Esercizio corpo rigido 24

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 24  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due aste AB e CD omogenee, di uguale lunghezza e massa m, vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta AB viene poi incernierato a un punto O (vedere la figura 1) intorno al quale l’asta può ruotare senza attrito. Si calcolino i valori dell’angolo \alpha formato dall’asta AB rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.

 

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oy, con asse y orientato verso il basso, come in figura 2. Inoltre, rappresentiamo le relative forze peso di entrambe le aste, applicate rispettivamente nei propri centri di massa (si veda figura 2).

 

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Scriviamo l’energia potenziale del sistema in funzione di \alpha

    \[U(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \sin \alpha + \dfrac{mg\ell}{2}\cos\alpha + mg\ell \sin \alpha+\text{costante}\]

e derivando rispetto ad \alpha otteniamo

    \[U^\prime(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \left(3 \cos \alpha - \sin \alpha \right).\]

Imponiamo

    \[U^\prime(\alpha) \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3 \cos \alpha - \sin \alpha \ge 0,\]

per determinare i punti di equilibrio stabile e instabile del sistema composto dalle due aste.
Risolviamo

    \[\begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \\ \left(\cos \alpha\right)^2+\left( \sin \alpha \right)^2 = 1\\ \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \sin \alpha =\pm \dfrac{3}{\sqrt{10}};\\[15pt] 10 \,\cos^2 \alpha = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}. \end{cases}\]

Determiniamo il segno di U^\prime(\alpha) riferendoci alla figura 3.

 

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Per \alpha=\arctan(3) l’energia potenziale è minima e quindi si ha equilibrio stabile, mentre per \alpha=\arctan 3 +\pi l’energia potenziale è massima, e pertanto si ha equilibrio instabile.

 

Fonte: S.Rosati, R.Casali, Problemi di fisica generale,Ambrosiana (1998).