Moto rettilineo uniformemente accelerato 3

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un treno si muove lungo una linea retta con velocità costante v_{0}=50\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Ad un certo istante il macchinista inserisce il freno e il treno riduce la sua velocità al valore v_{1}=20\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Durante il periodo di decelerazione il treno percorre una distanza d=80\;{\text{m}}.
Supponendo costante l’accelerazione (negativa):

  1. Qual è il modulo dell’accelerazione?
  2. Per quanto tempo è rimasto inserito il freno?

 

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Richiami teorici.  Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(1)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 

Svolgimento punto 1.  Il treno si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato. La prima richiesta è di determinare il valore della decelerazione costante dal momento che il macchinista inizia a frenare. Sfruttiamo l’equazione (1)_3. Poniamo v_i=v_0, x=d, x_i=0 e v(d)=v_1, ottenendo

(2)   \begin{equation*} v_1^2=v_0^2+2ad, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=\frac{v_1^2-v^2_0}{2d}=-13\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

 

Svolgimento punto 2.  Il problema chiede di calcolare il tempo t_1 di frenata impiegato dal treno per passare dalla velocità v_0 alla velocità v_1. Sfruttiamo l’equazione (1)_2. Poniamo v(t_1)=v_1, v_i=v_0, t=t_1 e t_i=0, ottenendo

(3)   \begin{equation*} v_1=v_0+at_1, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_1=\dfrac{v_1-v_0}{a}=\text{2,3}\;{\text{s}}.}\]

 

Fonte: G. Dalba e P. Fornasini – Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica, Springer.