Esercizio svolto moto rettilineo uniforme 3

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Esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 3

In questo articolo troverete il terzo esercizio svolto moto rettilineo uniforme. Se desiderate consultare l’esercizio precedente, potete trovarlo al seguente link Esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 2, mentre per l’esercizio successivo potete consultare il seguente link Esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 4. Tutti i testi relativi agli esercizi su questo argomento sono disponibili Moto rettilineo uniforme: testi degli esercizi svolti.

Il moto rettilineo uniforme (MRU) è un tipo di moto in cui un corpo si muove lungo una traiettoria rettilinea con velocità costante nel tempo. Questo significa che la velocità non cambia, il modulo, la direzione e il verso rimangono invariati e l’accelerazione è nulla, poiché non ci sono variazioni di velocità. Inoltre, lo spazio percorso è direttamente proporzionale al tempo, rendendo la legge oraria una funzione lineare. Un esempio di moto rettilineo uniforme è un’auto che viaggia su un’autostrada a velocità costante senza accelerare o frenare, oppure un treno che si muove su un binario dritto mantenendo sempre la stessa velocità.

Per approfondire la teoria sul moto rettilineo uniforme e sul moto rettilineo uniformemente accelerato, puoi consultare il seguente link: teoria sul moto rettilineo uniforme e sul moto rettilineo uniformemente accelerato.

Testo esercizio svolto sul moto rettilineo uniforme 3

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $Oxy$ un sistema di riferimento cartesiano fisso orientato come in figura 1. Un punto $A$ si muove di moto rettilineo uniforme con velocità $\vec{v}_A=v_A\,\hat{x}$ con $v_A<0$ e costante e $\hat{x}$ versore dell’asse delle $x$ .
Un secondo punto $B$ si muove di moto rettilineo uniforme con velocità $\vec{v}_B=v_B\,\hat{y}$ con $v_B>0$ e costante e $\hat{y}$ versore dell’asse delle $y$ .

Al tempo $t=0$ le posizioni iniziali di $A$ e $B$ sono rispettivamente $(x_0,0)$ e $(0,y_0)$ , con $x_0>0$ e $y_0<0$ .

Determinare:

in quale istante $t_*$ i due punti hanno la minima distanza;
il valore $d_{\min}$ di tale distanza.

Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema $x_0,y_0,v_A$ e $v_B$ . Assumere che valga la seguente disuguaglianza $x_0 v_A + y_0 v_B <0$ .

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Richiami teorici esercizio svolto moto rettilineo uniforme 3.

Per lo svolgimento di questo problema è utile richiamare alcune nozioni riguardanti la funzione parabola con asse di simmetria verticale. La sua equazione in un sistema di assi cartesiani $Oxy$ è

(1) $\begin{equation*} y(x)=ax^2+bx+c \qquad\forall x\in\mathbb{R}, \end{equation*}$

con $a\neq 0$ . Il vertice $V$ di una parabola è il punto di intersezione tra l’asse di simmetria e la parabola stessa, avente coordinate

(2) $\begin{equation*} V\equiv (V_x,V_y)=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right). \end{equation*}$

Il segno del coefficiente $a$ individua il verso in cui la parabola volge la propria concavità. Dunque a seconda della concavità della parabola, e quindi del segno di $a$ , l’ordinata del vertice rappresenta il minimo o il massimo della funzione. In particolare

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} a>0\qquad \text{concavità verso l'alto} \qquad V_y \text{ è il minimo che assume $y$};\\ a<0\qquad \text{concavità verso il basso} \qquad V_y \text{ è il massimo che assume $y$}. \end{cases} \end{equation*}$

Di seguito, in figura 2, rappresentiamo due parabole con la concavità verso il basso e verso l’alto. Abbiamo scelto di rappresentare il caso particolare in cui il vertice sia proprio l’origine del nostro sistema di riferimento.

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Come si evince dalla figura 2, nel caso della concavità verso l’alto il vertice è un punto di minimo assoluto, mentre nel caso della concavità verso l’alto il vertice è un punto di massimo assoluto.

Svolgimento Punto 1.

Per i dati del problema, sappiamo che entrambi i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme. $A$ si muove di moto rettilineo uniforme con velocità diretta nel verso negativo delle $x$ , mentre $B$ si muove di moto rettilineo uniforme con velocità diretta nel verso positivo delle $y$ . Dunque le equazioni del moto di $A$ e $B$ sono rispettivamente

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} x_A(t) = x_0 + v_A t \\ y_A(t) = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x_B(t) = 0 \\ y_B(t) = y_0 + v_B t, \end{cases} \qquad \forall t \geq 0. \end{equation*}$

Poiché la distanza è sempre positiva, osserviamo che minimizzare la distanza tra $A$ e $B$ è equivalente a minimizzare il quadrato della distanza tra $A$ e $B$ . Definiamo quindi la funzione $h \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ come il quadrato della distanza tra $A$ e $B$ al tempo $t$ , ossia

(5) $\begin{equation*} h(t) = (x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2, \end{equation*}$

utilizzando le leggi orarie date dal sistema \eqref{leggi_orarie}, otteniamo

(6) $\begin{equation*} h(t) = (x_0 + v_A t)^2 + (y_0 + v_B t)^2 = (v_A^2 + v_B^2)t^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t + x_0^2 + y_0^2, \qquad \forall t \geq 0. \end{equation*}$

Cerchiamo il minimo di tale funzione. Osserviamo che $h(t)$ è una parabola con concavità diretta verso l’alto ( $v_A^2 + v_B^2 > 0$ ), l’istante $t_*$ rappresenta il punto di minimo della parabola, ossia (si guardi i richiami teorici)

(7) $\begin{equation*} t_* = -\dfrac{b}{2a}, \end{equation*}$

dove

(8) $\begin{equation*} b = 2(y_0 v_B + x_0 v_A), \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} a = v_A^2 + v_B^2. \end{equation*}$

Sostituendo i valori di $b$ ed $a$ ottenuti rispettivamente dalle equazioni \eqref{b} e \eqref{a} nell’equazione \eqref{vertice}, otteniamo

(10) $\begin{equation*} t_* = -\dfrac{2(y_0 v_B + x_0 v_A)}{2(v_A^2 + v_B^2)}, \end{equation*}$

ovvero

$\boxcolorato{fisica}{ t_* = -\dfrac{x_0 v_A + y_0 v_B}{v_A^2 + v_B^2}.}$

Osserviamo che $t_*>0$ perché $x_0 v_A + y_0 v_B <0$ per ipotesi.

Svolgimento Punto 2.

Sappiamo che per $t=t_*$ la funzione $h(t_*)$ assume il valore minimo, pertanto per rispondere al secondo punto basta calcolare $h(t_*)$ e farne la radice quadrata, in altri termini $d_{\min}=\sqrt{h(t_*)}$ . Ricordiamo che per definizione $h(t_*)>0$ . Valutando la funzione $h$ in $t=t_*$ , si trova

(11) $\begin{equation*} h(t_*) = (v_A^2+v_B^2)t_*^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t_* + x_0^2 + y_0^2. \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $t_*$ ottenuta al primo punto nell’equazione \eqref{ht}, otteniamo

(12) $\begin{equation*} h(t_*) = (v_A^2+v_B^2)\left(-\frac{x_0 v_A +y_0 v_B}{v_A^2+v_B^2}\right)^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)\left(-\frac{x_0 v_A +y_0 v_B}{v_A^2+v_B^2}\right) + x_0^2 + y_0^2, \end{equation*}$

ossia

(13) $\begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{\left(x_0 v_A +y_0 v_B\right)^2}{v_A^2+v_B^2}-\dfrac{2\left(x_0 v_A +y_0 v_B\right)^2}{v_A^2+v_B^2}+\dfrac{\left(x_0^2 + y_0^2\right)\left(v_A^2+v_B^2\right)}{v_A^2+v_B^2}, \end{equation*}$

ovvero

(14) $\begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{x_0^2v_A^2+y_0^2v_B^2+2x_0v_Ay_0v_B-2x_0^2v_A^2-2y_0^2v_B^2-4x_0v_Ay_0v_B+x_0^2v_A^2+x_0^2v_B^2+y_0^2v_A^2+y_0^2v_B^2}{v_A^2+v_B^2}. \end{equation*}$

Questa espressione può essere semplificata ulteriormente

(15) $\begin{equation*} h(t_*) = \dfrac{x_0^2v_B^2+y_0^2v_A^2-2x_0v_Ay_0v_B}{v_A^2+v_B^2}=\dfrac{\left(x_0v_B-y_0v_A\right)^2}{v_A^2+v_B^2}. \end{equation*}$

Infine,

(16) $\begin{equation*} d_{\min}=\sqrt{h(t_*)}=\sqrt{\dfrac{\left(x_0v_B-y_0v_A\right)^2}{v_A^2+v_B^2}}, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ d_{\mathrm{min}} = \frac{|x_0v_B - y_0v_A|}{\sqrt{v_A^2+v_B^2}}.}$

Osservazione.

Osserviamo che una maniera alternativa per calcolare l’istante $t_*$ è attraverso lo studio della derivata della funzione $h(t)$ . In particolare ponendo

(17) $\begin{equation*} \dfrac{dh(t)}{dt}\biggr\vert_{t=t_*}=0, \end{equation*}$

si ha che

(18) $\begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left((v_A^2 + v_B^2)t^2 + 2(y_0 v_B + x_0 v_A)t + x_0^2 + y_0^2\right)\biggr\vert_{t=t_*}=0\quad\Leftrightarrow\quad 2(v_A^2 + v_B^2)t_*+2(y_0 v_B + x_0 v_A)=0, \end{equation*}$

da cui

(19) $\begin{equation*} t_* = -\dfrac{y_0 v_B + x_0 v_A}{v_A^2 + v_B^2}. \end{equation*}$

Quindi $t_*$ è un punto estremante della funzione $h(t)$ . Dallo studio del segno della derivata della funzione $h(t)$ , deduciamo che

(20) $\begin{equation*} \dfrac{dh(t)}{dt}\geq 0\quad\Leftrightarrow\quad 2(v_A^2 + v_B^2)t+2(y_0 v_B + x_0 v_A)\geq 0 \quad \Leftrightarrow\quad t\geq -\dfrac{y_0 v_B + x_0 v_A}{v_A^2 + v_B^2}= t_*, \end{equation*}$

per cui l’istante di tempo $t_*$ rappresenta il punto di minimo della funzione $h(t)$ .

Scarica gli esercizi svolti

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