Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 11

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 11: in questo articolo presentiamo l’undicesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 11

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un sasso viene fatto cadere in un pozzo. Dopo un tempo pari ad $\tilde{t}$ si ude il tonfo. Supponendo che il suono si muova di moto rettilineo uniforme con velocità pari ad $v_s$ , qual è la profondità $h$ del pozzo?

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento $Oy$

, come nella figura che segue.

Figura 1.

Osserviamo che il sasso ha velocità iniziale nulla e, inoltre, avendo scelto un sistema di riferimento con l’asse positive delle $y$ orientate verso il basso, la sua accelerazione è $a=g=\text{9,81 m}\cdot \text{s}^{-2}$ . La legge oraria del sasso è

(1) $\begin{equation*} y(t)=\dfrac{1}{2}gt^2. \end{equation*}$

Chiamiamo $t_1$ il tempo che il sasso impiega a raggiungere la fine del pozzo, ovvero a percorrere uno spazio pari ad $h$ . Abbiamo dunque

(2) $\begin{equation*} y_{\text{sasso}}(t_1)=h=\dfrac{1}{2}gt_1^2. \end{equation*}$

Una volta che il sasso ha raggiunto la fine del pozzo, per via dell’urto tra il sasso e il suolo, dopo un intervallo di tempo pari ad $\tilde{t}-t_1$ si udirà il suono dell’impatto. Il suono risale il pozzo di moto rettilineo uniforme con velocità pari ad $v_s$ . La legge oraria del suono è

(3) $\begin{equation*} y_{\text{suono}}(t)=h-v_s(t-t_1). \end{equation*}$

Si osservi che per scrivere la legge oraria del sasso si è osservato che il suo moto è iniziato all’istante di tempo $t=t_1$ , che la sua posizione iniziale è $h$ , e la sua velocità è $-v_s$ perché è rivolta nel verso negativo delle $y$ . Abbiamo dunque

(4) $\begin{equation*} y_{\text{suono}}(\tilde{t})=0=h-v_s(\tilde{t}-t_1). \end{equation*}$

Mettendo a sistema le equazioni (2) e (4), si ha

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} h=\dfrac{1}{2}gt_1^2\\[10pt] h=v_s(\tilde{t}-t_1). \end{cases} \end{equation*}$

Dal precedente sistema, si ottiene

(6) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}gt_1^2=v_s(\tilde{t}-t_1), \end{equation*}$

da cui

(7) $\begin{equation*} gt_1^2+2v_st_1-2v_s\tilde{t}=0. \end{equation*}$

La precedente equazione ha come soluzione

(8) $\begin{equation*} t_1=\dfrac{-v_s+\sqrt{v_s^2+2gv_s\tilde{t}}}{g}>0. \end{equation*}$

Sostituendo $t_1$ nella prima equazione del sistema (5) si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{ h=\dfrac{1}{2}gt_1^2=\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{-v_s+\sqrt{v_s^2+2gv_s\tilde{t}}}{g}\right)^2.}$

Scarica gli esercizi svolti

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