Moto rettilineo uniformemente accelerato 15

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Da un piano orizzontale, all’istante $t=0$ , un punto materiale viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocità iniziale di modulo $v_{0A}=\text{25}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ . All’istante $t=0$ , sulla stessa verticale ad una altezza $H=20 \mathrm{~m}$ , viene lasciato cadere da fermo un secondo punto materiale. Calcolare a quale altezza dal piano orizzontale i due punti materiali si scontrano e dire se lo scontro avviene quando il primo punto materiale è in fase di salita o di discesa.

Svolgimento. Indichiamo i due corpi rispettivamente con le lettere $A$ e $B$ . Il moto dei due corpi è unidimensionale è avviene lungo la stessa direzione. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oy$ , tale per cui l’asse delle $y$ coincida con la retta lungo la quale avviene il moto di $A$ e $B$ e l’origine $O$ si trovi sul piano orizzontale. Scegliamo la direzione dell’asse $y$ rivolta verso l’alto, in questo modo entrambi i corpi risentiranno di un accelerazione gravitazionale $g$ negativa. Di seguito in figura rappresentiamo il sistema di riferimento $Oy$ e i due corpi all’istante $t=0$ .

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Il corpo $A$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, dunque la sua legge oraria è

(1) $\begin{equation*} y_A=v_{0A}t-\frac{1}{2}gt^2, \end{equation*}$

valida per $t\geq0$ .
Il corpo $B$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, pertanto la sua legge oraria è

(2) $\begin{equation*} y_B(t)=H-\dfrac{1}{2}gt^2, \end{equation*}$

valida per $t\geq0$ .
I due corpi si scontreranno quando $y_A=y_B$ . Imponendo la condizione $y_A=y_B$ e sfruttando le due precedenti equazioni, si ottiene

(3) $\begin{equation*} v_{0A}t-\frac{1}{2}gt^2=H-\dfrac{1}{2}gt^2, \end{equation*}$

o anche

(4) $\begin{equation*} t=\dfrac{H}{v_{0A}}\sim \text{0,8 s}. \end{equation*}$

Sostituendo $t=t_1=\text{0,8 s}$ nell’equazione (2), si trova

$\boxcolorato{fisica}{ y_B(t_1)=\text{17 m}.}$

Per capire se questi si incontreranno quando il corpo $A$ è in salita o discesa calcoliamo la sua velocità nell’istante in cui impattano. Se la velocità di impatto è positiva il punto materiale $A$ è in fase di salita, se alternativamente la velocità di impatto è negativa allora $A$ è nella fase di discesa.
La legge della velocità per $A$ è

(5) $\begin{equation*} v_A(t)=v_{OA}-gt, \end{equation*}$

valida per $t\geq 0$ . Sostituiamo $t=t_1=\text{0,8 s}$ nella precedente equazione, ottenendo

(6) $\begin{equation*} v_A(t_1)=v_{OA}-gt_1\sim \text{17 m}\cdot \text{s}^{-1}>0; \end{equation*}$

quindi il corpo $A$ impatta il corpo $B$ durante la fase di salita.