Retta tangente: esercizi

Esempi, Retta tangente nel calcolo differenziale

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo della retta tangente al grafico di una funzione. Questo articolo contiene 10 esercizi su questo importante tema dell’Analisi Matematica. I problemi sono completamente risolti, fornendo così al lettore l’occasione di confrontare le soluzioni da lui trovate con quelle da noi proposte, per un apprendimento più efficace. La raccolta risulta pertanto utile sia a studenti delle scuole superiori, sia a studenti dei corsi di Analisi Matematica 1. Auguriamo a tutti una piacevole lettura!

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Sommario

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Il presente documento propone la risoluzione di dieci esercizi riguardanti la retta tangente a una funzione. Sono inclusi cinque esercizi di tipo standard, seguiti da cinque esercizi relativi a curve parametriche, caratterizzati da un livello di difficoltà lievemente superiore.

Autori e revisori

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Autori: Silvia Lombardi, Valerio Brunetti

Revisori: Matteo Talluri.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo brevemente quanto necessario allo svolgimento degli esercizi, ulteriori richiami sono forniti a piè di pagina nel documento.

Definizione della retta tangente a una funzione in un punto.

Sia $D \subseteq \mathbb{R}$ un insieme, e sia $f: D \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile in un punto $x_0 \in D$ . La retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$ è definita dall’equazione:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0),$

dove $f'(x_0)$ rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente, ossia la derivata di $f$ nel punto $x_0$ .

Questa equazione descrive la retta che tocca il grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$ ed è ad essa tangente.

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = -\dfrac{1}{3x}$ , definita nel dominio $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , e derivabile nel punto $x_0 = 1$ . Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa $x_0$

$y_0 = - \dfrac{1}{3x_0} = -\dfrac{1}{3}$

e ora calcoliamo la derivata della funzione

$f^\prime(x) = \dfrac{1}{3x^2}$

e quindi

$f^\prime(x_0) = \dfrac{1}{3x_0^2} = \dfrac{1}{3}.$

Allora la retta tangente è

$\boxcolorato{analisi}{y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = x^2 - 2x$ , definita su $D = \mathbb{R}$ , e derivabile nel punto $x_0 = -2$ . Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa $x_0$

$y_0 = (x_0)^2-2(x_0) = (-2)^2-2(-2) = 4+4 = 8$

e ora calcoliamo la derivata della funzione

$f^\prime(x) = 2x-2$

e quindi

$f^\prime(x_0) = 2x_0 - 2 = 2(-2)-2 = -6.$

Allora la retta tangente è

$\boxcolorato{analisi}{y = -6x -4 .}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f (x)= 2\sqrt{x}$ , definita nel dominio $D = [0, +\infty)$ , e derivabile nel punto $x_0 = 4$ . Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa $x_0$

$y_0 = 2 \sqrt{x_0} = 4$

e ora calcoliamo la derivata della funzione

$f^\prime(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

e quindi

$f^\prime(x_0) = \dfrac{1}{\sqrt{x_0}} = \dfrac{1}{2}.$

Allora la retta tangente è

$\boxcolorato{analisi}{y = \dfrac{1}{2}x +2.}$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 10 esercizi svolti sul calcolo della retta tangente a una funzione in un punto.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = \dfrac{x}{x - 1}$ , definita nel dominio $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , e derivabile nel punto $x_0 = 0$ . Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa $x_0$

$y_0 = \dfrac{x_0}{x_0-1} = 0$

e ora calcoliamo la derivata della funzione

$f^\prime(x) = \dfrac{x-1-x}{(x-1)^2} =- \dfrac{1}{(x-1)^2}$

e quindi

$f^\prime(x_0) =- \dfrac{1}{(x_0-1)^2} =- \dfrac{1}{(0-1)^2} = -1.$

Allora la retta tangente è

$\boxcolorato{analisi}{y = -x .}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = \sin^2(x) + \sin(2x)$ , definita su $D = \mathbb{R}$ , e derivabile nel punto $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$ . Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa $x_0$

$y_0 = \sin^2\left(x_0\right) + \sin (\pi) = 1$

e ora calcoliamo la derivata della funzione

$f^\prime(x) = 2\sin x \cos x + 2\cos(2x) = \sin(2x) + 2\cos(2x)$

e quindi

$f^\prime(x_0) = \sin(2x_0) + 2\cos(x_0) = \sin(\pi) + 2\cos(\pi) = -2.$

Allora la retta tangente è

$\boxcolorato{analisi}{y=-2x + \pi+1.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + k}$ , definita su $D = \mathbb{R}$ , e derivabile nel punto $x_0 = 1$ . Determinare il valore di $k$ affinché la retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa $x = 1$ sia parallela alla retta di equazione $x - 6y + 3 = 0$ .

Svolgimento.

Determiniamo la derivata prima della funzione riscrivendo dapprima come

(1) $\begin{equation*} f(x) = (x^2+k)^{\frac{1}{3}} \end{equation*}$

e poi calcolando

(2) $\begin{equation*} f^\prime(x) = \dfrac{2x}{3} (x^2+k)^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+k)^2}} \end{equation*}$

e quindi il coefficiente angolare della retta tangente è

(3) $\begin{equation*} \dfrac{2x_0}{3\sqrt[3]{(x_0^2+k)^2}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{(1+k)^2}}. \end{equation*}$

Dal momento che la retta tangente deve essere parallela alla retta $y= \dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{2}$ , avente coefficiente angolare $\dfrac{1}{6}$ allora deve risultare che¹

(4) $\begin{equation*} \dfrac{2}{3\sqrt[3]{(1+k)^2}} = \dfrac{1}{6} \end{equation*}$

da cui

$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt[3]{(1+k)^2}} = \dfrac{1}{4} & \quad \Leftrightarrow \quad (1+k)^2 = 4^3 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(1+k)^2}= \sqrt{64} \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \vert 1 + k \vert = 8 \quad \Leftrightarrow \quad k =-9 \; \vee \; k=7. \end{aligned}$

Allora i valori cercati sono

$\boxcolorato{analisi}{k=-9 \, \vee \, k=7.}$

Due rette parallele hanno stesso coefficiente angolare ↩

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = e^x - kx$ , definita su $D = \mathbb{R}$ e derivabile nel punto in cui interseca l’asse $y$ . Determinare il valore di $k$ affinché la retta tangente alla funzione in tale punto passi per il punto $P(1,4)$ .

Svolgimento.

Un punto dell’asse $y$ ha coordinate $(0,y_0)=(x_0,y_0)$ quindi calcoliamo

(5) $\begin{equation*} y_0 = e^{x_0}-kx_0 = 1 \end{equation*}$

e il coefficiente angolare della retta tangente in $x_0$ è

(6) $\begin{equation*} f^\prime(x_0) = e^{x_0}- k \quad \Rightarrow \quad f^\prime(0) = e^{0}- k = 1-k \end{equation*}$

quindi la retta tangente è

(7) $\begin{equation*} y-1 = (1-k)x \quad \Leftrightarrow \quad y= (1-k)x+1. \end{equation*}$

La retta appena trovata deve passare per il punto $P$ quindi imponendo il passaggio per $P$ otteniamo

(8) $\begin{equation*} 4= (1-k) \cdot 1 + 1 \quad \Leftrightarrow \quad 4=2-k \quad \Leftrightarrow \quad k =-2. \end{equation*}$

Allora il valore cercato è

$\boxcolorato{analisi}{k =-2.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = a \sin 2x + b \cos x + 1$ , definita su $D = \mathbb{R}$ e derivabile nel punto $(\pi, 0)$ , dove interseca l’asse $x$ . Determinare i valori di $a$ e $b$ affinché la curva intersechi l’asse $x$ nel punto $(\pi, 0)$ e in tale punto la tangente formi un angolo di $135^\circ$ con l’asse $x$ .

Svolgimento.

Dovendo trovare il valore di due parametri abbiamo bisogno di due equazioni. La prima equazione si ricava imponendo il passaggio della curva per il punto $(\pi,0)$

(9) $\begin{equation*} 0 = a \sin 2\pi + b \cos \pi + 1 \quad \Leftrightarrow \quad 0 = - b + 1 \quad \Leftrightarrow \quad b=1. \end{equation*}$

Adesso andiamo a calcolare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in $(\pi,0)$

(10) $\begin{equation*} f^\prime(x_0) = 2a \cos 2x_0 - b \sin x_0 \quad \Rightarrow \quad f^\prime(\pi) = 2a \end{equation*}$

e dato che il coefficiente angolare di una retta che forma un angolo di $135^\circ$ con l’asse $x$ è $\tan(135^\circ)$ , si ha

(11) $\begin{equation*} \tan(135^\circ) = 2a \quad \Leftrightarrow \quad -1 = 2a \quad \Leftrightarrow \quad a=-\dfrac{1}{2}. \end{equation*}$

Quindi i valori cercati sono

$\boxcolorato{analisi}{a=-\dfrac{1}{2} \qquad b=1.}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f(x) = ae^x + be^{-x}$ , definita su $D = \mathbb{R}$ e derivabile nel punto $P=(0,2)$ . Determinare i valori di $a$ e $b$ affinché la curva passi per il punto $P=(0,2)$ e in tale punto la tangente sia parallela alla retta di equazione $y = 3x$ .

Svolgimento.

Dobbiamo trovare due parametri, quindi sono necessarie due equazioni.

La prima equazione si ricava imponendo il passaggio della curva per il punto $P$

(12) $\begin{equation*} 2 = ae^0 + be^{0} \quad \Leftrightarrow \quad a+b=2. \end{equation*}$

La seconda equazione si trova ricavando dapprima il coefficiente angolare della retta tangente alla curva e poi ponendolo uguale al coefficiente angolare della retta² $y=3x$ :

(13) $\begin{equation*} f^\prime(x) = ae^x - be^{-x} \end{equation*}$

e sostituendo $x=0$ abbiamo $y^\prime(0)=a-b$ , da cui

(14) $\begin{equation*} a-b=3. \end{equation*}$

Mettendo a sistema (12) e (14) abbiamo

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} a+b=2 \\ a-b=3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a=2-b \\ a=3+b \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a=\dfrac{5}{2}\\\\ b=-\dfrac{1}{2}. \end{cases} \end{equation*}$

Quindi i valori cercati sono

$\boxcolorato{analisi}{a=\dfrac{5}{2}, \qquad b=-\dfrac{1}{2}.}$

Due rette sono parallele quando hanno stesso coefficiente angolare ↩

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri la funzione $f (x)= x^3 - (k-1)x + 1$ , definita su $D = \mathbb{R}$ e derivabile nel punto di ascissa $x = 1$ . Determinare il valore di $k$ affinché la tangente alla funzione in tale punto formi un angolo di $60^\circ$ con l’asse $x$ .

Svolgimento.

Dato che l’asse $x$ ha coefficiente angolare pari a zero, è sufficiente porre

(16) $\begin{equation*} f^\prime(1) = \tan(60^\circ) . \end{equation*}$

Dal momento che

(17) $\begin{equation*} f^\prime(x) = 3x^2-k+1 \end{equation*}$

allora $f^\prime(1)=4-k$ , (16) diventa

(18) $\begin{equation*} 4-k = \tan(60^\circ) \quad \Leftrightarrow \quad 4-k = \sqrt{3} \quad \Leftrightarrow \quad k= 4-\sqrt{3} \end{equation*}$

ovvero il valore cercato è

$\boxcolorato{analisi}{k=4-\sqrt{3} .}$

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Geometria analitica.

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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