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Teoremi di De L’Hôpital: esercizi misti sui limiti

Teorema di De L'Hôpital

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I teoremi di De L’Hôpital sono un importante e utile strumento dell’Analisi Matematica, sia teorico, nella dimostrazione di altri teoremi, sia pratico, per la risoluzione di forme indeterminate altrimenti difficilmente trattabili.

In questo articolo proponiamo 21 esercizi completamente risolti mediante l’utilizzo dei teoremi, di diversa difficoltà, che integrano inoltre diverse tecniche e mostrano come la loro combinazione possa diventare un efficace mezzo per giungere alla soluzione di un problema.

La raccolta è dunque indicata sia per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 che vogliono allenare la loro preparazione in vista dell’esame, sia a chi semplicemente desidera approfondire le potenzialità di questo interessante strumento.
Auguriamo quindi a tutti una buona lettura!

Consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su argomenti correlati:

La teoria di riferimento può essere reperita ai seguenti link, estratti dalla lista completa situata alla fine dell’articolo:

 

Autori e Revisori

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Autore: Giulio Pecorella.

Revisori: Luigi De Masi, Valerio Brunetti, Matteo Talluri.


 

Notazioni

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\mathbb{Z}
Insieme dei numeri interi
\mathbb{R}
Insieme dei numeri reali
(a,b)
Intervallo aperto di estremi a,b
[a,b]
Intervallo chiuso di estremi a,b

\[\quad\]


 

Introduzione

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In questa dispensa vengono usati i teoremi di de L’Hôpital nello studio di alcune forme indeterminate del tipo \left[\frac{0}{0}\right] e \left[\frac{\infty}{\infty}\right]. Vengono inoltre mostrati alcuni casi in cui i teoremi non sono applicabili, e si mostra come affrontare questi casi. La dispensa è così organizzata:  

  1. La sezione 1 è dedicata ad un breve richiamo sui teoremi.
  2. La sezione 2 riporta una serie di esercizi di difficoltà crescente con le relative risoluzioni.

Alla fine della dispensa sono presenti alcuni riferimenti bibliografici sull’argomento.

 

Richiami di teoria

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In questa sezione riportiamo due versioni del teorema di de L’Hôpital, le altre sono ottenibili da queste tramite facili manipolazioni algebriche e cambi di variabile. Per una trattazione completa con annesse dimostrazioni si rimanda il lettore a [3].

Teorema 1 ( de L’Hôpital, caso \left[\frac{0}{0}\right] ). Siano a,b\in \mathbb{R}, a<b, x_0\in[a,b] e siano f,g\colon (a,b)\setminus \{x_0\} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in (a,b)\setminus \{x_0\} tali che:

 

  1. \displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0;

    2.  

  2. g'(x)\neq 0\;\; \forall x \in (a,b)\setminus \{x_0\};

    3.  

  3. esiste

    (1) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}. \end{equation*}

Allora

(2) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell. \end{equation*}

 

Facciamo alcune osservazioni:

  • Il teorema 1 si generalizza al caso in cui x_0=\pm\infty. Infatti, supponiamo che f,g \colon (b,+\infty) \to \mathbb{R} soddisfino le ipotesi del teorema 1 con +\infty al posto di x_0. A meno di restringere il dominio di f e g, possiamo assumere che b>0. Consideriamo le funzioni \tilde{f},\tilde{g} \colon \left (0, \frac{1}{b} \right) \to \mathbb{R} definite da

     

    (3) \begin{equation*} \tilde{f}(x) = f \left ( \frac{1}{x} \right ), \quad \tilde{g}(x) = g \left ( \frac{1}{x} \right ), \qquad \forall x \in \left (0, \frac{1}{b} \right). \end{equation*}

    Si verifica facilmente che \tilde{f},\tilde{g} soddisfano le ipotesi del teorema 1 con x_0=0. Infatti, ad esempio si ha

    (4) \begin{equation*} \lim_{t \to 0^+} \frac{\tilde{f}'(t)}{\tilde{g}'(t)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-f'\left ( \frac{1}{t} \right ) \frac{1}{t^2}}{-g'\left ( \frac{1}{t} \right )\frac{1}{t^2}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f'\left ( \frac{1}{t} \right ) }{g'\left ( \frac{1}{t} \right )} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} =\ell, \end{equation*}

    dove nella penultima uguaglianza si è usato il cambiamento di variabile t=\frac{1}{x}. Quindi, applicando il teorema 1 alle funzioni \tilde{f},\tilde{g} in 0 si ottiene la conclusione anche su f,g, in quanto, di nuovo per il cambiamento di variabili t=\frac{1}{x}, vale

    (5) \begin{equation*} \ell = \lim_{t \to 0} = \frac{\tilde{f}(t)}{\tilde{g}(t)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}. \end{equation*}

  • Nel caso in cui il limite del rapporto delle derivate ci dia ancora una forma indeterminata, possiamo applicare il teorema alle derivate: ipotizziamo infatti che

    (6) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \end{equation*}

    sia ancora una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]. Se f' e g' verificano le prime due ipotesi del teorema 1, possiamo provare nuovamente ad applicarlo e calcolare

    (7) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f''(x)}{g''(x)}. \end{equation*}

    Se tale limite non è una forma indeterminata, allora per il teorema 1 coinciderà col valore del limite (6), che sempre per il teorema 1 coincide con il limite del rapporto f/g. Se invece il limite (7) è ancora una forma indeterminata, si può ancora provare ad applicare il teorema, passando alle derivate terze e via dicendo.

    Enunciamo quindi il caso in cui la forma indeterminata sia del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right].

    Teorema 2 (de L’Hôpital, caso \left[\frac{\infty}{\infty}\right]). Siano a,b\in \mathbb{R},a<b, x_0\in[a,b] e siano f,g\colon (a,b)\setminus \{x_0\} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in (a,b)\setminus \{x_0\} tali che:

     

    1. \displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty;

      2.  

    2. g'(x)\neq 0\;\; \forall x \in (a,b)\setminus \{x_0\};

      3.  

    3. esiste

      (8) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}. \end{equation*}

        4. Allora

        (9) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell. \end{equation*}

     

    Valgono le stesse osservazioni fatte nel caso della forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali valori dei parametri a \neq 0 e b>0 vale la formula

(10) \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{a\left(1-\cos (x)\right)-2x^b}{x^2}=0. \end{equation*}

Svolgimento.

Ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]. Consideriamo quindi le funzioni f,g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definite da

(11) \begin{equation*} f(x)=a(1-\cos(x))-2x^b,\qquad g(x)=x^2\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Queste funzioni sono derivabili con derivata

(12) \begin{equation*} f'(x)=a\sin(x)-2bx^{b-1},\qquad g'(x)=2x\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Se calcoliamo il limite del rapporto delle derivate, otteniamo che se b>2

(13) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{a\sin(x)-2bx^{b-1}}{2x}=\frac{a}{2}, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato il limite notevole

(14) \begin{equation*} \lim\limits_{t \to 0^+}\frac{\sin(t)}{t}=1. \end{equation*}

In particolare osserviamo che non esiste alcun valore di a\neq 0 per cui il limite (13) sia pari a 0. Per lo stesso motivo si ha

(15) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0}\frac{a\sin(x)-4x^{b-1}}{2x}=-\infty, \end{equation*}

se b<2, invece se b=2 si ha

(16) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0}\frac{a\sin(x)-2bx^{b-1}}{2x}=\frac{a}{2}-b=\frac{a}{2}-2. \end{equation*}

Quindi, se a=4 e b=2, per il teorema 1 si ha

(17) \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{a\left(1-\cos (x)\right)-2x^b}{x^2}=0 . \end{equation*}

 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si calcoli, se esiste, il seguente limite, applicando il teorema di de L’Hôpital:

(18) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 1}\frac{\log(2x^2-1)}{x^3-1}. \end{equation*}

Svolgimento.

Ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]. Volendo analizzare il limite per x \to 1, consideriamo le funzioni f,g\colon \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right)\to \mathbb{R} definite da

(19) \begin{equation*} f(x)=\log(2x^2-1),\qquad g(x)=x^3-1\qquad \forall x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right). \end{equation*}

Notiamo che tali funzioni sono derivabili con derivate

(20) \begin{equation*} f'(x)=\frac{4x}{2x^2-1},\qquad g'(x)=3x^2\qquad \forall x \in\left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right). \end{equation*}

Osserviamo che g'(x)\neq 0 per ogni x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right). Un calcolo diretto ci dice che il limite del rapporto delle derivate è

(21) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim\limits_{x\to 1}\frac{4x}{2x^2-1}\frac{1}{3x^2}=\frac{4}{3}. \end{equation*}

Per il teorema 1 tale valore è quindi pari al valore del limite iniziale. Quindi si ha che

(22) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln(2x^2-1)}{x^3-1}=\frac{4}{3}. \end{equation*}

Osserviamo che possiamo ottenere lo stesso risultato senza applicare il teorema 1, ma applicando il limite notevole del logaritmo. Infatti, con il cambio di variabile y=x-1 il limite diventa

(23) \begin{equation*} \lim\limits_{y\to 0} \frac{\log(1+2y^2+4y)}{y^3+3y^2+3y}=\lim\limits_{y\to 0} \frac{\log(1+2y^2+4y)}{2y^2+4y}\frac{2y^2+4y}{y^3+3y^2+3y}=\frac{4}{3}, \end{equation*}

dove abbiamo applicato il limite notevole del logaritmo

(24) \begin{equation*} \lim\limits_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1. \end{equation*}

 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si calcoli, se esiste, il seguente limite, applicando il teorema di de L’Hôpital:

(25) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{\mathrm{e}^{\tan{(x)}}}{\tan{(x)}}. \end{equation*}

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