Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio corpo rigido 22

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 22

L’Esercizio Corpo Rigido 22 è il ventiduesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 21 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 23. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Testo esercizio corpo rigido 22

Esercizio 22 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). L’estremità di una trave omogenea di massa m e lunga \ell è incernierata ad un muro. L’altro estremo è sostenuto da un filo nella posizione indicata in figura. Inoltre sia \alpha l’angolo formato dalla fune con il muro, come in figura.
1) Trovare la tensione \vec{T} generata dal filo che collega la trave al muro.
2) Trovare la reazione vincolare \vec{R} generata dalla cerniera per mantenere il sistema in equilibrio.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 

Figura 1.

 

Svolgimento Punto 1.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O. Poiché tutto deve rimanere in quiete, il sistema (1) diventa:

(2) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0} \end{cases} \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy e rappresentiamo lo schema delle forze:

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Figura 2.

 

dove \vec{T} è la tensione generata dal filo, m \vec{g} è la forza peso della trave e \vec{R} è la reazione vincolare della cerniera. Scegliendo come polo O^\prime, da (2)_2 calcoliamo il momento della tensione:

(3) \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{M}_T & = (\ell \cos \beta \; \hat{x} - \ell \sin \beta \; \hat{y}) \wedge (- T \sin \alpha \; \hat{x} + T \cos \alpha \; \hat{y}) = \\ & = \ell (\sin(2\alpha) \;\hat{x} - \cos(2\alpha) \; \hat{y}) \wedge T (-\sin \alpha \; \hat{x} + \cos \alpha \; \hat{y}) = \\ & = \ell T (\sin(2\alpha) \cos \alpha - \cos(2\alpha) \sin \alpha) \; \hat{z}, \end{aligned} \end{equation*}

dove \beta = 90^\circ- 2\alpha, poi calcoliamo il momento della forza peso:

(4) \begin{equation*} \vec{M}_{mg} = \left( \dfrac{\ell}{2} \cos \beta \right) \; \hat{x} \wedge (-mg) \; \hat{y} = -\dfrac{\ell}{2} mg \sin(2\alpha)\; \hat{z}. \end{equation*}

Applicando (2)_2 con i momenti (3) e (4) otteniamo

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^2 \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}} = 0 & \Leftrightarrow - \dfrac{\ell}{2} mg \sin(2 \alpha) + \ell \sin(2\alpha)T \cos \alpha - \ell T\cos(2\alpha) \sin\alpha = 0 \Leftrightarrow \\\\ & \Leftrightarrow T = \dfrac{\dfrac{\ell}{2} mg \sin(2\alpha)}{\ell( \sin(2\alpha)\cos\alpha - \cos(2\alpha)\sin(\alpha))} = \\\\ & \Leftrightarrow T = \dfrac{\dfrac{\cancel{\ell}}{2} mg \sin(2\alpha)}{\cancel{\ell}( \sin(2\alpha)\cos\alpha - \cos(2\alpha)\sin(\alpha))} = \end{aligned}\]

e quindi concludiamo che

\[\boxcolorato{fisica}{ \vec{T} = \dfrac{\dfrac{mg}{2} \sin(2\alpha)}{ \sin(2\alpha)\cos\alpha - \cos(2\alpha)\sin(\alpha)} (-\sin \alpha \; \hat{x} + \cos \alpha \; \hat{y}) .}\]

 


Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi