} E_i = U_{P_A, f} + K_f = -mg\ell \sin \theta + \text{costante} +{1\over 2}m_Av_A^2 . \end{equation*}

Applicando la conservazione dell’energia meccanica E_i = E_f sfruttando le due precedenti equazioni si ha

(16)   \begin{equation*} {1\over 2}m_Av_A^2-mg\ell \sin \theta=0, \end{equation*}

da cui si ricava la velocità come nell’equazione (11). Una volta calcolata la velocità v_A lo svolgimento per arrivare alla soluzione è lo stesso del primo metodo.