Moto rettilineo uniformemente accelerato 2

Cinematica del punto materiale nella meccanica classica

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Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si sta progettando una nuova metropolitana sotterranea. Schematicamente la tratta è la seguente:

 

  • A : treno fermo;
  • AB : tratto di 500 \;\text{m} percorso ad una accelerazione costante a_{AB}
  • BC : tratto di 4000\;\text{m} percorso ad una velocità costante v_B=20\;{{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}};
  • CD : tratto di 250\;\text{m} percorso ad una decelerazione costante a_{CD}.
  1. si calcoli il valore dell’accelerazione a_{AB} in \text{m}\cdot\text{s}^{-2} necessaria per raggiungere in B la velocità prevista nel tratto BC;
  2. si calcoli il valore della decelerazione a_{CD} in \text{m}\cdot\text{s}^{-2} necessaria per arrestarsi nel punto D, cominciando a frenare in C;
  3. si calcoli il tempo di percorrenza nel tratto AD;
  4. Si rappresenti su un grafico l’accelerazione, la velocità e la posizione in funzione del tempo in modo qualitativo.

 

Richiami teorici.  Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme la sua legge oraria è

(1)   \begin{equation*} \boxed{x(t)=x_i+v(t-t_i),} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v è la velocità costante e t_i è l’istante in cui ha inizio il moto.

Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto dalle seguente leggi

(2)   \begin{equation*} \boxed{\begin{cases} x(t)=x_i+v_i(t-t_i)+\dfrac{1}{2}a(t-t_i)^2\\ v(t)=v_i+a(t-t_i)\\ v^2(x)=v^2_i+2a(x-x_i), \end{cases}} \end{equation*}

dove x_i è la posizione iniziale, v_i è la velocità iniziale, a è l’accelerazione costante e t_i è l’istante dell’inizio del moto.

Sfrutteremo questi richiami durante lo svolgimento dell’esercizio, richiamando le equazioni opportunamente a seconda del contesto.

 

Premessa.  Scegliamo un sistema di riferimento fisso Ox con O\equiv A, come in figura 1.

 

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La figura 1 mostra tutti i dettagli del problema, ovvero che il treno parte all’istante t=0 e in corrispondenza di tale istante si trova in A. Parte da fermo e nel tratto AB si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante pari ad a_{AB}, arrivando in B con una velocità di modulo pari ad v_B. Dopo di che, si muove di moto rettilineo uniforme, di conseguenza arriverà in C con velocità di modulo pari a v_B. Infine, nel tratto CD si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato con decelerazione costante pari ad a_{CD}<0, arrivando in C con velocità nulla. Dalla figura 1 si deduce che t=t_1 è il tempo impiegato per percorrere AB, t_2-t_1 è il tempo impiegato per percorre BC e t_3-t_2 è il tempo impiegato per percorrere CD.

 

Svolgimento punto 1. Il primo punto del problema ci chiede di determinare l’accelerazione costante a_{AB}. Sfruttiamo l’equazione (2)_{3}. Imponiamo v(AB)=v_B, v_i=0, a=a_{AB}, x_i=0 e x=AB, ottenendo

(3)   \begin{equation*} v^2_B=2a_{AB}AB, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{a_{AB}=\frac{v_B^2}{2 {AB}}=0.4\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

 

Svolgimento punto 2.  Nel tratto CD il treno si muove di moto rettilineo uniformemente decelerato. Sfruttiamo nuovamente l’equazione (2)_3. Poniamo v(CD)=0, v_i=v_B, a=a_{CD}<0 e x-x_i=CD, ottenendo

(4)   \begin{equation*} 0=v_B^2+2a_{CD}{CD}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_{CD}=-\frac{v_B^2}{2{CD}}=-0.8\;\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}\]

Si osservi che a_{CD} è negativa perché è una decelerazione.

 

Svolgimento punto 3.  Per calcolare il tempo totale che il treno impiega per andare da A a D, è utile considerare i vari moti separatamente, determinando6 il tempo che il treno impiega per percorrere ogni tratto e sommare tutti i tempi per ottenere il tempo totale t_{tot} cercato. Per determinare il tempo impiegato nel tratto AB sfruttiamo l’equazione (2)_2. Imponiamo v_i=0, a=a_{AB}, t=t_1, t_i=0 e v(t_1)=v_B, ottenendo

(5)   \begin{equation*} v_B=a_{AB}t_1 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{t_1=\dfrac{ v_B}{a_{AB}}=50\,\text{s}.} \end{equation*}

Nel tratto BC il treno si muove di moto rettilineo uniforme, pertanto sfruttiamo l’equazione (1). Imponiamo v=v_B, x-x_i=BC, t-t_i=t_2-t_1, ottenendo

(6)   \begin{equation*} BC=v_B(t_2-t_1) \quad \Leftrightarrow \quad\boxed{t_2-t_1=\frac{BC}{v_B}=200\;\text{s}.} \end{equation*}

Nel tratto CD il moto del treno è rettilineo uniformemente decelerato, pertanto possiamo applicare l’equazione (2)_2. Imponiamo v_i=v_B, a=a_{CD}<0, t-t_i=t_3-t_2 e v(t_2)=v_B, ottenendo

(7)   \begin{equation*} 0=v_B+a_{CD}(t_3-t_2)\quad \Leftrightarrow \quad \boxed{t_3-t_2=-\frac{v_B}{a_{CD}}=25\,\text{s}.} \end{equation*}

Sommando tutti i tempi ottenuti si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_{tot}= (t_3-t_2)+(t_2-t_1)+t_1=275\;\text{s}=4\;\text{min}\;35\;\text{s}.}\]

 

Svolgimento punto 4.  La legge analitica dell’accelerazione è

(8)   \begin{equation*} a=\begin{cases} a_{AB}\quad &\text{per $t\in[0,t_1]$}\\ 0 & \text{per $t\in [t_1,t_2]$}\\ a_{CD}& \text{per $t\in [t_2,t_3]$}. \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che nell’intervallo di tempo [t_1,t_2] abbiamo posto l’accelerazione pari a zero perché il moto è rettilineo uniforme. Il grafico dell’accelerazione è riportato di seguito, in figura 2.

 

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Per determinare la legge della velocità sfruttiamo l’equazione (2)_2 e ricordiamo che nell’intervallo di tempo [t_1,t_2] la velocità è costante e di modulo pari ad v_B. La legge analitica della velocità è pari ad

(9)   \begin{equation*} v(t)=\begin{cases} a_{AB}t\quad &\text{per $t\in[0,t_1]$}\\ v_B & \text{per $t\in [t_1,t_2]$}\\ v_B+a_{CD}(t-t_2)& \text{per $t\in [t_2,t_3]$}. \end{cases} \end{equation*}

 

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Per determinare la legge x(t) sfruttiamo l’equazione (1) e l’equazione (2)_2. Si ha

(10)   \begin{equation*} x(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}a_{AB}t^2\quad &\text{per $t\in[0,t_1]$}\\ v_B(t-t_1) & \text{per $t\in [t_1,t_2]$}\\ AB+BC+v_B(t-t_2)+\dfrac{1}{2}a_{CD}(t-t_2)^2& \text{per $t\in [t_2,t_3]$}. \end{cases} \end{equation*}

 

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Si osservi che x(t) e v(t) sono funzioni continue in tutto il loro dominio, mentre a è discontinua in t=t_1 e t=t_2. In particolare nel punto t=t_1 si ha una discontinuità di prima specie con un salto pari ad a_{AB}, mentre nel punto t=t_2 si ha una discontinuità di prima specie con un salto pari ad a_{CD}.

 

Fonte: Fisica Generale, Problemi di Meccanica e Termodinamica di Stefano Longhi et al., Società Editrice Esculapio