Prova domini università

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sui domini di espressioni reali di una variabile. La dispensa propone un percorso progressivo rivolto a studenti universitari e affronta espressioni razionali, valori assoluti, radicali, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche e funzioni goniometriche inverse, fino alle composizioni con condizioni di esistenza annidate.
Un blocco specifico è dedicato alle potenze con base ed esponente variabili, interpretate secondo la convenzione logaritmica esplicitamente fissata nella sezione teorica. Tutti i 23 esercizi sono articolati in quattro punti e sono accompagnati da svolgimenti completi.
Per richiamare le proprietà delle principali funzioni elementari, segnaliamo anche la risorsa Funzioni elementari – Volume 1.
Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa raccoglie una serie progressiva di esercizi svolti sulla determinazione del dominio di espressioni reali in una variabile. L’eserciziario è rivolto a studenti universitari e comprende espressioni razionali, espressioni con valore assoluto, radicali, espressioni esponenziali, logaritmiche, goniometriche e contenenti funzioni goniometriche inverse, oltre a composizioni con condizioni di esistenza annidate. Un blocco specifico riguarda le potenze a base ed esponente variabili, interpretate secondo una convenzione logaritmica esplicitamente fissata.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Daniele Volpe, Silvia Lombardi.

Revisori: Sergio Fiorucci, Giulio Binosi.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali (incluso lo zero);
$\mathbb{N}^*$	Insieme dei numeri naturali privati dello zero;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{R}[x]$	Insieme dei polinomi a coefficienti reali nella variabile $x$ ;
$D_f$	Dominio naturale dell’espressione $f(x)$ ;
$D_f^{(\mathrm C)}$	Dominio dell’espressione $f$ in esame secondo una convenzione $C$ scelta;
$\text{n.d.}$	Espressione non definita nel punto considerato;
$\ln$	Logaritmo naturale in base $e$ ;
$\log_a$	Logaritmo in base $a$ .

Introduzione

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Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi guidati dedicati alla determinazione del dominio di funzioni di variabile reale. Negli esercizi proposti in questa dispensa viene assegnata un’espressione reale nella variabile $x$

. Il problema consiste nel determinare il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$

nel quale tutte le operazioni che compaiono nell’espressione risultano definite e producono un valore reale. Gli esercizi sono preceduti da una sezione teorica, pensata per fornire gli strumenti indispensabili per comprendere le soluzioni. Per affrontare il materiale proposto, si assume che lo studente possieda già una solida familiarità con i prerequisiti algebrici, in particolare con la risoluzione di equazioni e disequazioni (polinomiali, razionali, irrazionali, goniometriche e trascendenti).

Domini di espressioni reali: richiami di teoria

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Espressioni, funzioni e dominio naturale

Definizione 1.1 (relazione e funzione). Siano $A$

e $B$

due insiemi. Una relazione tra $A$

e $B$

è un sottoinsieme $\mathcal{R}\subseteq A\times B$

, dove

$A\times B=\bigl\{(a,b):a\in A,\ b\in B\bigr\}.$

La scrittura $a\,\mathcal{R}\,b$ significa che $(a,b)\in\mathcal{R}$ .

Una funzione $f$ da $A$ a $B$ è una relazione $\Gamma_f\subseteq A\times B$ tale che

$\forall x\in A\;\exists!\,y\in B:\quad (x,y)\in\Gamma_f.$

Si scrive

$f\colon A\to B, \qquad x\longmapsto f(x),$

e $\Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in A\}$ è il grafico di $f$ .

Figura 1: Esempio di relazione che non è una funzione.

Figura 2: Esempio di relazione che soddisfa la definizione di funzione.

L’insieme $A$ è il dominio della funzione e $B$ è il suo codominio. L’immagine di $f$ è

$f(A)=\operatorname{Im}(f) =\bigl\{y\in B:\exists x\in A\text{ tale che }y=f(x)\bigr\},$

e in generale $\operatorname{Im}(f)\subseteq B$ . Un’espressione, da sola, non determina il codominio. In questa dispensa, una volta determinato il dominio naturale, l’espressione è considerata come funzione a valori reali.

Definizione 1.2 (dominio naturale). Data un’espressione $f(x)$

nella variabile reale $x$

, si chiama dominio naturale l’insieme

$D_f= \left\{ x\in\mathbb{R}: f(x)\text{ è definita e assume un valore reale} \right\}.$

Una volta determinato $D_f$ , l’espressione induce la funzione

$f\colon D_f\to\mathbb{R}, \qquad x\longmapsto f(x).$

Il dominio di una funzione è infatti parte dei dati che la definiscono: una funzione è determinata dal dominio, dal codominio e dalla legge di corrispondenza rappresentata da un’espressione. Negli esercizi proposti si determina il dominio naturale dell’espressione assegnata in modo tale che essa definisca una funzione sul dominio massimo rispetto all’inclusione.

Il dominio naturale può essere tutto $\mathbb{R}$ , un suo sottoinsieme proprio oppure l’insieme vuoto $\emptyset$ .

Osservazione 1.3. Il dominio naturale dipende dall’espressione assegnata e deve essere determinato prima di effettuare semplificazioni che potrebbero nascondere condizioni di esistenza.

Per esempio, assegnata l’espressione

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},$

il suo dominio naturale si ottiene escludendo da $\mathbb{R}$ i valori che annullano il denominatore, ovvero

$D_{\frac{x^2-1}{x-1}} = \mathbb{R}\setminus\{1\}.$

L’identità

$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$

è da intendersi soltanto per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , cioè sul dominio naturale dell’espressione assegnata in origine. L’espressione semplificata ha invece dominio naturale $\mathbb{R}$ :

$D_{x+1}=\mathbb{R}.$

Le semplificazioni vanno eseguite soltanto dopo aver fissato il dominio e devono essere equivalenti su tale insieme. L’espressione semplificata può avere un dominio naturale più ampio, ma non reintegra i punti esclusi dall’espressione iniziale. Lo stesso vale per l’applicazione delle proprietà dei logaritmi: infatti l’espressione

$f(x)=2\ln x$

ha dominio naturale $D_{2\ln x}=(0,+\infty)$ e l’identità

$2\ln x = \ln (x^2)$

vale sul dominio dell’espressione iniziale, benché $\ln\left(x^2\right)$ , se esaminata come espressione autonoma, abbia dominio naturale più ampio $D_{\ln\left(x^2\right)}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Come si determina il dominio naturale

Per determinare in generale il dominio naturale si analizzano le operazioni che compongono l’espressione. La divisione, l’estrazione di radice, il logaritmo e alcune funzioni goniometriche impongono condizioni sui valori ammissibili della variabile.

Quando un’operazione contiene al proprio interno un’altra espressione, occorre prima assicurarsi che l’espressione interna sia definita e poi imporre l’eventuale condizione richiesta dall’operazione esterna.

Per esempio, nell’espressione

$\sqrt{A(x)}$

la condizione

$A(x)\geq0$

deve essere accompagnata dalle condizioni necessarie affinché $A(x)$ sia definita.

Il procedimento generale può essere organizzato nei seguenti passaggi:

si riconoscono le operazioni presenti nell’espressione;
si associa a ciascuna operazione la relativa condizione di esistenza;
si risolvono le condizioni ottenute, determinando i rispettivi insiemi soluzione;
si intersecano gli insiemi soluzione delle condizioni che devono essere soddisfatte simultaneamente;
si esprime il dominio finale in notazione insiemistica e, quando possibile, mediante intervalli.

Osservazione 1.4. Sia $f$

un’espressione reale e sia $m\in\mathbb{N}^*$

il numero delle sue condizioni di esistenza

$C_1(x),\ldots,C_m(x),$

e per ogni $j\in\{1,\ldots,m\}$ sia

$S_j= \left\{ x\in\mathbb{R}:C_j(x)\text{ è soddisfatta} \right\}$

il rispettivo insieme soluzione.

Poiché le condizioni devono essere soddisfatte simultaneamente,

$D_f= \bigcap_{j=1}^{m}S_j.$

Una disgiunzione compare invece quando la soluzione di una singola condizione è costituita dall’unione di più insiemi.

Sia data un’espressione definita a tratti

$F(x)= \begin{cases} f_1(x),&x\in A_1,\\ \vdots&\\ f_n(x),&x\in A_n, \end{cases}$

dove $n\in\mathbb{N}^*$ , $A_j\subseteq\mathbb{R}$ per ogni $j\in\{1,\dots,n\}$ , con $A_i\cap A_j=\emptyset$ per ogni $i,j\in\{1,\dots,n\}$ e $i\neq j$ . Il dominio naturale di $F$ si ottiene studiando separatamente ciascun ramo:

$D_F= \bigcup_{j=1}^{n} \left(A_j\cap D_{f_j}\right).$

Proposizione 1.5 (domini delle operazioni algebriche). Siano $f$

e $g$

espressioni reali con domini naturali $D_f$

e $D_g$

. Allora

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g,$

mentre

$D_{f/g}=\bigl\{x\in D_f\cap D_g:g(x)\neq0\bigr\}.$

Queste identità non sostituiscono il calcolo delle condizioni interne: se, per esempio, $g$ contiene radicali, logaritmi o ulteriori denominatori, tali condizioni sono già comprese nella determinazione di $D_g$ .

Proposizione 1.6 (dominio di una composizione). Siano

$f\colon D_f\to\mathbb{R}, \qquad g\colon D_g\to\mathbb{R}.$

Il dominio naturale della composizione $g\circ f$ è

$D_{g\circ f}=\bigl\{x\in D_f:f(x)\in D_g\bigr\}.$

La proposizione precedente fornisce la regola generale per le espressioni annidate: si parte dall’espressione più interna e si impongono progressivamente le condizioni richieste dalle funzioni esterne.

Vademecum delle condizioni di esistenza

Nei paragrafi seguenti $A(x)$ e $B(x)$ indicano espressioni reali. Le condizioni indicate devono sempre essere affiancate alle eventuali condizioni necessarie affinché $A(x)$ e $B(x)$ siano a loro volta definite.

Polinomi e funzioni razionali. Sia $P(x)=\sum_{j=0}^{n}a_jx^j\in\mathbb{R}[x]$

un polinomio, con $n\in\mathbb{N}$

e $a_j\in\mathbb{R}$

per ogni $j\in\{0,\ldots,n\}$

, allora

$D_P=\mathbb{R}.$

Siano $P,Q\in\mathbb{R}[x]$ polinomi, con $Q$ non identicamente nullo. L’espressione

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

ha dominio

$D_f=\bigl\{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\bigr\} =\mathbb{R}\setminus\bigl\{x\in\mathbb{R}:Q(x)=0\bigr\}.$

Radicali. Sia $A(x)$

un’espressione con dominio $D_A$

. Per ogni $n\in\mathbb{N}$

tale che $n\ge 2$

si ha

$D_{\sqrt[n]{A}}= \begin{cases} \bigl\{x\in D_A:A(x)\ge0\bigr\},&n\text{ pari},\\[1mm] D_A,&n\text{ dispari}. \end{cases}$

Se il radicale compare al denominatore e $B(x)$ ha dominio $D_B$ , allora

$D_{B/\sqrt[n]{A}}= \begin{cases} \bigl\{x\in D_A\cap D_B:A(x)>0\bigr\},&n\text{ pari},\\[1mm] \bigl\{x\in D_A\cap D_B:A(x)\neq0\bigr\},&n\text{ dispari}. \end{cases}$

Valore assoluto. Sia $A(x)$

un’espressione con dominio $D_A$

, allora

$D_{|A|}=D_A.$

Il valore assoluto non introduce quindi, da solo, condizioni aggiuntive sul dominio; può tuttavia comparire all’interno di ulteriori operazioni e modificare le condizioni da risolvere.

Funzione esponenziale e logaritmica. Sia $A(x)$

un’espressione con dominio $D_A$

. Si assuma $a>0$

e $a\neq1$

, allora

$D_{a^A}=D_A$

$D_{\log_a A}=\bigl\{x\in D_A:A(x)>0\bigr\}.$

Se il logaritmo compare al denominatore e $B(x)$ ha dominio $D_B$ , allora

$D_{B/\log_a A} =\bigl\{x\in D_A\cap D_B:A(x)>0,\ A(x)\neq1\bigr\}.$

Potenze a esponente intero o razionale costante. Sia $A(x)$

un’espressione con dominio $D_A$

. Siano

$p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, \qquad q\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}, \qquad \text{MCD}(|p|,q)=1,$

dove MCD indica il massimo comune divisore tra $|p|$ e $q$ . Interpretando $A(x)^{p/q}$ mediante i radicali reali, ovvero $A(x)^{p/q}=\sqrt[q]{(A(x))^p}=\left(\sqrt[q]{A(x)}\right)^p$ , si ha:

$\begin{array}{c|c} \text{Caso} & \text{Condizione aggiuntiva}\\ \hline q\text{ dispari},\ p>0 & \text{nessuna}\\ q\text{ dispari},\ p<0 & A(x)\neq0\\ q\text{ pari},\ p>0 & A(x)\geq0\\ q\text{ pari},\ p<0 & A(x)>0. \end{array}$

In particolare, per $m\in\mathbb{N}^*$ , la potenza $A(x)^m$ ha dominio

$D_{A^m}=D_A.$

Invece, la potenza con esponente negativo $A(x)^{-m}$ ha dominio

$D_{A^{-m}}=\{x\in D_A:A(x)\neq0\}.$

Per l’esponente nullo si adotta la convenzione

$A(x)^0=1$

nei punti in cui $A(x)$ è definita e non nulla; l’espressione $0^0$ resta esclusa.

Potenze a base ed esponente variabili. Siano $A(x), B(x)$

espressioni con domini rispettivamente $D_A$

e $D_B$

. Quando la base e l’esponente dipendono entrambi dalla variabile, nella dispensa si adotta esplicitamente la convenzione logaritmica

$f(x)=A(x)^{B(x)} \coloneqq \exp\!\bigl(B(x)\ln A(x)\bigr).$

Secondo questa convenzione devono essere definite entrambe le espressioni $A(x)$ e $B(x)$ , cioè $x\in D_A\cap D_B$ , e deve inoltre risultare

$A(x)>0.$

Il dominio secondo la convenzione fissata è quindi

$D_f^{(\mathrm C)} = \left\{ x\in D_A\cap D_B:A(x)>0 \right\}.$

La positività della base deriva dalla convenzione adottata: non descrive tutti i casi reali possibili nei quali una potenza con base nulla o negativa possa assumere un valore reale.

Funzioni goniometriche. Sia $A(x)$

un’espressione con dominio $D_A$

, allora

$D_{\sin A}=D_{\cos A}=D_A.$

Inoltre,

$D_{\tan A} =D_A\setminus\displaystyle \left\{x\in D_A:A(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\},$

mentre

$D_{\cot A} =D_A\setminus\displaystyle \left\{x\in D_A:A(x)=k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.$

Funzioni goniometriche inverse. Si fissino

$\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \qquad \arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],$

$\arctan\colon\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \qquad \operatorname{arccot}\colon\mathbb{R}\to(0,\pi).$

Sia $A(x)$ un’espressione con dominio $D_A$ , allora

$D_{\arcsin A}=D_{\arccos A} =\bigl\{x\in D_A:-1\le A(x)\le1\bigr\},$

mentre

$D_{\arctan A}=D_{\operatorname{arccot} A}=D_A.$

Soluzioni periodiche

Le condizioni goniometriche producono frequentemente famiglie periodiche di intervalli o di punti.

Se $I_k$ è una famiglia di intervalli indicizzata da $k\in\mathbb{Z}$ , la scrittura

$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}I_k$

indica l’insieme dei punti appartenenti ad almeno uno degli intervalli della famiglia.

Analogamente, una famiglia periodica di punti $P_k$ da escludere, con $k\in\mathbb{Z}$ , può essere scritta nella forma

$\mathbb{R}\setminus \{P_k:\,k\in\mathbb{Z}\}.$

Questa notazione evita ambiguità sui valori del parametro intero e sarà utilizzata sistematicamente negli esercizi.

Strumenti per risolvere le condizioni di esistenza

Nel risolvere le condizioni di esistenza occorre distinguere le trasformazioni equivalenti dalle sole implicazioni.

Trasformazioni equivalenti. Per ogni $n\in\mathbb{N}^*$

, sul dominio comune di $A(x)$

e $B(x)$

, vale

$\sqrt[2n]{A(x)}=B(x) \iff \begin{cases} B(x)\geq0,\\ A(x)=B(x)^{2n}, \end{cases}$

mentre

$\sqrt[2n]{A(x)}\leq B(x) \iff \begin{cases} A(x)\geq0,\\ B(x)\geq0,\\ A(x)\leq B(x)^{2n} \end{cases}$

$\sqrt[2n]{A(x)} \ge B(x) \quad \iff \quad \begin{cases} A(x) \ge 0 \\[4pt] B(x) < 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} B(x) \ge 0 \\[4pt] A(x) \ge B(x)^{2n}. \end{cases}$

Ogni elevamento a una potenza pari deve essere accompagnato dalle condizioni di segno necessarie a garantire l’equivalenza tra l’equazione (o disequazione) irrazionale e l’equazione (o disequazione) razionale ottenuta. Analogamente, non si moltiplica o divide una disequazione per un’espressione di segno non noto senza averne prima determinato il segno.

Studio del segno. Quando una condizione si riduce allo studio del segno di un prodotto o di un quoziente, negli svolgimenti si procede nell’ordine seguente:

si scrive il sistema completo delle condizioni di esistenza;
si fattorizza l’espressione e si determina il segno di ciascun fattore;
si costruisce un’unica tabella dei segni, con una riga per ogni fattore e una riga finale per il prodotto o il quoziente;
si selezionano gli intervalli compatibili con la disequazione e si intersecano con le eventuali altre condizioni.

Gli zeri dei fattori al numeratore possono essere inclusi nelle disequazioni non strette; gli zeri dei fattori al denominatore sono sempre esclusi.

Metodo dell’angolo aggiunto. Siano

$a,b\in\mathbb{R}, \qquad (a,b)\neq(0,0), \qquad r=\sqrt{a^2+b^2}.$

Si può scegliere $\varphi\in\mathbb{R}$ , unico modulo $2\pi$ , tale che

$\cos\varphi=\frac{a}{r}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{r}.$

Si ha allora

$a\sin u+b\cos u = r\sin(u+\varphi) \qquad \forall u\in\mathbb{R}.$

L’identità permette di ricondurre alcune equazioni e disequazioni goniometriche a condizioni relative a una sola funzione seno.

Tabella riassuntiva

Nella tabella seguente $A(x)$ e $B(x)$ sono espressioni reali con domini naturali $D_A$ e $D_B$ .

Espressione	Dominio naturale (o secondo convenzione)
$\dfrac{A(x)}{B(x)}$	$\{x\in D_A\cap D_B:B(x)\neq0\}$
$\sqrt[2m]{A(x)}$	$\{x\in D_A:A(x)\geq0\}$ , $m\in\mathbb{N}^*$
$\dfrac{B(x)}{\sqrt[2m]{A(x)}}$	$\{x\in D_A\cap D_B:A(x)>0\}$ , $m\in\mathbb{N}^*$
$\sqrt[2m+1]{A(x)}$	$D_A$ , $m\in\mathbb{N}^*$
$\dfrac{B(x)}{\sqrt[2m+1]{A(x)}}$	$\{x\in D_A\cap D_B:A(x)\neq0\}$ , $m\in\mathbb{N}^*$
$a^{A(x)}$ , $a>0$ , $a\neq1$	$D_A$
$\log_a(A(x))$ , $a>0$ , $a\neq1$	$\{x\in D_A:A(x)>0\}$
$\tan(A(x))$	$D_A\setminus\left\{x\in D_A:A(x)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$
$\cot(A(x))$	$D_A\setminus\left\{x\in D_A:A(x)=k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}$
$\arcsin(A(x)),\ \arccos(A(x))$	$\{x\in D_A:-1\le A(x)\le1\}$
$\arctan(A(x)),\ \operatorname{arccot}(A(x))$	$D_A$
$A(x)^{B(x)}$	$\{x\in D_A\cap D_B:A(x)>0\}$ , secondo la convenzione logaritmica

La tabella riassume le condizioni fondamentali, ma non sostituisce la lettura completa: tutte le condizioni provenienti dalle espressioni interne devono essere conservate e intersecate.

Domini di espressioni reali: esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

La prima condizione esclude

$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z},$

mentre la terza esclude

$x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Per il denominatore del primo addendo si ha

$ <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3729b45ed6970b34bcd06721efca484b_l3.svg" height="285" width="583" class="ql-img-displayed-equation " alt="\begin{aligned} \tan^2x-3\neq0 &\iff \tan x\neq\sqrt{3} \land \tan x\neq-\sqrt{3}. \end{aligned} \] Occorre quindi escludere anche \[ x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi \qquad\text{e}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Pertanto $$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus \left\{ k\dfrac{\pi}{2}, k\pi\pm\dfrac{\pi}{3} :\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$$ [/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto c)"] Il denominatore è il prodotto di due fattori. La tangente deve essere definita e ciascun fattore deve essere diverso da zero: \[ \begin{cases} \cos x\neq0,\\[1mm] \tan x\neq0,\\[1mm] 1-2\cos x\neq0. \end{cases} \] La prima condizione esclude \[ x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Nei punti in cui è definita, la tangente si annulla quando si annulla il seno; pertanto \[ \tan x\neq0 \iff x\neq k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Infine, \[ 1-2\cos x\neq0 \iff \cos x\neq\dfrac12, \] da cui si ottiene che vanno esclusi i valori \[ x=2k\pi\pm\dfrac{\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Si ottiene $$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus \left\{ k\dfrac{\pi}{2}, 2k\pi\pm\dfrac{\pi}{3} :\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$$ [/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] Occorre imporre che il denominatore sia diverso da zero: \[ \cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x\neq0. \] Utilizzando le identità di duplicazione, \[ \cos^2x-\sin^2x=\cos(2x), \qquad 2\sin x\cos x=\sin(2x), \] il denominatore diventa \[ \cos(2x)-\sin(2x). \] Si osserva che i valori di $x$ che annullano la funzione $\cos(2x)$ (ovvero $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$) non costituiscono soluzioni dell'equazione associata, poiché in tali punti il denominatore vale $\mp 1$. Poiché tali valori non annullano il denominatore, si può supporre $\cos(2x) \neq 0$ e dividere ambo i membri della relazione per $\cos(2x)$, ottenendo: \begin{align*} \cos(2x)-\sin(2x)\neq0 &\iff 1 - \tan(2x) \neq 0 \\[6pt] &\iff \tan(2x) \neq 1\\[6pt] &\iff 2x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} \\[6pt] &\iff x \neq \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}, \qquad k \in \mathbb{Z}. \end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il dominio naturale è quindi $$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus \left\{ \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2} :\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$$ [/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 11 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \ln\!\bigl(\arcsin x\bigr); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \arcsin\!\left(\dfrac{x-1}{x}\right); \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \arccos\!\left(\dfrac{4-x^2}{x^2}\right); \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \dfrac{1}{\arcsin(\ln x)}. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

L’arcoseno deve essere definito e il suo valore, che costituisce l’argomento del logaritmo, deve essere strettamente positivo. Le condizioni di esistenza sono

$\begin{cases} -1\leq x\leq1,\\[1mm] \arcsin x>0. \end{cases}$

La funzione arcoseno è strettamente crescente su $[-1,1]$ e $\arcsin 0=0$ . Nell’intervallo in cui è definita si ha quindi

$\arcsin x>0 \iff x>0.$

Intersecando le due condizioni si ottiene

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(0,1].}$

Svolgimento punto b)

L’argomento dell’arcoseno deve essere definito e appartenere all’intervallo $[-1,1]$

. Occorre dunque imporre

$\begin{cases} x\neq0,\\[1mm] -1\leq\dfrac{x-1}{x}\leq1. \end{cases}$

Sotto la condizione $x\neq0$ , la doppia disequazione può essere riscritta mediante il valore assoluto:

$\begin{aligned} -1\leq\dfrac{x-1}{x}\leq1 &\iff \left|\dfrac{x-1}{x}\right|\leq1 \\ &\iff |x-1|\leq|x|. \end{aligned}$

Entrambi i membri sono non negativi, quindi è possibile elevarli al quadrato conservando l’equivalenza:

$\begin{aligned} |x-1|\leq|x| &\iff (x-1)^2\leq x^2 \\ &\iff x^2-2x+1\leq x^2 \\ &\iff x\geq\dfrac12. \end{aligned}$

La condizione ottenuta implica già $x\neq0$ . Il dominio naturale è quindi

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left[\dfrac12,+\infty\right).}$

Svolgimento punto c)

La frazione deve essere definita e il suo valore deve appartenere all’intervallo $[-1,1]$

$\begin{cases} x\neq0,\\[1mm] -1\leq \dfrac{4-x^2}{x^2} \leq1. \end{cases}$

Per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , è possibile scrivere

$\dfrac{4-x^2}{x^2} = \dfrac{4}{x^2}-1.$

La doppia disequazione diventa

$-1 \leq \dfrac{4}{x^2}-1 \leq 1.$

La disequazione inferiore equivale a

$\dfrac{4}{x^2}\geq0$

ed è verificata per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . La disequazione superiore fornisce invece

$\begin{aligned} \dfrac{4}{x^2}-1\leq1 &\iff \dfrac{4}{x^2}\leq2 \\ &\iff 4\leq2x^2 \\ &\iff x^2\geq2 \\ &\iff x\leq-\sqrt{2} \lor x\geq\sqrt{2}. \end{aligned}$

Questa condizione esclude automaticamente $x=0$ . Si ricava dunque

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},+\infty).}$

Svolgimento punto d)

Il logaritmo deve essere definito, il suo valore deve appartenere all’intervallo $[-1,1]$

e l’arcoseno posto al denominatore non deve annullarsi. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} x>0,\\[1mm] -1\leq\ln x\leq1,\\[1mm] \arcsin(\ln x)\neq0. \end{cases}$

La doppia disequazione si risolve sfruttando la monotonia del logaritmo:

$-1\leq\ln x\leq1 \iff e^{-1}\leq x\leq e.$

La condizione ottenuta implica già $x>0$ .

L’arcoseno si annulla soltanto quando il proprio argomento è nullo. Di conseguenza,

$\begin{aligned} \arcsin(\ln x)\neq0 &\iff \ln x\neq0 \\ &\iff x\neq1. \end{aligned}$

Eliminando il punto $x=1$ dall’intervallo ammesso, si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= [e^{-1},1) \cup (1,e].}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \arctan\!\left( \dfrac{x}{1-x^2} \right); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \operatorname{arccot}\!\left( \ln\!\left( \dfrac{x+1}{x-2} \right) \right); \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \dfrac{1} {\arctan\!\left( \dfrac{x^2-1}{x-2} \right)}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \sqrt{ \arctan\!\left( \dfrac{x-1}{x+1} \right) }. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

La funzione arcotangente è definita per ogni argomento reale e non introduce ulteriori restrizioni. Occorre soltanto che la frazione contenuta nel suo argomento sia definita:

$1-x^2\neq0.$

Scomponendo la differenza di quadrati, si ha

$\begin{aligned} 1-x^2\neq0 &\iff (1-x)(1+x)\neq0 \\ &\iff x\neq-1 \land x\neq1. \end{aligned}$

Il dominio naturale è quindi

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.}$

Svolgimento punto b)

L’arcocotangente è definita per ogni argomento reale, secondo la determinazione fissata nella parte teorica. L’unica condizione di esistenza proviene dunque dal logaritmo, il cui argomento deve essere definito e strettamente positivo:

$\begin{cases} x\neq2,\\[2mm] \dfrac{x+1}{x-2}>0. \end{cases}$

Il numeratore si annulla per $x=-1$ : è negativo per $x<-1$ e positivo per $x>-1$ . Il denominatore si annulla per $x=2$ : è negativo per $x<2$ e positivo per $x>2$ .

La tabella dei segni è

$\begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,-1)&-1&(-1,2)&2&(2,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x+1 &-&0&+&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x-2 &-&-&-&0&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex}\dfrac{x+1}{x-2} &+&0&-&\text{n.d.}&+ \end{array}.$

Poiché l’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, lo zero del numeratore e lo zero del denominatore sono esclusi. Si ottiene

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,-1)\cup(2,+\infty).}$

Svolgimento punto c)

La frazione contenuta nell’argomento dell’arcotangente deve essere definita. Inoltre, poiché l’arcotangente si trova al denominatore, il suo valore non deve annullarsi. Le condizioni di esistenza sono

$\begin{cases} x\neq2,\\[2mm] \arctan\!\left( \dfrac{x^2-1}{x-2} \right)\neq0. \end{cases}$

La funzione arcotangente si annulla se e solo se il proprio argomento è nullo. Sotto la condizione $x\neq2$ , si ha quindi

$\begin{aligned} \arctan\!\left( \dfrac{x^2-1}{x-2} \right)\neq0 &\iff \dfrac{x^2-1}{x-2}\neq0 \\ &\iff x^2-1\neq0 \\ &\iff x\neq-1 \land x\neq1. \end{aligned}$

Devono essere esclusi simultaneamente i tre valori $-1$ , $1$ e $2$ . Ne segue

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus\{-1,1,2\}.}$

Svolgimento punto d)

La frazione contenuta nell’argomento dell’arcotangente deve essere definita, mentre il radicando deve essere non negativo. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} x\neq-1,\\[2mm] \arctan\!\left( \dfrac{x-1}{x+1} \right)\geq0. \end{cases}$

La funzione arcotangente è strettamente crescente su $\mathbb{R}$ e si annulla nell’origine. Pertanto

$\arctan\!\left( \dfrac{x-1}{x+1} \right)\geq0 \iff \dfrac{x-1}{x+1}\geq0.$

Il numeratore si annulla per $x=1$ : è negativo per $x<1$ e positivo per $x>1$ . Il denominatore si annulla per $x=-1$ : è negativo per $x<-1$ e positivo per $x>-1$ .

Si riportano i segni nella tabella:

$\begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x-1 &-&-&-&0&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x+1 &-&0&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex}\dfrac{x-1}{x+1} &+&\text{n.d.}&-&0&+ \end{array}.$

La disequazione non stretta include lo zero del numeratore, mentre $x=-1$ resta escluso perché annulla il denominatore della frazione interna. Il dominio naturale è

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,-1)\cup[1,+\infty).}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt{3-x}}, & \text{se }x\leq0,\\[3mm] \dfrac{1}{2^{x+4}-2}, & \text{se }x>0; \end{cases} \\[6mm] \text{b)}\quad& f(x)= \begin{cases} \ln\!\bigl(\ln\lvert x-3\rvert\bigr), & \text{se }x\leq3,\\[2mm] \sqrt{2x-1}, & \text{se }x>3; \end{cases} \\[6mm] \text{c)}\quad& f(x)= \begin{cases} \sqrt{1-x}, & \text{se }x\leq1,\\[2mm] \dfrac{\ln(x-1)}{x-2}, & \text{se }x>1; \end{cases} \\[6mm] \text{d)}\quad& f(x)= \begin{cases} \arcsin(2x+1), & \text{se }x\leq0,\\[2mm] \dfrac{1} {\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\sin x}, & \text{se }x>0. \end{cases} \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

Per determinare il dominio della funzione definita a tratti, si studiano separatamente i due rami e si interseca l’insieme di definizione di ciascuna espressione con la relativa condizione.

Nel primo ramo la radice quadrata si trova al denominatore, perciò occorre imporre

$3-x>0 \iff x<3.$

Tenendo conto della condizione $x\leq0$ , il primo ramo è definito per

$(-\infty,3)\cap(-\infty,0] = (-\infty,0].$

Nel secondo ramo il denominatore non deve annullarsi:

$\begin{aligned} 2^{x+4}-2\neq0 &\iff 2^{x+4}\neq2 \\ &\iff x+4\neq1 \\ &\iff x\neq-3. \end{aligned}$

La condizione del ramo $x>0$ esclude già tale valore. Il secondo ramo è dunque definito su

$(0,+\infty).$

Unendo i domini dei due rami si ottiene

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\mathbb{R}.}$

Svolgimento punto b)

Per il primo ramo, il logaritmo interno deve essere definito e il suo valore deve essere strettamente positivo:

$\begin{cases} \lvert x-3\rvert>0,\\[1mm] \ln\lvert x-3\rvert>0. \end{cases}$

La seconda condizione equivale a

$\lvert x-3\rvert>1 \iff x<2 \lor x>4$

e implica già la prima. Intersecando con la condizione $x\leq3$ , il primo ramo risulta definito per

$\bigl((-\infty,2)\cup(4,+\infty)\bigr) \cap(-\infty,3] = (-\infty,2).$

Nel secondo ramo il radicando deve essere non negativo:

$2x-1\geq0 \iff x\geq\dfrac12.$

Intersecando con $x>3$ , si ricava

$\left[\dfrac12,+\infty\right)\cap(3,+\infty) = (3,+\infty).$

Il dominio complessivo è pertanto

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,2)\cup(3,+\infty).}$

Svolgimento punto c)

Nel primo ramo la condizione di esistenza della radice quadrata è

$1-x\geq0 \iff x\leq1.$

Essa coincide con la condizione che individua il ramo, quindi la prima espressione è definita su

$(-\infty,1].$

Per il secondo ramo occorre imporre

$\begin{cases} x-1>0,\\[1mm] x-2\neq0. \end{cases}$

La prima condizione coincide con $x>1$ , mentre la seconda esclude il valore $x=2$ . Il dominio del secondo ramo è dunque

$(1,2)\cup(2,+\infty).$

Si osserva che $x=1$ è ammesso dal primo ramo: il fatto che l’espressione assegnata nel secondo ramo non sia definita in tale punto è irrilevante, poiché quel ramo viene utilizzato soltanto per $x>1$ .

Unendo i due insiemi si ricava

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus\{2\}.}$

Svolgimento punto d)

Nel primo ramo l’argomento dell’arcoseno deve appartenere all’intervallo $[-1,1]$

$-1\leq2x+1\leq1.$

Risolvendo la doppia disequazione si ottiene

$-1\leq x\leq0.$

La condizione $x\leq0$ non introduce ulteriori restrizioni; il primo ramo è quindi definito su

$[-1,0].$

Nel secondo ramo il denominatore deve essere diverso da zero:

$\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\sin x\neq0.$

Utilizzando l’identità

$\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x,$

la condizione diventa

$-\sin^2x\neq0 \iff \sin x\neq0.$

Occorre dunque escludere

$x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Tenendo conto della condizione $x>0$ , il secondo ramo è definito per

$(0,+\infty) \setminus \left\{ k\pi: k\in\mathbb{N}^* \right\}.$

Il punto $x=0$ , escluso dal secondo ramo, è invece incluso nel primo. Il dominio naturale può quindi essere scritto nella forma compatta

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= [-1,+\infty) \setminus \left\{ k\pi: k\in\mathbb{N}^* \right\}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{\arccos x-\pi} + \ln(x+1); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \sqrt{\ln x} + \sqrt{-\ln x}; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{(x^2-1)(x^2-4)} + \sqrt{-(x^2-1)(x^2-4)}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \sqrt{\cos x-1}. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

L’argomento dell’arcocoseno deve appartenere all’intervallo $[-1,1]$

, il primo radicando deve essere non negativo e l’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} -1\leq x\leq1,\\[1mm] \arccos x-\pi\geq0,\\[1mm] x+1>0. \end{cases}$

La funzione arcocoseno assume valori nell’intervallo $[0,\pi]$ . La seconda condizione può quindi essere verificata soltanto quando

$\arccos x=\pi,$

ossia per

$x=-1.$

Il logaritmo richiede invece

$x>-1.$

Le due condizioni sono incompatibili. Non esiste dunque alcun valore reale per cui entrambe le espressioni siano definite.

Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\emptyset.}$

Svolgimento punto b)

Il logaritmo deve essere definito ed entrambi i radicandi devono essere non negativi:

$\begin{cases} x>0,\\[1mm] \ln x\geq0,\\[1mm] -\ln x\geq0. \end{cases}$

Le ultime due condizioni equivalgono rispettivamente a

$\ln x\geq0 \qquad\text{e}\qquad \ln x\leq0.$

Devono essere verificate simultaneamente, perciò

$\ln x=0 \iff x=1.$

Il valore ottenuto soddisfa anche la condizione $x>0$ . Il dominio naturale è pertanto costituito da un solo punto:

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\{1\}.}$

Svolgimento punto c)

Si pone

$P(x)=(x^2-1)(x^2-4).$

I due radicandi devono essere simultaneamente non negativi:

$\begin{cases} P(x)\geq0,\\[1mm] -P(x)\geq0. \end{cases}$

La seconda disequazione equivale a $P(x)\leq0$ . Le due condizioni possono quindi essere verificate contemporaneamente soltanto se

$P(x)=0.$

Fattorizzando completamente il polinomio, si ottiene

$\begin{aligned} (x^2-1)(x^2-4)=0 &\iff (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0 \\ &\iff x=-2 \lor x=-1 \lor x=1 \lor x=2. \end{aligned}$

In ciascuno di questi punti entrambi i radicandi sono nulli. Il dominio naturale è quindi finito:

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\{-2,-1,1,2\}.}$

Svolgimento punto d)

Il radicando deve essere non negativo:

$\cos x-1\geq0 \iff \cos x\geq1.$

Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha

$-1\leq\cos x\leq1.$

La disequazione può dunque essere soddisfatta soltanto nei punti in cui il coseno assume il proprio valore massimo:

$\cos x=1.$

Le soluzioni sono

$x=2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Il dominio naturale è pertanto:

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left\{ 2k\pi: k\in\mathbb{Z} \right\}.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \dfrac{\sqrt{x^4(x+2)}} {\lvert x+1\rvert+x+1}; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \sqrt{ \lvert x^2-3x+4\rvert-2 }; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \dfrac{\sqrt{1-x^5}} {x^2-x}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \sqrt{ \lvert5-2x\rvert-4-x }. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

Il radicando deve essere non negativo e il denominatore deve essere diverso da zero. Le condizioni di esistenza sono

$\begin{cases} x^4(x+2)\geq0,\\[1mm] \lvert x+1\rvert+x+1\neq0. \end{cases}$

Poiché $x^4\geq0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ , con $x^4>0$ per $x\neq0$ , la prima condizione equivale a

$x\geq-2.$

Si studia ora il denominatore mediante la definizione di valore assoluto. Se $x\leq-1$ , si ha

$\lvert x+1\rvert+x+1 = -(x+1)+x+1 = 0,$

perciò tutti questi valori devono essere esclusi.

Se invece $x>-1$ , allora

$\lvert x+1\rvert+x+1 = 2(x+1)>0.$

Il denominatore è dunque diverso da zero se e solo se

$x>-1.$

Quest’ultima condizione implica già $x\geq-2$ . Si ottiene quindi

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(-1,+\infty).}$

Svolgimento punto b)

Il radicando deve essere non negativo:

$\lvert x^2-3x+4\rvert-2\geq0.$

Il trinomio contenuto nel valore assoluto ha discriminante

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot4=-7<0$

e coefficiente principale positivo. Pertanto

$x^2-3x+4>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R},$

e il valore assoluto può essere eliminato:

$\begin{aligned} \lvert x^2-3x+4\rvert-2\geq0 &\iff x^2-3x+2\geq0 \\ &\iff (x-1)(x-2)\geq0 \\ &\iff x\leq1 \lor x\geq2. \end{aligned}$

Il dominio naturale risulta

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,1]\cup[2,+\infty).}$

Svolgimento punto c)

Il radicando deve essere non negativo, mentre il denominatore deve essere diverso da zero:

$\begin{cases} 1-x^5\geq0,\\[1mm] x^2-x\neq0. \end{cases}$

La funzione $x\mapsto x^5$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$ . Pertanto

$1-x^5\geq0 \iff x^5\leq1 \iff x\leq1.$

Per il denominatore si ha

$\begin{aligned} x^2-x\neq0 &\iff x(x-1)\neq0 \\ &\iff x\neq0 \land x\neq1. \end{aligned}$

Eliminando i valori $0$ e $1$ dal semiasse $x\leq1$ , si ricava

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,0)\cup(0,1).}$

Svolgimento punto d)

Il radicando deve essere non negativo:

$\lvert5-2x\rvert-4-x\geq0.$

Si risolve la disequazione distinguendo i casi determinati dal segno di $5-2x$ .

Se $x\leq\frac52$ , allora

$\lvert5-2x\rvert=5-2x$

e quindi

$\begin{aligned} 5-2x-4-x\geq0 &\iff 1-3x\geq0 \\ &\iff x\leq\dfrac13. \end{aligned}$

La condizione ottenuta implica già $x\leq\frac52$ .

Se invece $x>\frac52$ , si ha

$\lvert5-2x\rvert=2x-5$

e la disequazione diventa

$\begin{aligned} 2x-5-4-x\geq0 &\iff x-9\geq0 \\ &\iff x\geq9. \end{aligned}$

Anche in questo caso la soluzione soddisfa la condizione iniziale del ramo.

Unendo i due insiemi ottenuti, il dominio naturale è

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left(-\infty,\dfrac13\right] \cup [9,+\infty).}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{\dfrac{x^2-4}{x-3}} + \sqrt{1-\sqrt{x}}; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \dfrac{\sqrt{x^4-3x^2-4}} {(x-3)\sqrt{\lvert x+1\rvert}}; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{x+3-\sqrt{x^2-2x-3}}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \sqrt{1-\sqrt{\lvert x+2x^2\rvert}}. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

L’espressione è la somma di due radici quadrate, i cui radicandi devono essere definiti e non negativi. Le condizioni di esistenza sono quindi

$\begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-3}\geq 0,\\[3mm] x\neq 3,\\[1mm] x\geq 0,\\[1mm] 1-\sqrt{x}\geq 0. \end{cases}$

Per studiare il primo radicando, si fattorizza il numeratore:

$\dfrac{x^2-4}{x-3} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3}.$

I punti da considerare nella tabella sono $-2$ , $2$ e $3$ . La tabella dei segni è

$\begin{array}[b]{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,2) & 2 & (2,3) & 3 & (3,+\infty) \\ \hline \rule{0pt}{2.7ex}x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \rule{0pt}{2.7ex}x-2 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \rule{0pt}{2.7ex}x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline \rule{0pt}{3.9ex}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & - & 0 & + & 0 & - & \text{n.d.} & + \end{array}.$

Dalla tabella, il primo radicando è non negativo per $x\in[-2,2]\cup(3,+\infty)$ .

Per il secondo radicando, sotto la condizione $x\geq 0$ , si ha

$1-\sqrt{x}\geq 0 \iff \sqrt{x}\leq 1 \iff x\leq 1.$

Le condizioni relative alla seconda radice richiedono dunque $0\leq x\leq 1$ . Intersecando con la condizione ottenuta dalla prima radice, si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=[0,1].}$

Svolgimento punto b)

Il radicando al numeratore deve essere non negativo; inoltre, il denominatore deve essere definito e diverso da zero. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} x^4-3x^2-4\geq 0,\\[1mm] x-3\neq 0,\\[1mm] \lvert x+1\rvert>0. \end{cases}$

La condizione proveniente dal radicale posto al denominatore equivale a

$\lvert x+1\rvert>0 \iff x\neq-1,$

mentre il fattore lineare impone

$x\neq3.$

Si studia ora il segno del radicando al numeratore. Considerando $x^2$ come un’unica quantità, si ottiene

$x^4-3x^2-4 = (x^2-4)(x^2+1).$

Poiché

$x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R},$

il segno del prodotto coincide con quello del fattore $x^2-4$ , i cui zeri sono $x=-2$ e $x=2$ . La tabella dei segni è

$\begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,-2) &-2 &(-2,2) &2 &(2,+\infty) \\ \hline \rule{0pt}{2.7ex}x^2-4 &+&0&-&0&+ \\ \rule{0pt}{2.7ex}x^2+1 &+&+&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{2.7ex}(x^2-4)(x^2+1) &+&0&-&0&+ \end{array}.$

Pertanto

$x^4-3x^2-4\geq0 \iff x\leq-2 \ \lor\ x\geq2.$

Intersecando questo insieme con le esclusioni provenienti dal denominatore, si ottiene:

$\Bigl((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\Bigr) \setminus\{-1,3\}.$

Il valore $-1$ non appartiene all’insieme già ottenuto dalla disequazione, mentre $3$ deve essere effettivamente escluso. Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,-2] \cup [2,3) \cup (3,+\infty).}$

Svolgimento punto c)

I radicandi delle due radici, interna ed esterna, devono essere non negativi. Le condizioni di esistenza sono pertanto

$\begin{cases} x^2-2x-3\geq 0,\\[1mm] x+3-\sqrt{x^2-2x-3}\geq 0. \end{cases}$

La prima condizione equivale a

$(x-3)(x+1)\geq 0 \iff x\leq -1 \lor x\geq 3.$

La seconda condizione può essere riscritta come

$\sqrt{x^2-2x-3}\leq x+3.$

Poiché il primo membro è non negativo, affinché la disequazione sia verificata è necessario che anche il secondo membro sia non negativo. Sotto tale condizione, è possibile elevare entrambi i membri al quadrato:

$\begin{aligned} \sqrt{x^2-2x-3}\leq x+3 &\iff \begin{cases} x+3\geq 0,\\[1mm] x^2-2x-3\leq(x+3)^2 \end{cases} \\[2mm] &\iff \begin{cases} x\geq -3,\\[1mm] x\geq-\dfrac32 \end{cases} \\[2mm] &\iff x\geq-\dfrac32. \end{aligned}$

Intersecando questa condizione con quella proveniente dalla radice interna, si ottiene

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left[-\dfrac32,-1\right] \cup [3,+\infty).}$

Svolgimento punto d)

Il radicando della radice interna è un valore assoluto e risulta quindi non negativo per ogni $x\in\mathbb{R}$

. L’unica condizione da imporre proviene dalla radice esterna:

$1-\sqrt{\lvert x+2x^2\rvert}\geq 0.$

Si ha

$\begin{aligned} 1-\sqrt{\lvert x+2x^2\rvert}\geq 0 &\iff \sqrt{\lvert x+2x^2\rvert}\leq 1 \\ &\iff \lvert x+2x^2\rvert\leq 1 \\ &\iff -1\leq 2x^2+x\leq 1 \\ &\iff \begin{cases} 2x^2+x+1\geq 0,\\[1mm] 2x^2+x-1\leq 0. \end{cases} \end{aligned}$

Il primo trinomio è strettamente positivo per ogni numero reale, poiché il suo discriminante è negativo e il coefficiente di $x^2$ è positivo:

$2x^2+x+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}.$

La seconda disequazione diventa invece

$2x^2+x-1\leq 0 \iff (2x-1)(x+1)\leq 0 \iff -1\leq x\leq\dfrac12.$

Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left[-1,\dfrac12\right].}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{\ln\!\bigl(2\sin x\bigr)}; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \ln(\sin x)+\ln(\tan x); \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{\tan^2x-1}+\sqrt{\sin x}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \dfrac{1} {\ln\!\bigl(2\sin^2x-\sin(2x)\bigr)}. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo e il logaritmo, essendo posto sotto radice quadrata, deve essere non negativo. Le condizioni di esistenza sono

$\begin{cases} 2\sin x>0,\\[1mm] \ln\!\bigl(2\sin x\bigr)\geq0. \end{cases}$

La seconda condizione equivale a

$\begin{aligned} \ln\!\bigl(2\sin x\bigr)\geq0 &\iff 2\sin x\geq1 \\ &\iff \sin x\geq\dfrac12. \end{aligned}$

Essa implica automaticamente $2\sin x>0$ .

La disequazione ottenuta è verificata negli intervalli

$\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \leq x\leq \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Ne segue

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \right].}$

Svolgimento punto b)

Entrambi gli argomenti dei logaritmi devono essere strettamente positivi. Occorre inoltre che la tangente sia definita:

$\begin{cases} \sin x>0,\\[1mm] \cos x\neq0,\\[1mm] \tan x>0. \end{cases}$

Nei punti in cui è definita,

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.$

Sotto la condizione $\sin x>0$ , la disequazione $\tan x>0$ equivale quindi a $\cos x>0$ . La condizione $\cos x\neq0$ risulta così automaticamente soddisfatta.

Seno e coseno sono entrambi positivi nel primo quadrante:

$2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Il dominio naturale è dunque

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( 2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right).}$

Svolgimento punto c)

I due radicandi devono essere non negativi; inoltre la tangente deve essere definita. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} \cos x\neq0,\\[1mm] \tan^2x-1\geq0,\\[1mm] \sin x\geq0. \end{cases}$

La seconda condizione può essere riscritta come

$\tan^2x-1\geq0 \iff \lvert\tan x\rvert\geq1.$

La condizione $\sin x\geq0$ individua gli intervalli

$2k\pi\leq x\leq\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

In ciascuno di essi, la disequazione $\lvert\tan x\rvert\geq1$ è verificata per

$\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \leq x< \dfrac{\pi}{2}+2k\pi$

e per

$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi <x\leq \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi.$

I punti $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ sono esclusi perché la tangente non è definita.

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left[ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \right] \right).}$

Svolgimento punto d)

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo e il logaritmo posto al denominatore deve essere diverso da zero:

$\begin{cases} 2\sin^2x-\sin(2x)>0,\\[1mm] \ln\!\bigl(2\sin^2x-\sin(2x)\bigr)\neq0. \end{cases}$

Utilizzando le identità di duplicazione e il metodo dell’angolo aggiunto, si ottiene

$\begin{aligned} 2\sin^2x-\sin(2x) &= 1-\cos(2x)-\sin(2x) \\ &= 1-\sqrt{2}\, \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right). \end{aligned}$

Si introduce l’angolo ausiliario

$u=2x+\dfrac{\pi}{4}.$

La prima condizione diventa

$1-\sqrt{2}\sin u>0 \iff \sin u<\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Essa è verificata quando

$\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi <u< \dfrac{9\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$

Sostituendo $u=2x+\frac{\pi}{4}$ , si ricava

$\dfrac{\pi}{4}+k\pi <x< \pi+k\pi.$

Rimane da escludere l’annullamento del logaritmo:

$\begin{aligned} \ln\!\bigl(2\sin^2x-\sin(2x)\bigr)\neq0 &\iff 2\sin^2x-\sin(2x)\neq1 \\ &\iff \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\neq0. \end{aligned}$

All’interno dell’intervallo

$\left( \dfrac{\pi}{4}+k\pi, \pi+k\pi \right)$

vanno esclusi i due valori

$x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi \qquad\text{e}\qquad x=\dfrac{7\pi}{8}+k\pi.$

Si ottiene infine

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left( \dfrac{\pi}{4}+k\pi, \pi+k\pi \right) \setminus \left\{ \dfrac{3\pi}{8}+k\pi, \dfrac{7\pi}{8}+k\pi \right\} \right).}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$

, determinare il dominio naturale $D_f$

nel caso in cui $f$

abbia le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \ln\!\bigl(1-4\cos^2x\bigr); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \ln\!\left( \dfrac{\sin x}{1-2\cos x} \right); \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{ \dfrac{\tan x-1}{\sin x} }; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \sqrt{ \dfrac{\tan x} {\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)} }. \end{aligned}$

Svolgimento punto a)

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo:

$1-4\cos^2x>0.$

Scomponendo la differenza di quadrati, si ottiene

$(1+2\cos x)(1-2\cos x)>0.$

Si studia il segno dei due fattori nel periodo $[0,2\pi)$ . Se ne ricavano gli zeri:

$\begin{aligned} 1+2\cos x=0 &\iff x=\dfrac{2\pi}{3} \lor x=\dfrac{4\pi}{3}, \\[2mm] 1-2\cos x=0 &\iff x=\dfrac{\pi}{3} \lor x=\dfrac{5\pi}{3}. \end{aligned}$

La tabella dei segni è

$\begin{array}[b]{c|ccccccccccc} x &0&&\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{2\pi}{3} &&\dfrac{4\pi}{3}&&\dfrac{5\pi}{3}&&2\pi \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}1+2\cos x &+&+&+&+&0&-&0&+&+&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}1-2\cos x &-&-&0&+&+&+&+&+&0&-&- \\ \hline \rule{0pt}{3.7ex} (1+2\cos x)(1-2\cos x) &-&-&0&+&0&-&0&+&0&-&- \end{array}.$

Nel periodo considerato il prodotto è strettamente positivo per

$x\in \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right).$

Estendendo questi intervalli mediante la periodicità, si trova

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \dfrac{\pi}{3}+k\pi, \dfrac{2\pi}{3}+k\pi \right).}$

Svolgimento punto b)

L’argomento del logaritmo deve essere definito e strettamente positivo. Le condizioni di esistenza sono dunque

$\begin{cases} 1-2\cos x\neq0,\\[2mm] \dfrac{\sin x}{1-2\cos x}>0. \end{cases}$

Nel periodo $[0,2\pi)$ , il numeratore si annulla per

$x=0,\qquad x=\pi,\qquad x=2\pi,$

mentre il denominatore si annulla per

$x=\dfrac{\pi}{3}, \qquad x=\dfrac{5\pi}{3}.$

Si ottiene la seguente tabella:

$\begin{array}[b]{c|ccccccccc} x &0&&\dfrac{\pi}{3}&&\pi &&\dfrac{5\pi}{3}&&2\pi \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}\sin x &0&+&+&+&0&-&-&-&0 \\ \rule{0pt}{2.9ex}1-2\cos x &-&-&0&+&+&+&0&-&- \\ \hline \rule{0pt}{4ex} \dfrac{\sin x}{1-2\cos x} &0&-&\text{n.d.}&+&0&-&\text{n.d.}&+&0 \end{array}.$

La condizione stretta seleziona, nel periodo considerato,

$\left(\dfrac{\pi}{3},\pi\right) \cup \left(\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right).$

Aggiungendo la periodicità, il dominio è

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left( \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, \pi+2k\pi \right) \cup \left( \dfrac{5\pi}{3}+2k\pi, 2\pi+2k\pi \right) \right).}$

Svolgimento punto c)

Il radicando deve essere definito e non negativo. La tangente deve essere definita e il denominatore del quoziente non deve annullarsi:

$\begin{cases} \cos x\neq0,\\[1mm] \sin x\neq0,\\[2mm] \dfrac{\tan x-1}{\sin x}\geq0. \end{cases}$

Nel periodo $[0,2\pi)$ , il numeratore si annulla quando

$\tan x=1,$

ossia per

$x=\dfrac{\pi}{4}, \qquad x=\dfrac{5\pi}{4}.$

La tangente non è definita per

$x=\dfrac{\pi}{2}, \qquad x=\dfrac{3\pi}{2},$

mentre il seno si annulla per

$x=0,\qquad x=\pi,\qquad x=2\pi.$

La tabella dei segni è

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} x &0&&\dfrac{\pi}{4}&&\dfrac{\pi}{2} &&\pi&&\dfrac{5\pi}{4} &&\dfrac{3\pi}{2}&&2\pi \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}\tan x-1 &-&-&0&+&\text{n.d.}&-&-&-&0&+ &\text{n.d.}&-&- \\ \rule{0pt}{2.9ex}\sin x &0&+&+&+&+&+&0&-&-&-&-&-&0 \\ \hline \rule{0pt}{4ex} \dfrac{\tan x-1}{\sin x} &\text{n.d.}&-&0&+&\text{n.d.}&- &\text{n.d.}&+&0&-&\text{n.d.}&+ &\text{n.d.} \end{array}$

Gli zeri del numeratore possono essere inclusi, poiché la disequazione è non stretta; restano invece esclusi gli zeri del seno e i punti di non definizione della tangente. Nel periodo scelto si ha quindi

$x\in \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right] \cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right).$

Estendendo per periodicità, ne segue

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left[ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right) \cup \left( \pi+2k\pi, \dfrac{5\pi}{4}+2k\pi \right] \cup \left( \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, 2\pi+2k\pi \right) \right).}$

Svolgimento punto d)

La tangente deve essere definita, il denominatore del radicando non deve annullarsi e il radicando deve essere non negativo. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è

$\begin{cases} \cos x\neq0,\\[1mm] 2\sin x-\sqrt{2}\neq0,\\[2mm] \dfrac{\tan x} {\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)} \geq0. \end{cases}$

Sotto la condizione $\cos x\neq0$ , è possibile riscrivere il radicando come

$\dfrac{\tan x} {\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)} = \dfrac{\sin x} {\cos^2x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)}.$

Il fattore $\cos^2x$ è strettamente positivo nei punti in cui il radicando è definito e non influisce quindi sul segno del rapporto; tuttavia i suoi zeri devono essere riportati nella tabella come punti di non definizione.

Nel periodo $[0,2\pi)$ si ha:

$\begin{aligned} \sin x=0 &\iff x=0\lor x=\pi\lor x=2\pi, \\[1mm] \cos x=0 &\iff x=\dfrac{\pi}{2} \lor x=\dfrac{3\pi}{2}, \\[1mm] 2\sin x-\sqrt{2}=0 &\iff x=\dfrac{\pi}{4} \lor x=\dfrac{3\pi}{4}. \end{aligned}$

La tabella dei segni è

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} x &0&&\dfrac{\pi}{4}&&\dfrac{\pi}{2} &&\dfrac{3\pi}{4}&&\pi &&\dfrac{3\pi}{2}&&2\pi \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}\sin x &0&+&+&+&+&+&+&+&0&-&-&-&0 \\ \rule{0pt}{2.9ex}\cos^2x &+&+&+&+&0&+&+&+&+&+&0&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}2\sin x-\sqrt{2} &-&-&0&+&+&+&0&-&-&-&-&-&- \\ \hline \rule{0pt}{4ex} \dfrac{\sin x} {\cos^2x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)} &0&-&\text{n.d.}&+&\text{n.d.}&+ &\text{n.d.}&-&0&+&\text{n.d.}&+&0 \end{array}$

La disequazione non stretta ammette gli zeri del numeratore, ma non gli zeri dei fattori al denominatore. Nel periodo considerato il radicando è definito e non negativo per

$\begin{aligned} x\in{}&\{0\}\cup \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right) \\ &{}\cup \left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right). \end{aligned}$

Estendendo per periodicità si ottiene infine

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \begin{aligned} D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \Bigg( &\left( \left( \dfrac{\pi}{4}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \right) \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right\} \right) \ <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4bd653112ba24f6804edbd5366617874_l3.svg" height="365" width="1331" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[-1mm] &{}\cup \left( \left[ \pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi \right] \setminus \left\{ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \right\} \right) \Bigg). \end{aligned}}$$ [/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 19 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \log_{\frac{1}{2}} \!\bigl(\log_2(4-x^2)\bigr); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \dfrac{ \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(1-x)} }{ \log_2(1-x) }; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{\,3^x+3\cdot3^{-x}-3\,}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \ln\!\left(x-\sqrt{1-2x}\right). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> </div> [learn_more caption="Svolgimento punto a)"] Il logaritmo interno deve essere definito e il suo valore, che costituisce l'argomento del logaritmo esterno, deve essere strettamente positivo. Le condizioni di esistenza sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2c73e9eae2bc78c2d3f49fe3d8a8639_l3.svg" height="54" width="141" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} 4-x^2>0,\\[1mm] \log_2(4-x^2)>0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Poiché la funzione logaritmica di base $2$ è strettamente crescente e $\log_2 1=0$, la seconda condizione equivale a <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73d7f6259ef7b9f8a2b3afecdbf62954_l3.svg" height="77" width="300" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \log_2(4-x^2)>0 &\iff 4-x^2>1 \\ &\iff x^2<3 \\ &\iff -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Questa condizione implica già $4-x^2>0$. Si ottiene quindi$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(-\sqrt{3},\sqrt{3}).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto b)"] Il logaritmo che compare sotto radice deve essere definito e non negativo. Il logaritmo posto al denominatore deve inoltre essere definito e diverso da zero. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a92c422d5addc4b8acb7917bc1557b3_l3.svg" height="86" width="138" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} 1-x>0,\\[1mm] \log_{\frac{1}{2}}(1-x)\geq0,\\[1mm] \log_2(1-x)\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La funzione logaritmica di base $\frac12$ è strettamente decrescente. Pertanto <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3095da4d7cde72fe0cfadd1032b6c4a_l3.svg" height="24" width="283" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \log_{\frac{1}{2}}(1-x)\geq0 \iff 0<1-x\leq1, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> da cui <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd8f14b5b11a55c9e00a3f766da4bf7a_l3.svg" height="15" width="79" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 0\leq x<1. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Questa condizione incorpora già l'esistenza dei due logaritmi. Rimane da escludere l'annullamento del denominatore: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f7ca51250382f7e119ffb759a84970c_l3.svg" height="45" width="242" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \log_2(1-x)\neq0 &\iff 1-x\neq1 \\ &\iff x\neq0. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il dominio naturale è dunque$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(0,1).}

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\mathbb{R}.}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] La radice quadrata deve essere definita e l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d540107f27e21fe0d6eb68cee0fda408_l3.svg" height="54" width="145" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} 1-2x\geq0,\\[1mm] x-\sqrt{1-2x}>0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La seconda condizione implica $x>0$, poiché $\sqrt{1-2x}\geq0$. Il sistema impone quindi inizialmente <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dc66bd93840c04744133e7c6ac72c02_l3.svg" height="36" width="83" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 0<x\leq\dfrac12. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Sotto queste condizioni entrambi i membri della disequazione <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3807bdee29b9b66348f4da38764770c3_l3.svg" height="18" width="98" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x>\sqrt{1-2x} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> sono non negativi e allora è possibile elevarli al quadrato conservando l'equivalenza: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf3c56f4aa55baa6d3015b1868f9e87b_l3.svg" height="47" width="276" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} x>\sqrt{1-2x} &\iff x^2>1-2x \\ &\iff x^2+2x-1>0. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il trinomio si annulla per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-239d0c9154d0b25e052a56f9073338a3_l3.svg" height="21" width="286" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x=-1-\sqrt{2} \qquad\text{e}\qquad x=-1+\sqrt{2}, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> e, avendo coefficiente principale positivo, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5776a00e1e44d5272277835570805298_l3.svg" height="19" width="387" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2+2x-1>0 \iff x<-1-\sqrt{2} \lor x>\sqrt{2}-1. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Intersecando con $0<x\leq\frac12$, si conclude che$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left(\sqrt{2}-1,\dfrac12\right].}

$[/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 20 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7aca9d31db0362e48c0ab072c406b4d_l3.svg" height="249" width="243" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{ e^{\frac{x-1}{x}}-1 }; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \dfrac{1} {\left(\log_3x\right)^2+3\log_3x}; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \ln\!\left( x-\sqrt{4-x^2} \right); \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \dfrac{ \sqrt{1-\dfrac{e^2}{x}} }{ \sqrt[5]{x^2-9} }. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> </div> [learn_more caption="Svolgimento punto a)"] L'esponente deve essere definito e il radicando deve essere non negativo. Le condizioni di esistenza sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b91b10ec7d7c0caaf7b5fb4dc00755d_l3.svg" height="54" width="115" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x\neq0,\\[1mm] e^{\frac{x-1}{x}}-1\geq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La funzione esponenziale è strettamente crescente e $e^0=1$. Di conseguenza, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60145350f496eb9d7a143cc34c3f3348_l3.svg" height="36" width="231" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ e^{\frac{x-1}{x}}-1\geq0 \iff \dfrac{x-1}{x}\geq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il numeratore si annulla per $x=1$, mentre il denominatore si annulla per $x=0$. Si studia separatamente il segno dei due fattori e si deduce quello del rapporto con la tabella dei segni: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7adf4f0622b7b0bbb69718f896f87f79_l3.svg" height="133" width="353" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x-1 &-&-&-&0&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x &-&0&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex}\dfrac{x-1}{x} &+&\text{n.d.}&-&0&+ \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La disequazione non stretta include lo zero del numeratore, mentre $x=0$ resta escluso. Si conclude che$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,0)\cup[1,+\infty).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto b)"] Il logaritmo deve essere definito e il denominatore deve essere diverso da zero: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0ded799aa1fe9a0fe8a6945b7672ed9_l3.svg" height="54" width="191" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x>0,\\[1mm] \left(\log_3x\right)^2+3\log_3x\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Raccogliendo $\log_3x$, si ottiene <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e6b0a0e1b471178f15d461bc06fc4b6_l3.svg" height="22" width="171" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \log_3x\bigl(\log_3x+3\bigr)\neq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Occorre quindi imporre simultaneamente <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-825c3daef91aec469d16dd9cc78c83c9_l3.svg" height="17" width="269" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \log_3x\neq0 \qquad\text{e}\qquad \log_3x+3\neq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La prima esclusione fornisce <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-881ffb40c7d8e18ff8e7ae1bd05d83c6_l3.svg" height="17" width="175" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \log_3x\neq0 \iff x\neq1, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> mentre la seconda dà <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84a29a83004c96e1977c0b2ce334cbcd_l3.svg" height="90" width="250" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \log_3x+3\neq0 &\iff \log_3x\neq-3 \\ &\iff x\neq3^{-3} \\ &\iff x\neq\dfrac1{27}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Eliminando questi due valori dall'insieme $x>0$, il dominio naturale è$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \left(0,+\infty\right)\setminus\left\{\dfrac1{27},1\right\}.}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto c)"] La radice quadrata deve essere definita e l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58051e644cb2b837ffefa866154ead1f_l3.svg" height="54" width="144" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} 4-x^2\geq0,\\[1mm] x-\sqrt{4-x^2}>0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La prima condizione equivale a <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f18efcc026d566e83fe0fe6182cafccd_l3.svg" height="15" width="92" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ -2\leq x\leq2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La seconda implica necessariamente $x>0$, poiché $\sqrt{4-x^2}\geq0$. Si può quindi restringere inizialmente lo studio a <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d50f1bda837e705dad8ddd4728190470_l3.svg" height="15" width="79" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 0<x\leq2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> In questo intervallo entrambi i membri della disequazione <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-162c625b9f7ac91a3c2dadd0f482d0a8_l3.svg" height="22" width="100" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x>\sqrt{4-x^2} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> sono non negativi. È dunque possibile elevarli al quadrato conservando l'equivalenza: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-929ba8dda6e6c237e7567890b0f87b20_l3.svg" height="78" width="241" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} x>\sqrt{4-x^2} &\iff x^2>4-x^2 \\ &\iff 2x^2>4 \\ &\iff x^2>2. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Tenendo conto della condizione $x>0$, si ricava <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-180e847978c7a1b656c7a2a7a9fcbda1_l3.svg" height="19" width="61" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x>\sqrt{2}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Intersecando con $x\leq2$, si ottiene$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(\sqrt{2},2].}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] Il radicando al numeratore deve essere definito e non negativo, mentre la radice quinta posta al denominatore deve essere diversa da zero. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0129780fac41c86a5ca5b81d7947de9_l3.svg" height="108" width="100" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x\neq0,\\[1mm] 1-\dfrac{e^2}{x}\geq0,\\[3mm] x^2-9\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si riscrive la seconda condizione come <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95b275f1f6e4dcbc22192538fbe09a4f_l3.svg" height="39" width="128" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 1-\dfrac{e^2}{x} = \dfrac{x-e^2}{x}, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> e si studia quindi la disequazione <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-717b65a827b7390dcb033c858eb44c9c_l3.svg" height="39" width="87" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{x-e^2}{x}\geq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il numeratore si annulla per $x=e^2$, mentre il denominatore si annulla per $x=0$. I segni dei due fattori sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38895f228991043acfd1cda325a4bf4c_l3.svg" height="75" width="369" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x-e^2 \begin{cases} <0 & \text{se }x<e^2,\\ =0 & \text{se }x=e^2,\\ >0 & \text{se }x>e^2, \end{cases} \qquad x \begin{cases} <0 & \text{se }x<0,\\ =0 & \text{se }x=0,\\ >0 & \text{se }x>0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La tabella dei segni è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd2ea073ea73186971eff51ed14c2f4b_l3.svg" height="133" width="376" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,0)&0&(0,e^2)&e^2&(e^2,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x-e^2 &-&-&-&0&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x &-&0&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex}\dfrac{x-e^2}{x} &+&\text{n.d.}&-&0&+ \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La disequazione è quindi verificata per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8bbb04f136a01fdb1ed0036e5964126_l3.svg" height="22" width="185" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\in(-\infty,0)\cup[e^2,+\infty). \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Rimane da imporre <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f35129d0f5c43e53fc931d54d0edfb4_l3.svg" height="21" width="256" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2-9\neq0 \iff x\neq-3 \land x\neq3. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Poiché $3\in(0,e^2)$, il valore $3$ è già escluso dalla disequazione precedente; occorre rimuovere soltanto $x=-3$. Ne segue$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,-3) \cup (-3,0) \cup [e^2,+\infty).}

$[/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 21 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac9c2c7167e0a3e356ef92e1f4d28711_l3.svg" height="208" width="275" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{\ln(1-x)} + \sqrt{x-2}; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \sqrt{\dfrac{\lvert x\rvert}{x-1}} + \sqrt{x^2-9}; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \dfrac{ \sqrt{(x^2-9)(x^2-4)} }{ \ln(x-2) }; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \ln(\cos x) + \sqrt{2\sin x-1}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> </div> [learn_more caption="Svolgimento punto a)"] Il logaritmo deve essere definito e il suo valore, posto sotto radice quadrata, deve essere non negativo. Anche il secondo radicando deve essere non negativo. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9a90d4775db514f321f1dc5a3326318_l3.svg" height="86" width="118" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} 1-x>0,\\[1mm] \ln(1-x)\geq0,\\[1mm] x-2\geq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La seconda condizione si risolve sfruttando la monotonia del logaritmo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8827717363271bfd81230aeca9e5e48b_l3.svg" height="44" width="227" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \ln(1-x)\geq0 &\iff 1-x\geq1 \\ &\iff x\leq0. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Essa implica già $1-x>0$. Il secondo radicale richiede invece <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ace1b103597bba378370f351797020f2_l3.svg" height="15" width="47" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\geq2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Gli insiemi soluzione delle due condizioni non hanno punti in comune: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-042575cfe7ec826d97fd0af0f7f2c1c7_l3.svg" height="19" width="176" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ (-\infty,0]\cap[2,+\infty)=\emptyset. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Non esiste quindi alcun valore reale per cui entrambe le radici siano definite. Si conclude che$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=\emptyset.}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto b)"] I due radicandi devono essere definiti e non negativi. Occorre imporre <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eba1e69c690133d96c0b88b753c41c28_l3.svg" height="108" width="98" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x\neq1,\\[1mm] \dfrac{\lvert x\rvert}{x-1}\geq0,\\[3mm] x^2-9\geq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si studia anzitutto il segno del primo radicando. Il numeratore $\lvert x\rvert$ è positivo per $x\neq0$ e si annulla per $x=0$; il denominatore si annulla per $x=1$. La tabella dei segni è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcec52a2cc729251c651a1c1d47985e7_l3.svg" height="134" width="353" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccc} x &(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}\lvert x\rvert &+&0&+&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x-1 &-&-&-&0&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex} \dfrac{\lvert x\rvert}{x-1} &-&0&-&\text{n.d.}&+ \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Ne risulta <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f3aa42391f073f1e68fc921bba9a796_l3.svg" height="38" width="237" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{\lvert x\rvert}{x-1}\geq0 \iff x=0 \lor x>1. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Per il secondo radicando si ha <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3fa8d7f92b8d3baf09982aabcbca4fd_l3.svg" height="20" width="256" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2-9\geq0 \iff x\leq-3 \lor x\geq3. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Intersecando i rispettivi insiemi soluzione, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a19b1c67f307825053f182096c8829a5_l3.svg" height="22" width="401" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \bigl(\{0\}\cup(1,+\infty)\bigr) \cap \bigl((-\infty,-3]\cup[3,+\infty)\bigr) = [3,+\infty). \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il dominio naturale è dunque$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=[3,+\infty).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto c)"] Il radicando deve essere non negativo; il logaritmo al denominatore deve essere definito e diverso da zero. Le condizioni di esistenza sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8656431e96d54734362a62dcbf86bfc5_l3.svg" height="86" width="174" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} (x^2-9)(x^2-4)\geq0,\\[1mm] x-2>0,\\[1mm] \ln(x-2)\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Per studiare il segno del radicando si considerano separatamente i fattori $x^2-9$ e $x^2-4$. I punti rilevanti sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ddd560ec4ab81e99d139ab54197a22a_l3.svg" height="16" width="196" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ -3,\qquad -2,\qquad 2,\qquad 3. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La tabella dei segni è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c821b8923919bcc4d682799259f3879_l3.svg" height="125" width="661" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccccccc} x &(-\infty,-3)&-3&(-3,-2)&-2 &(-2,2)&2&(2,3)&3&(3,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x^2-9 &+&0&-&-&-&-&-&0&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x^2-4 &+&+&+&0&-&0&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{3.7ex}(x^2-9)(x^2-4) &+&0&-&0&+&0&-&0&+ \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il radicando è quindi non negativo per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5771c4d81c3ef22edc2097b8698309a9_l3.svg" height="19" width="259" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\in (-\infty,-3] \cup [-2,2] \cup [3,+\infty). \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> L'esistenza del logaritmo richiede $x>2$, mentre <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb2669678fe652a887d1489e8636f1f8_l3.svg" height="45" width="227" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \ln(x-2)\neq0 &\iff x-2\neq1 \\ &\iff x\neq3. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> L'intersezione con il dominio del radicando restituisce il semiasse $[3,+\infty)$, dal quale deve essere eliminato il punto $3$. Si ottiene$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=(3,+\infty).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, mentre il radicando deve essere non negativo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75c72523aa73e57620ab4a1491df614a_l3.svg" height="54" width="126" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} \cos x>0,\\[1mm] 2\sin x-1\geq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La seconda condizione equivale a <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8690515b4f28673646deb737887ecd94_l3.svg" height="36" width="75" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x\geq\dfrac12. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si studiano le due condizioni nel periodo fondamentale $[0,2\pi)$. Si ha <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc649541ba4b88756ba3cb3b3212f819_l3.svg" height="43" width="307" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \cos x>0 \iff x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right), \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> mentre <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3d6de85ee33d7b3c04733ca28670aa5_l3.svg" height="42" width="227" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x\geq\dfrac12 \iff x\in \left[ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6} \right]. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Nel periodo considerato, l'intersezione dei due insiemi soluzione è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2e0af078cbc0cc5b2d50c52a53cd2c5_l3.svg" height="33" width="60" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \left[ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2} \right). \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Estendendo mediante la periodicità comune di ampiezza $2\pi$, il dominio naturale risulta$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right).}

$[/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 22 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec3a96605f85a0de616d0722ee7cb87b_l3.svg" height="233" width="295" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \ln\!\left( \dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2} \right); \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)= \dfrac{1}{ \sqrt{\sin x} + \sqrt{1-\tan x} }; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \dfrac{e^x}{ \cos^2x-\sin^2x+\cos^2(2x) }; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \ln\!\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-1 \right). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> </div> [learn_more caption="Svolgimento punto a)"] L'argomento del logaritmo deve essere definito e strettamente positivo. Le condizioni di esistenza sono quindi <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-826b274b7f11860ed8134453ad492930_l3.svg" height="76" width="173" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x\neq0,\\[2mm] \dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2}>0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si fattorizza il numeratore <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-219e0de4ec47d3dee2618bf9ebf50576_l3.svg" height="78" width="291" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} x^3-x^2-x+1 &= x^2(x-1)-(x-1) \\ &= (x-1)(x^2-1) \\ &= (x-1)^2(x+1). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La disequazione assume così la forma <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c9856e761aa43d58ec62dc39d0ee246_l3.svg" height="39" width="155" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x^2}>0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> I punti che suddividono la retta reale negli intervalli di segno costante sono $x=-1$, $x=0$ e $x=1$. La tabella dei segni è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ddd56fa3bd60fc3ab8f45f024ecd4bb_l3.svg" height="161" width="551" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccccc} x &(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty) \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}x+1 &-&0&+&+&+&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}(x-1)^2 &+&+&+&+&+&0&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}x^2 &+&+&+&0&+&+&+ \\ \hline \rule{0pt}{4ex} \dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x^2} &-&0&+&\text{n.d.}&+&0&+ \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La condizione è stretta: gli zeri del numeratore non sono ammessi e $x=0$ è un punto di non definizione. Si ricava$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-1,+\infty)\setminus\{0,1\}.}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto b)"] I due radicandi devono essere non negativi, la tangente deve essere definita e il denominatore complessivo deve essere diverso da zero: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ea84f48a7fe431ae7a9f6006c86e219_l3.svg" height="118" width="204" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} \sin x\geq0,\\[1mm] \cos x\neq0,\\[1mm] 1-\tan x\geq0,\\[1mm] \sqrt{\sin x}+\sqrt{1-\tan x}\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Le due radici quadrate assumono valori non negativi. La loro somma si annulla se e solo se <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7eb17f407199ae03bd3d07554b3dc04a_l3.svg" height="13" width="248" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x=0 \qquad\text{e}\qquad 1-\tan x=0 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> sono verificate simultaneamente. Tuttavia, nei punti in cui $\sin x=0$ si ha $\tan x=0$, e dunque <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e4aa66dd57e856b81e2876b529421af_l3.svg" height="13" width="104" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 1-\tan x=1. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il denominatore non si annulla quindi in alcun punto che soddisfi le altre condizioni. Rimane da risolvere il sistema <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea927500444981569e0f8ad4bdec3f72_l3.svg" height="86" width="88" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} \sin x\geq0,\\[1mm] \cos x\neq0,\\[1mm] \tan x\leq1. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si studiano le condizioni nel periodo $[0,2\pi)$. La prima impone <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-937ebd93f3aaa72fd9aa42a986e3d5bc_l3.svg" height="15" width="81" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 0\leq x\leq\pi. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Nell'intervallo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, la tangente è crescente e <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83a4db430ff3cc0c9c15846dbe6e345c_l3.svg" height="32" width="209" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \tan x\leq1 \iff 0\leq x\leq\dfrac{\pi}{4}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Nell'intervallo $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$, invece, la tangente è negativa e quindi certamente minore di $1$. Nel periodo considerato si ottiene <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a52b2d0805cf1cc7576b46e8f50cbe8_l3.svg" height="33" width="159" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Estendendo per periodicità:$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left[ 2k\pi, \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \right] \cup \left( \dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \pi+2k\pi \right] \right).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto c)"] Il numeratore $e^x$ è definito per ogni $x\in\mathbb{R}$. L'unica condizione di esistenza è che il denominatore sia diverso da zero: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af55a643ecb0bd0eac509e2c7e9f717a_l3.svg" height="22" width="231" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \cos^2x-\sin^2x+\cos^2(2x)\neq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Utilizzando l'identità <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff810e70b923d8f9cb82a79806512126_l3.svg" height="22" width="193" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \cos^2x-\sin^2x=\cos(2x), \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> si ottiene <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a91985ccb324166ed4aa4e53bbae34e9_l3.svg" height="50" width="382" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \cos^2x-\sin^2x+\cos^2(2x) &= \cos(2x)+\cos^2(2x) \\ &= \cos(2x)\bigl(1+\cos(2x)\bigr). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il prodotto è diverso da zero se e solo se entrambi i fattori sono diversi da zero: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3278f7097996c717af593f9327c9703d_l3.svg" height="54" width="136" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} \cos(2x)\neq0,\\[1mm] 1+\cos(2x)\neq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La prima condizione esclude <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ba0184031888fabf41149e425ac38ff_l3.svg" height="75" width="327" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \cos(2x)=0 &\iff 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ &\iff x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La seconda esclude invece <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d435ae302b3632e317cfacca503cf9fa_l3.svg" height="59" width="337" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \cos(2x)=-1 &\iff 2x=\pi+2k\pi \\ &\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il dominio naturale è quindi$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \mathbb{R}\setminus \left\{ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}+k\pi :\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f36d459102c47a9b1aca6391d3d82ff6_l3.svg" height="19" width="187" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x-\sqrt{3}\cos x-1>0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Applicando il metodo dell'angolo aggiunto, si ha <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc87708db852b90c089dc9eb66752d94_l3.svg" height="33" width="255" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x-\sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right). \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La condizione diventa quindi <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72f68636e28920f7cf0d9225187106ad_l3.svg" height="36" width="352" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-1>0 &\iff \sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)>\dfrac12. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La disequazione <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee3935a7bf36721e21f480bbb163fc49_l3.svg" height="36" width="70" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin u>\dfrac12 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> è verificata per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ede4b9bd02b486984babc5c8e848cd7_l3.svg" height="37" width="287" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi <u< \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Ponendo $u=x-\frac{\pi}{3}$, si ricava <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a451319d7d9d92168a2fb8a45f53683_l3.svg" height="37" width="200" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{\pi}{2}+2k\pi <x< \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Il dominio naturale risulta$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi \right).}

$[/learn_more] <div style="padding: 10px; background-color: #ffe4ce;"> Esercizio 23 $ (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar) $. Data la funzione $f:D_f\to\mathbb{R}$, determinare il dominio naturale $D_f$ nel caso in cui $f$ abbia le seguenti espressioni: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c976c71454c087f373c59978a0824e15_l3.svg" height="179" width="257" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \text{a)}\quad& f(x)= \sqrt{\ln\sqrt{x}} + \sqrt{x-2}\,e^x; \\[4mm] \text{b)}\quad& f(x)=\sqrt{\lvert x^2-4x+1\rvert-2}; \\[4mm] \text{c)}\quad& f(x)= \sqrt{\sin(2x)-\cos x}; \\[4mm] \text{d)}\quad& f(x)= \log_{\frac12} \!\bigl(\sin x-\cos(2x)\bigr). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> </div> [learn_more caption="Svolgimento punto a)"] Nel primo addendo il logaritmo deve essere definito e il suo valore, posto sotto radice quadrata, deve essere non negativo. Anche il radicale del secondo addendo deve essere definito. Il sistema completo delle condizioni di esistenza è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21980f2e2e5efaebe292224a286bb816_l3.svg" height="118" width="92" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{cases} x\geq0,\\[1mm] \sqrt{x}>0,\\[1mm] \ln\sqrt{x}\geq0,\\[1mm] x-2\geq0. \end{cases} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La positività dell'argomento del logaritmo richiede $x>0$. Inoltre, per la monotonia del logaritmo, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5dde23cfbbb7124036b340ad8bb1c26b_l3.svg" height="45" width="184" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \ln\sqrt{x}\geq0 &\iff \sqrt{x}\geq1 \\ &\iff x\geq1. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Questa condizione garantisce già l'esistenza della radice interna e la positività dell'argomento del logaritmo. Il secondo radicale impone invece <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ace1b103597bba378370f351797020f2_l3.svg" height="15" width="47" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\geq2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La funzione esponenziale $e^x$ non introduce restrizioni. Intersecando le condizioni rimane$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f=[2,+\infty).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto b)"] Il radicando deve essere non negativo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63d4512fdd335fae208fdec326b3c8d7_l3.svg" height="22" width="164" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \lvert x^2-4x+1\rvert-2\geq 0, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> ossia <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b35e44817761155f53fba950114a7c5d_l3.svg" height="22" width="133" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \lvert x^2-4x+1\rvert\geq 2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Per la definizione di valore assoluto, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2661b07401ecff174d32493842b93c95_l3.svg" height="22" width="474" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \lvert x^2-4x+1\rvert\geq 2 \iff x^2-4x+1\leq -2 \ \lor\ x^2-4x+1\geq 2. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si risolvono separatamente le due disequazioni. Per la prima disequazione si ha <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-763b65b67f87cf63c72931f4b2c4f9e4_l3.svg" height="22" width="507" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2-4x+1\leq -2 \iff x^2-4x+3\leq 0 \iff (x-1)(x-3)\leq 0, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> da cui <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81db746c48ed9d7a1290ca7473fcb14e_l3.svg" height="15" width="78" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 1\leq x\leq 3. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Per la seconda disequazione, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-931fe148e44842535480abcef383955a_l3.svg" height="20" width="299" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2-4x+1\geq 2 \iff x^2-4x-1\geq 0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si considera l'equazione associata per trovare gli zeri del trinomio: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4559f434975d63f0cab2c061cd1b60f_l3.svg" height="17" width="125" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x^2-4x-1 = 0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Applicando la formula risolutiva: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-923d56242b4173762f3f0bb97dde3522_l3.svg" height="40" width="394" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Poiché il coefficiente di $x^2$ è positivo e il verso della disequazione è $\geq$, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delle radici. Pertanto, <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c28eb337fdd888c2786d7e7f82f90611_l3.svg" height="20" width="211" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\leq 2-\sqrt{5} \ \lor\ x\geq 2+\sqrt{5}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Unendo gli insiemi soluzione si ottiene$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= (-\infty,2-\sqrt{5}] \cup [1,3] \cup [2+\sqrt{5},+\infty).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto c)"] Il radicando deve essere non negativo: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2fa5c5ff66b47ed52ddea66e8e6b5f9_l3.svg" height="19" width="149" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin(2x)-\cos x\geq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Utilizzando l'identità <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5de611b7c4f3ede1e79d68b3ca80773_l3.svg" height="19" width="169" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> si ottiene <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b39fc8c6b0e31d48e962ba1aa8660770_l3.svg" height="46" width="282" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \sin(2x)-\cos x &= 2\sin x\cos x-\cos x \\ &= \cos x\,(2\sin x-1). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Occorre quindi risolvere <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dea10374a5f2c45491263bccf6a3e1d_l3.svg" height="19" width="167" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \cos x\,(2\sin x-1)\geq0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Si studia il segno dei due fattori nel periodo $[0,2\pi)$. I loro zeri sono <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-011d78fdfb6caac9bce45067b8df3eee_l3.svg" height="88" width="291" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} 2\sin x-1=0 &\iff x=\dfrac{\pi}{6} \lor x=\dfrac{5\pi}{6}, \\[2mm] \cos x=0 &\iff x=\dfrac{\pi}{2} \lor x=\dfrac{3\pi}{2}. \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> La tabella dei segni è <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8f50f355fc115a88973f1e806923ad8_l3.svg" height="133" width="511" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{array}[b]{c|ccccccccccc} x &0&&\dfrac{\pi}{6}&&\dfrac{\pi}{2} &&\dfrac{5\pi}{6}&&\dfrac{3\pi}{2}&&2\pi \\[5pt] \hline \rule{0pt}{2.9ex}\cos x &+&+&+&+&0&-&-&-&0&+&+ \\ \rule{0pt}{2.9ex}2\sin x-1 &-&-&0&+&+&+&0&-&-&-&- \\ \hline \rule{0pt}{3.7ex} \cos x\,(2\sin x-1) &-&-&0&+&0&-&0&+&0&-&- \end{array}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Nel periodo considerato il prodotto è non negativo per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd0fe19d373db154f2d62a1b3942c85b_l3.svg" height="42" width="186" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ x\in \left[ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2} \right]. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Estendendo mediante la periodicità comune dei fattori si ricava$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \left[ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \right] \right).}

$[/learn_more] [learn_more caption="Svolgimento punto d)"] La base $\frac12$ è ammissibile per il logaritmo. Poiché la base è minore di $1$, la funzione logaritmica è decrescente; la condizione di esistenza resta però invariata: l'argomento deve essere strettamente positivo. Occorre quindi imporre <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bbe2712782206a99ca56ea1d79e741b_l3.svg" height="19" width="149" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x-\cos(2x)>0. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Usando l'identità <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c0e41676b848294bf4537e3fc2d435d_l3.svg" height="22" width="169" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \cos(2x)=1-2\sin^2x, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> l'argomento può essere fattorizzato: <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6882e15b86060163b1dd9d6fc76ec3a_l3.svg" height="48" width="311" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \begin{aligned} \sin x-\cos(2x) &= 2\sin^2x+\sin x-1 \\ &= (2\sin x-1)(\sin x+1). \end{aligned} \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a87d1072d7b605b044b64739fad1d2b_l3.svg" height="16" width="102" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x+1\geq0, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> e questo fattore si annulla soltanto quando $\sin x=-1$, ovvero per $x=\frac32\pi+2k\pi$. L'altro fattore è strettamente positivo se e solo se <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfeb53948bb194a9e5d88a71a5ac7fc0_l3.svg" height="16" width="113" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ 2\sin x-1>0, \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> ossia <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25a56526c5a56df5023412b2d9ce49a6_l3.svg" height="36" width="75" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \sin x>\dfrac12. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> In ogni periodo di ampiezza $2\pi$, la disequazione è verificata per <img src="https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50e56552e71b908f46a8518e2727ef52_l3.svg" height="37" width="287" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Osservando che questi intervalli escludono già i valori $x=\frac32\pi+2k\pi$, si ottiene il dominio naturale$

\boxcolorato{analisi}{\displaystyle D_f= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left( \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \right).}

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – Volume 1.

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

[/pms-restrict]

Alessio Fulvi

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

Prova domini università

Sommario

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Autori e revisori

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Notazioni

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Introduzione

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Domini di espressioni reali: richiami di teoria

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Espressioni, funzioni e dominio naturale

Come si determina il dominio naturale

Vademecum delle condizioni di esistenza

Soluzioni periodiche

Strumenti per risolvere le condizioni di esistenza

Tabella riassuntiva

Domini di espressioni reali: esercizi

Svolgimento punto a)

Svolgimento punto b)

Svolgimento punto c)

Svolgimento punto d)

Svolgimento punto a)

Svolgimento punto b)

Svolgimento punto c)

Svolgimento punto d)

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Svolgimento punto d)

Riferimenti bibliografici

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni

Densità dei numeri razionali nei numeri reali

Insiemi numerici: teoria

Polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti: istruzioni per l’uso