Moto rettilineo uniformemente accelerato 5

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto d, partendo ed arrivando da fermo. Le caratteristiche dell’auto sono tali che l’accelerazione massima è a_{1}, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima di a_{2}<0. Supponendo che il moto sia rettilineo, calcolare il tempo t_{tot} ottenuto nella prova.

 

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Richiami teorici.  Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 

Svolgimento.  Fissiamo un sistema di riferimento fisso Ox, come in figura 2.

 

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Applichiamo l’equazione (1)_3 per entrambi i moti e definiamo v_1(x) la legge che descrive la velocità in funzione dello spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato, e v_2(x) la legge che descrive la velocità in funzione dello spazio nel moto rettilineo uniformemente decelerato. Si ha

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} v_1^2(x)=2 x a_1 \quad &\text{per $x\in [0,x_1]$}\\ v_2^2(x)=v_1^2+2a_2(x-x_1)&\text{per $x\in [x_1,d]$}, \end{cases} \end{equation*}

dove x_1 è la posizione comune ai due moti (ovvero è la posizione in cui finisce il moto rettilineo uniformemente accelerato e in cui inizia il moto rettilineo uniformemente decelerato) e v_1 è la velocità finale del moto rettilineo uniformemente accelerato, di conseguenza v_1 sarà la velocità iniziale del moto rettilineo uniformemente decelerato[1].
Per la legge v_1(x) poniamo v_1(x_1)=v_1 e x=x_1; analogamente per la legge v_2(x) poniamo v_2(d)=0 e x=d. Otteniamo il seguente sistema (abbiamo sfruttato il sistema (2))

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} v_1^2=2 x_1 a_1\\ 0=v_1^2+2a_2(d-x_1), \end{cases} \end{equation*}

da cui, sommando ambo i membri delle due equazioni del sistema, si ha

(4)   \begin{equation*} 2 x_1 a_1+2a_2(d-x_1)=0, \end{equation*}

o anche (abbiamo moltiplicato ambo i membri dell’equazione per 1/2)

(5)   \begin{equation*} x_1(a_1-a_2)=-a_2d, \end{equation*}

cioè

(6)   \begin{equation*} \boxed{ x_1=\dfrac{a_2d}{a_2-a_1}.} \end{equation*}

Abbiamo trovato la posizione finale x_f del moto accelerato e la posizione iniziale x_i del moto decelerato, ovvero x_i=x_f=x_1. Sostituendo x_1 (definita in (6)) in (3), si ottiene

(7)   \begin{equation*} v_1^2=2 x_1 a_1=\dfrac{2a_1a_2d}{a_2-a_1}\quad \Leftrightarrow \quad v_1=\sqrt{\dfrac{2a_1a_2d}{a_2-a_1}}. \end{equation*}

Sfruttiamo ora l’equazione (1)_1 per entrambi i moti. Definiamo t=t_1 il tempo totale della durata del moto rettilineo uniformemente accelerato e t=t_2 il tempo totale della durata del moto rettilineo uniformemente decelerato. Inoltre, chiamiamo v_1(t) la legge che descrive come varia la velocità in funzione del tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato e v_2(t) la legge che descrive la velocità del moto rettilineo uniformemente decelerato in funzione del tempo.
Abbiamo dunque (si sfruttato (1)_1)

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} v_1(t)=a_1t\quad &\text{per $x\in [0,t_1]$}\\ v_2(t)=v_1+a_2(t-t_1)&\text{per $x\in [t_1,t_{1}+t_2]$}. \end{cases} \end{equation*}

 

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Poniamo v_1(t_1)=v_1 e v_2(t_{1}+t_2)=0, da cui si ottiene il seguente sistema (si osservi che abbiamo sfruttato il sistema (8))

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} v_1=a_1t_1\\ 0=v_1+a_2(t_1+t_2-t_1) \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} v_1=a_1t_1\\ 0=v_1+a_2t_2 \end{cases} \Leftrightarrow \quad\begin{cases} t_1=\dfrac{v_1}{a_1}\\\\ t_2=-\dfrac{v_1}{a_2}. \end{cases} \end{equation*}

Sommando t_1 e t_2 e sfruttando il risultato ottenuto in (7) si ottiene t_{tot} (tempo totale), cioè

(10)   \begin{equation*} t_{tot}=t_1+t_2=\dfrac{v_1}{a_1}-\dfrac{v_1}{a_2}=v_1\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2}\right)=\left(\dfrac{a_2-a_1}{a_1a_2}\right)\sqrt{\dfrac{2a_1a_2d}{a_2-a_1}}. \end{equation*}

Si conclude che il tempo totale è

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_{tot}=\left(\dfrac{a_2-a_1}{a_1a_2}\right)\sqrt{\dfrac{2a_1a_2d}{a_2-a_1}}.}\]

 

1. Si osservi che l’accelerazione è una funzione discontinua, mentre la velocità è una funzione continua.