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Esercizio lavoro ed energia 1

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’Esercizio 1 sul lavoro ed energia è il primo della raccolta presente nella sezione Dinamica del punto materiale: Lavoro ed Energia in Meccanica Classica. Questo esercizio introduce gli studenti ai concetti fondamentali e viene seguito dall’Esercizio Lavoro ed Energia 2. È pensato per gli studenti che seguono un corso di Fisica 1, in particolare indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.
L’argomento precedente, dedicato alle Leggi di Newton, viene trattato per primo in un tipico corso di Fisica 1, seguito dal Teorema delle Forze Vive e la Conservazione dell’Energia Meccanica, come secondo argomento.

 

Testo esercizio lavoro ed energia 1

Esercizio 1 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale può muoversi all’interno di una guida circolare di raggio R liscia, vincolata nel punto A e di massa trascurabile posta in un piano verticale. Calcolare che velocità deve avere il punto materiale in A per restare in contatto con la guida in B.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma di un punto materiale che si muove su una guida circolare di raggio R, utilizzato in un esercizio di lavoro ed energia

Svolgimento.

Consideriamo il moto del punto materiale in un generico istante t (vedere figura), fissando un sistema di riferimento fisso Oxy con origine O centrata nel centro della guida circolare e un sistema di riferimento che istante per istante ha un asse tangente alla guida circolare e un’asse perpendicolare a tale guida. Per la geometria del problema, il raggio della circonferenza osculatrice è quello della guida circolare. Introduciamo i versori \hat{n} e \hat{t}, indichiamo con \vec{N} la reazione vincolare generata dal contatto fra punto materiale e guida e con m\vec{g} la forza peso.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Diagramma di un punto materiale che si muove lungo una guida circolare, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1)   \begin{equation*} \hat{n}: N - mg \, \cos \theta = m\dfrac{v^2}{R} \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} \hat{t}:- mg \sin \theta = m \,\ddot{\theta} R. \end{equation*}

Affinché il punto materiale rimanga in contatto con la guida, deve valere N\ge0 istante per istante. Poniamo \theta = \pi e il valore limite N=0 e da (1) abbiamo

    \[v_B^2 = Rg \quad \Leftrightarrow \quad v_B = \sqrt{Rg},\]

dove v_B indica la velocità del punto materiale in B.

Indichiamo con v_A la velocità del punto materiale in A e dal momento che agiscono solo forze di natura conservativa, dalla conservazione dell’energia abbiamo:

    \[\\\]

    \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2}mv_B^2 +mg(2R)= \dfrac{1}{2}mv_A^2 \quad& \Leftrightarrow \quad v_B^2 - v_A^2 = -4gR \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\Leftrightarrow \quad v_A^2 = v_B^2 + 4gR \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \Leftrightarrow \quad v_A = \sqrt{gr + 4gR} = \sqrt{5gR}. \end{aligned}\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_A = \sqrt{5gR}.}\]

 

Fonte

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).

 

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    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






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