Esercizio lavoro ed energia 5

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 5

L’esercizio 5 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 4 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 6. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo esercizio lavoro ed energia 5

Esercizio 5 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa puntiforme $m$ è vincolata a muoversi su un piano orizzontale. Ad essa è collegata una molla di massa trascurabile, avente costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $\ell_{0}$ fissata ad una parete verticale come in figura. Inizialmente la molla è nella posizione di riposo; ad un certo punto per mezzo di un’opportuna forza esterna si sposta il corpo $m$ di una quantità $\Delta x$ rispetto alla parete verticale. Determinare l’energia potenziale di $m$ in funzione dello spostamento $\Delta x$ dalla parete e dimostrare che per piccole oscillazioni l’energia potenziale è proporzionale ad $(\Delta x)^{4}$ .

Svolgimento.

Fissiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$

con origine $O$

in corrispondenza della posizione iniziale del corpo $m$

quando la molla è al riposo (ossia quando essa è in posizione verticale) e fissiamo lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza dell’asse $x$

. Il corpo $m$

è inizialmente nell’origine del sistema di riferimento scelto e successivamente con un’opportuna forza esterna il corpo $m$

è spostato di una certa distanza orizzontale $\Delta x$

rispetto all’origine $O$

, per cui la molla risulterà avere una lunghezza pari ad $\ell$

, come illustrato in figura 1.

Sul corpo $m$ agisce la forza peso $m\vec{g}$ diretta nel verso negativo delle $y$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ diretta nel verso positivo delle $y$ e la forza elastica orientata come in figura 1. L’energia potenziale del corpo $m$ è in generale data dalla somma dell’energia potenziale elastica $U_{el}$ e quella gravitazionale $U_{g}$ , ossia

(1) $\begin{equation*} U=U_{el}+U_{g}. \end{equation*}$

Avendo fissato lo zero dell’energia gravitazionale in corrispondenza dell’asse delle $x$ e siccome il punto materiale $m$ è vincolato a muoversi lungo l’asse orizzontale, si ha

(2) $\begin{equation*} U=U_{el}=\dfrac{1}{2}k(\Delta \ell)^{2}, \end{equation*}$

dove $\Delta \ell$ rappresenta in questo caso l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio $\ell_{0}$ . Dalla geometria del problema si osserva che

(3) $\begin{equation*} \Delta \ell=\ell-\ell_{0}=\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}. \end{equation*}$

Sostituendo $\Delta \ell$ nell’eq.(2), definito nell’eq.(3), si ha

$\boxcolorato{fisica}{ U(x)=U_{el}=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2+(\Delta x)^2}-\ell_{0}\right)^{2}.}$

Riscriviamo l’espressione di $U$ come segue

(4) $\begin{equation*} U=\dfrac{1}{2}k\left(\sqrt{\ell_{0}^2\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}\right)}-\ell_{0}\right)^{2}= \dfrac{1}{2}k\left(\ell_{0}\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-\ell_{0}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\sqrt{1+\dfrac{(\Delta x)^2}{\ell_{0}^2}}-1\right)^{2}. \end{equation*}$

Per piccole oscillazioni si ottiene (Ricordiamo che per $y$ molto piccolo vale $\sqrt{1+y}\approx 1+\dfrac{1}{2}y$ )

(5) $\begin{equation*} U\approx\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(1+\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}-1\right)^2=\dfrac{1}{2}k\ell_{0}^{2}\left(\dfrac{(\Delta x)^2}{2\ell_{0}^2}\right)^2, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ U\approx\dfrac{k}{8\ell_{0}^2}(\Delta x)^4,}$

che è esattamente quello che volevamo dimostrare.

Fonte.

Riccardo Borghi – Esercizi e Problemi di fisica generale.

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

Leggi...

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Document

Menu

Chiudi

Esercizio lavoro ed energia 5

Testo esercizio lavoro ed energia 5

Svolgimento.

Fonte.

Scarica gli esercizi svolti

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Leggi...

Esercizi di Meccanica razionale

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi