Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 19

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 19: in questo articolo presentiamo il diciannovesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 19

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un motociclista che sta viaggiando alla velocità di modulo $v_0 = 80\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$

su di un piano orizzontale vede comparire la segnalazione rossa ad un semaforo posto alla distanza $d = 100\ \text{m}$

, come rappresentato in figura 1. Calcolare:

il modulo $a$ della decelerazione costante che si deve impartire tramite i freni alla moto per potersi fermare al semaforo;
l’istante di tempo $t_1$ in cui il motociclista si ferma;
se il tempo che intercorre tra il segnale rosso e quello verde è di $t^* = 6\ \text{s}$ , quando il motociclista si trova alla distanza $d$ , calcolare il valore della decelerazione costante $a^*$ per passare esattamente al momento dell’illuminazione del verde;
se in prossimità del semaforo c’è un vigile, il motociclista prenderà una multa per aver superato il limite di $50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ ?

Nella figura 1, per analizzare l’evento fisico descritto nell’esercizio, è stato scelto un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , in cui il motociclista si trova in $O$ all’istante iniziale e il semaforo è posizionato a $x_1 = d$ .

Figura 1: rappresentazione schematica del problema.

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1) $\begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v$ è la velocità costante e $t_i$ è l’istante in cui ha inizio il moto. \bigbreak \noindent Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento punto 1.

Indichiamo con $v_1$ il modulo della velocità con cui la moto arriva in $x_1$ ; si ha $v_1 = 0$ poiché deve fermarsi. Si utilizza la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato che collega le posizioni con le rispettive velocità e con l’accelerazione, ovvero la terza equazione nel sistema \eqref{due}. Pertanto, l’accelerazione necessaria per arrestarsi al semaforo è:

(3) $\begin{equation*} a = -\frac{v_0^2}{2d} = -\frac{(80\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1})^2}{2\cdot 100\ \text{m}} = -\frac{(22,2\ \text{m/s})^2}{2\cdot 100\ \text{m}} . \end{equation*}$

Si osservi che nell’ultimo passaggio si è usata la conversione: $1\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{10}{36}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Troviamo quindi:

(4) $\begin{equation*} a = -\text{2,5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}. \end{equation*}$

Quest’ultima rappresenta la componente dell’accelerazione con il quale si muove il motociclica, chiaramente è negativa, in quanto essendo una decelerazione punta nel semiasse negativo delle $x$ . Concludiamo che il modulo dell’accelerazione è

$\boxcolorato{fisica}{\displaystyle \left \vert a\right \vert = \text{2,5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}$

Svolgimento punto 2.

Dalla seconda equazione nel sistema~\eqref{due}, utilizzando l’espressione per l’accelerazione appena calcolata e considerando che $v_1=0$ , possiamo calcolare l’istante di tempo $t_1$ come segue:

(5) $\begin{equation*} t_1 = \frac{v_1 - v_0}{a} = \frac{-v_0}{a} = \frac{2d}{v_0} = \frac{2 \cdot 100}{22.2}\ \text{s}. \end{equation*}$

Calcolando il valore numerico, otteniamo:

$\boxcolorato{fisica}{t_1 = \text{9,0}\ \text{s}.}$

Svolgimento punto 3.

Determiniamo l’accelerazione $a^*$ necessaria per percorrere la distanza $d$ in un tempo $t^* = 6\ \text{s}$ , partendo dalle stesse condizioni iniziali $x_0 = 0$ e $v_0$ . Utilizzando la prima equazione del sistema \eqref{due} con questi dati, otteniamo:

(6) $\begin{equation*} d = x(t^*) = v_0t^* + \frac{1}{2}a^*{t^*}^2 \quad \Longrightarrow \quad a^* = \frac{2}{{t^*}^2}(d - v_0t^*) = \frac{2}{6^2}(100 - \text{22,2}\cdot 6)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}. \end{equation*}$

Di conseguenza, si trova:

$\boxcolorato{fisica}{a^* = -\text{1,8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}$

Svolgimento punto 4.

Per determinare se il motociclista supera il limite di velocità di $50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ quando raggiunge il semaforo, possiamo nuovamente utilizzare la seconda equazione del sistema \eqref{due}, cioè:

(7) $\begin{equation*} v(t^*) = v_0 + a^*t^* = (\text{22,2} - \text{1,8}\cdot 6)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}$

Calcolando il valore numerico, otteniamo:

$\boxcolorato{fisica}{v(t^*) = \text{11}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 40\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}.}$

Pertanto, il motociclista non ha superato il limite di velocità di $50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ quando ha raggiunto il semaforo, poiché la sua velocità è risultata inferiore a tale limite e dunque non prederà la multa.

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