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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Due ciclisti A e B partono contemporaneamente dal punto Q dirigendosi lungo la medesima strada rettilinea in versi opposti. Il ciclista A pedala alla velocità costante v_{A}=6\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1} accompagnato dal suo cane, il ciclista B pedala alla velocità costante v_{B}=4\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Dopo 10\;\text{minuti} dalla partenza, il cane del ciclista A lascia il suo padrone e correndo a velocità costante v_{C}=12\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, raggiunge il ciclista B e immediatamente ritorna dal suo padrone A. Quanto tempo impiega il cane nel suo viaggio di andata e ritorno?

 

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Svolgimento. I due ciclisti A e B e il cane si muovono di moto rettilineo uniforme. Introduciamo un sistema di riferimento fisso Ox con origine coincidente con il punto di partenza Q dei due ciclisti, O\equiv Q, tale che la direzione dell’asse x coincida con la strada rettilinea (figura 1). Tutti e tre i protagonisti possono essere allora rappresentati come dei punti materiali[1] che si muovono nel tempo lungo l’asse x. Supponiamo che il ciclista A e il cane C iniziano ad avviarsi lungo il verso negativo dell’asse x, mentre il ciclista B si diriga nel verso opposto, lungo il verso positivo dell’asse x. Ricordando la legge oraria x(t) che descrive la posizione di un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniforme nel tempo, a partire dalla posizione x(t_0) occupata nell’istante di partenza del moto t=t_0, si ha

(1)   \begin{equation*} x(t)=x(t_0)+v(t-t_0) \end{equation*}

Considerando che i due ciclisti A e B partono dall’origine del sistema di riferimento introdotto, x(t_0)=0, dopo t_1=10\;\text{minuti}=600\;\text{s} la loro posizione sarà

(2)   \begin{align*} &x_A(t_1)=x(t_0)-v_A (t_1-t_0)=-v_A t_1;\\ &x_B(t_1)=x(t_0)+v_B (t_1-t_0)=v_B t_1. \end{align*}

Il segno meno della velocità v_A tiene conto del fatto che il ciclista A si sta muovendo lungo la direzione negativa dell’asse x[2]. Al tempo t_1 il cane C si separa dal padrone e raggiunge il ciclista B. Partendo da (1), considerando che la corsa del cane C verso B parte all’istante di tempo t_1 e che la sua posizione iniziale coincide con la posizione del ciclista A al tempo t_1, x_C(t_1)=x_A(t_1)=-v_A t_1, la legge oraria che descrive il tragitto di andata del cane C è

(3)   \begin{equation*} x_C(t)=x_C(t_1)+v_C(t-t_1)=-v_A t_1 + v_C(t-t_1). \end{equation*}

Sia t_2 l’istante di tempo in cui il cane C incontra il ciclista B. Pertanto, al tempo t_2 vale la condizione che il cane C e il ciclista B occupano la stessa posizione sull’asse x, cioè

(4)   \begin{equation*} x_C(t_2)=x_B(t_2). \end{equation*}

Sfruttando (3), da cui si può ottenere x_C(t_2) sostituendo t=t_2, e sapendo che x_B(t_2)=v_B t_2, segue che:

(5)   \begin{equation*} x_C(t_2)=-v_A t_1 + v_C(t_2-t_1)=x_B(t_2)=v_B t_2 \quad\Leftrightarrow\quad v_B t_2=-v_A t_1 + v_C t_2- v_C t_1, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} (v_B-v_C)t_2=-(v_A+v_C)t_1 \quad\Leftrightarrow\quad t_2=\frac{-(v_A+v_C)t_1}{(v_B-v_C)}=\frac{(v_A+v_C)t_1}{(v_C-v_B)}=1350\;\text{s}=22.5\;\text{min}. \end{equation*}

Raggiunto il ciclista B, il cane torna indietro e si ricongiunge con il suo padrone. La legge oraria che descrive il tragitto di ritorno del cane C è

(7)   \begin{equation*} x_C(t)=x_C(t_2)-v_C(t-t_2). \end{equation*}

Come prima, se t_3 è l’istante di tempo in corrispondenza del quale il cane rincontra il suo padrone A, vale la condizione

(8)   \begin{equation*} x_C(t_3)=x_A(t_3), \end{equation*}

da (7) con t=t_3 e dall’ultima condizione, ricordando che il moto di A è uniforme nel tempo, x_A(t_3)=-v_A t_3, si ottiene allora un’espressione per t_3:

(9)   \begin{equation*} x_C(t_3)=x_C(t_2)-v_C(t_3-t_2)=x_A(t_3)=-v_A t_3 \quad \Leftrightarrow \quad-v_A t_3=x_C(t_2)-v_Ct_3+v_Ct_2, \end{equation*}

o anche

(10)   \begin{equation*} (v_C-v_A)t_3=x_C(t_2)+v_Ct_2 \quad \Leftrightarrow \quad t_3=\frac{x_C(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}. \end{equation*}

Per ricavare x_C(t_2) sfruttiamo (4) e ricordiamo che x_B(t_2)=v_Bt_2. Sostituendo, si ottiene

(11)   \begin{equation*} t_3=\frac{x_C(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{x_B(t_2)+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{v_Bt_2+v_Ct_2}{(v_C-v_A)}=\frac{(v_B+v_C)t_2}{(v_C-v_A)}=3600\;\text{s}=60\;\text{min}. \end{equation*}

Il tempo che il cane impiega in totale per andare dal ciclista B e tornare dal suo padrone A sarà allora dato dalla differenza tra l’istante di arrivo e l’istante di partenza del suo moto, ovvero sarà pari alla differenza tra t_3 e t_1. Con il risultato ottenuto in (11) si arriva quindi alla soluzione del problema:

    \[\boxcolorato{fisica}{t=t_3-t_1=3000\;\text{s}=50\;\text{min}.}\]

 

 

1. Viene definito punto materiale in fisica un corpo di cui possono essere trascurate le dimensioni nello studio del moto.

 

2. La velocità del ciclista A è un vettore, di modulo pari alla velocità media v_{A} e di direzione e verso coincidenti con il verso negativo dell’asse x (vedi figura 1.

 

Fonte: G. Dalba e P. Fornasini – Esercizi di Fisica Meccanica e Termodinamica, Springer.