Moto rettilineo uniformemente accelerato 4

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un automobilista che sta viaggiando alla velocità v_{0}=22\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1} vede comparire la segnalazione rossa ad un semaforo posto alla distanza d=100\;{\text{m}}. Calcolare:

  • 1) La decelerazione costante a^\star che si deve impartire all’auto tramite i freni per potersi fermare al semaforo.
  • 2) Il tempo t^\star impiegato.

Se il tempo che intercorre tra il segnale rosso e quello verde è di \tilde{t}=6\;{\text{s}}, quando l’automobile si trova a distanza d calcolare:

  • 3) Il valore della decelerazione costante \tilde{a} per passare esattamente al momento dell’illuminazione del verde.
  • 4) Se in prossimità del semaforo c’è un vigile, l’automobilista prenderà una multa per aver superato il limite di 14\;\text{m}\cdot \text{s}^{-1}?

 

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Richiami teorici.  Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 

Svolgimento punto 1. L’automobilista viaggia di moto rettilineo uniformemente accelerato. Introduciamo un sistema di riferimento fisso Ox, con asse x coincidente con la strada e con l’origine O coincidente all’istante t=0 con la macchina che si trova a distanza d dal semaforo. Vogliamo trovare la decelerazione costante a da impartire all’auto per fare in modo che si arresti in uno spazio pari a d. La velocità finale della macchina dovrà quindi essere nulla.

Applichiamo l’equazione (1)_3. Poniamo v(d)=0, x_i=0, v_i=v_0, x=d e a=a^\star, ottenendo

(2)   \begin{equation*} 0=v_0^2+2a^\star d, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=-\dfrac{v_0^2}{2d}=-2,4\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

Il segno negativo è legato al fatto che la macchina sta frenando, per diminuire la velocità del mezzo sarà necessaria una decelerazione opposta al moto.

 

Svolgimento punto 2.  Il problema richiede il tempo di frenata {t}^\star, ovvero quanto tempo impiega la macchina per fermarsi in uno spazio pari ad d. Sfruttiamo l’equazione (1)_2. Poniamo v({t}^\star)=0, v_i=v_0, t={t}^\star, t_i=0 e a=a^\star, ottenendo

(3)   \begin{equation*} 0=v_0+a^\star t^\star, \end{equation*}

per cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ t^\star=-\frac{v_0}{a^\star}=9\;{\text{s}}.}\]

Notiamo l’importanza del segno meno nella formula: l’accelerazione negativa consente di ottenere un valore positivo per l’intervallo di tempo trascorso.

 

Svolgimento punto 3.  La seconda parte del problema fornisce il tempo t=6\;\text{s} che intercorre tra il segnale rosso e il segnale verde del semaforo, quando la macchina si trova a distanza d dall’incrocio. In questo caso si chiede il valore della decelerazione \tilde{a} dell’auto per fare in modo che questa passi esattamente al momento dell’illuminazione del verde. Applichiamo l’equazione (1)_1. Imponiamo x(\tilde{t})=d, t=\tilde{t}, v_i=v_0, x_i=0, t_i=0 e a=\tilde{a}, ottenendo

(4)   \begin{equation*} d=v_0\tilde{t}+\dfrac{1}{2}\tilde{a}(\tilde{t})^2 \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \tilde{a}=\frac{2(d-v_0\tilde{t})}{(\tilde{t})^2}.=-1,78\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

Come nel caso precedente, il segno meno esplicita il fatto che \tilde{a} è una decelerazione, opposta al moto della macchina.

 

Svolgimento punto 4. Conoscendo la decelerazione \tilde{a} ricavata nel punto precedente è possibile utilizzare l’equazione (1)_3 per rispondere a questo punto del problema. imponiamo v(d)=v_f, v_i=v_0, a=\tilde{a}, x_i=0 e x=d, ottenendo

(5)   \begin{equation*} v_f^2=v_0^2+2\tilde{a}d, \end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_f=\sqrt{v^2_0+2\tilde{a}d}=\text{11}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}<14\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

La velocità finale v_f a cui viaggia la macchina all’altezza del semaforo è inferiore ad 14\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}, pertanto L’automobilista non verrà multato.

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis.