Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 14

Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 14: in questo articolo presentiamo il quindicesimo esercizio dedicato a questo argomento, parte di una raccolta più ampia. L’intera serie di esercizi è disponibile al seguente link: raccolta completa degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Di seguito sono elencati l’esercizio precedente e quello successivo:

Pensato per un corso di Fisica 1, l’esercizio è rivolto a studenti e appassionati della materia. La soluzione è sviluppata con rigore metodologico e precisione espositiva, in linea con lo stile di Qui Si Risolve.

Buona lettura!

Testo esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 14

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un veicolo inizialmente fermo si mette in movimento su un lungo rettilineo con accelerazione costante di modulo $a_1$ . Dopo un intervallo di tempo $\tau_1$ l’accelerazione si annulla bruscamente e il moto del veicolo resta uniforme per un intervallo di tempo $\tau_2-\tau_1$ , dopodiché il veicolo comincia a rallentare con accelerazione costante di modulo $a_2$ . Si calcoli:

l’istante di tempo $\tau_3$ in cui il veicolo si ferma e lo spazio totale $x_{tot}$ percorso dal veicolo;
la velocità scalare media $v_m$ e l’accelerazione scalare media $a_m$ del veicolo sull’intero percorso.

Esprimere i risultati in funzione degli istanti di tempo e dei tratti di spazio percorsi.

Figura 1: schema dell’esercizio sul moto rettilineo uniformemente accelerato 14.

Richiami teorici.

Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1) $\begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v$ è la velocità costante e $t_i$ è l’istante in cui ha inizio il moto.

Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2) $\begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}$

dove $x_i$ è la posizione iniziale, $v_i$ è la velocità iniziale, $a$ è l’accelerazione costante e $t_i$ è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Ox$ come illustrato in figura 1 ed esaminiamo la prima parte del problema. Nel primo tratto, il veicolo, partendo da una velocità iniziale $v_0$ nulla e muovendosi con moto rettilineo uniformemente accelerato, raggiunge la velocità $v_1$ all’istante di tempo $t=\tau_1$ . Dalle leggi della cinematica, in particolare dalla seconda equazione del sistema (2) si ha:

$v_1 = v(\tau_1) = a_1 \tau_1,$

dove $a_1$ rappresenta l’accelerazione relativa al primo tratto di percorso, che si sviluppa nell’intervallo di tempo $[0,\tau_1]$ .

Dopo questo intervallo di tempo, il veicolo procede con moto rettilineo uniforme fino all’istante di tempo $t=\tau_2$ . Successivamente, ossia nell’intervallo di tempo $[\tau_2,\tau_3]$ il veicolo si muove con moto rettilineo uniformemente accelerato, ma con accelerazione negativa.

Per maggiore chiarezza, rappresentiamo in figura 2 gli istanti di tempo e i tratti percorsi dal veicolo.

Figura 2: illustrazione degli intervalli di tempo e dei tratti percorsi.

Dalla cinematica, si ha che la velocità a un generico istante $t$ è data da

(3) $\begin{equation*} v(t)=v_1-a_2 t, \qquad \tau_1 \leq t \leq \tau_2 \end{equation*}$

dove l’accelerazione $a_2$ è preceduta da segno negativo in quanto accelerazione negativa che comporta un rallentamento del veicolo. Applicando l’equazione precedente all’intervallo $[\tau_2,\tau_3]$ e considerando in particolare $t = \tau_3$ , ossia l’istante di tempo in cui il veicolo si ferma, avremo

(4) $\begin{equation*} v_1 - a_2 \tau_3 = 0, \end{equation*}$

da cui segue

$\boxcolorato{fisica}{ \tau_3 = \frac{v_1}{a_2}.}$

Consideriamo le leggi orarie relative ai tre tratti di percorso effettuati; per il primo tratto si ha

(5) $\begin{equation*} x(t)=\frac{1}{2} a_1 t^2 \quad t\in[0,\tau_1], \end{equation*}$

per il secondo

(6) $\begin{equation*} x(t)=x(\tau_1) + v_1 (t-\tau_1) \quad t\in[\tau_1,\tau_2], \end{equation*}$

mentre per il terzo

(7) $\begin{equation*} x(t)=x(\tau_2) + v_3 (t-\tau_2) - \frac{1}{2} a_2 (t-\tau_2)^2 \quad t\in[\tau_2,\tau_3], \end{equation*}$

dove per il primo e terzo tratto abbiamo usato la prima equazione del sistema (2), mentre per il secondo tratto (moto rettilineo uniforme), abbiamo usato l’equazione (1). Nel primo tratto la distanza percorsa è data da

(8) $\begin{equation*} x(\tau_1) = x_1 =\frac{1}{2}a_1 \tau_1^2, \end{equation*}$

mentre nel secondo tratto essa vale

(9) $\begin{equation*} x(\tau_2) - x(\tau_1) = x_2 - x_1 = v_1(\tau_2-\tau_1). \end{equation*}$

Nel terzo tratto, la distanza percorsa dal veicolo prima di fermarsi è

(10) $\begin{equation*} x(\tau_3) - x(\tau_2) = x_3 - x_2 = v_3(\tau_3-\tau_2)-\frac{1}{2}a_2 (\tau_3-\tau_2)^2. \end{equation*}$

La distanza totale percorsa, pari alla somma delle distanze nei tre tratti, vale allora:

$\boxcolorato{fisica}{x_{tot}=x_1+x_2+x_3=\dfrac{1}{2}a_1\tau_1^2+v_1(\tau_2-\tau_1) + v_3(\tau_3-\tau_2)-\frac{1}{2}a_2 (\tau_3-\tau_2)^2.}$

Il secondo quesito del problema può ora essere risolto. Definiamo con $t_{tot}$ il tempo totale in cui il moto analizzato si svolge. Considerando che la velocità scalare media (espressa in $\text{m}/\text{s}$ ) è il rapporto tra la lunghezza del percorso compiuto ed il tempo impiegato a percorrerlo, mentre l’accelerazione scalare media (espressa in $\text{m}/\text{s}^2$ ) è la differenza tra velocità finale e iniziale divisa per l’intervallo di tempo considerato, esse valgono rispettivamente:

$\boxcolorato{fisica}{\text{v}_{\text{m}} = \frac{x_{tot}}{t_{tot}}=\frac{x_{tot}}{\tau_3} }$

$\boxcolorato{fisica}{text{a}_{\text{m}} = \frac{v(t=\tau_3)-v_(\tau=0)}{t_{tot}}=\frac{0}{\tau_3} = 0\ \text{m}/\text{s}^2. }$

Scarica gli esercizi svolti

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