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Esercizio 24 
. Due aste 
e 
omogenee, di uguale lunghezza e massa 
, vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta viene poi incernierato a un punto 
(vedere la figura 1) intorno al quale l’asta può ruotare senza attrito. Si calcolino i valori dell’angolo 
formato dall’asta rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.
Svolgimento.
, con asse 
orientato verso il basso, come in figura 2. Inoltre, rappresentiamo le relative forze peso di entrambe le aste, applicate rispettivamente nei propri centri di massa (si veda figura 2).
Scriviamo l’energia potenziale del sistema in funzione di
![\[U(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \sin \alpha + \dfrac{mg\ell}{2}\cos\alpha + mg\ell \sin \alpha+\text{costante}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16619262651891e53b445aa72dea51b1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e derivando rispetto ad otteniamo
![\[U^\prime(\alpha) = \dfrac{mg\ell}{2} \left(3 \cos \alpha - \sin \alpha \right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71d2cd498b6c487c63cc642e3947fca3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Imponiamo
![\[U^\prime(\alpha) \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3 \cos \alpha - \sin \alpha \ge 0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aab6d49909424ffc09fdededdd07c68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per determinare i punti di equilibrio stabile e instabile del sistema composto dalle due aste. Risolviamo
![\[\begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \\ \left(\cos \alpha\right)^2+\left( \sin \alpha \right)^2 = 1\\ \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \sin \alpha =\pm \dfrac{3}{\sqrt{10}};\\[15pt] 10 \,\cos^2 \alpha = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1965833a857cb948b36efd8fcac5d092_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Determiniamo il segno di 
riferendoci alla figura 3.
Per 
l’energia potenziale è minima e quindi si ha equilibrio stabile, mentre per 
l’energia potenziale è massima, e pertanto si ha equilibrio instabile.
Fonte.
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