Limiti di successioni – Esercizi misti 2

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In questa raccolta presentiamo 33 esercizi sui limiti di successioni, da affrontarsi con tecniche di carattere vario. Gli esercizi sono completamente risolti e offrono un’ampia panoramica sulle tecniche disponibili in questo settore. La raccolta è pertanto particolarmente indicata per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica e per gli appassionati.

Segnaliamo le seguenti ulteriori raccolte di esercizi

e la teoria di riferimento nella cartella di Teoria sulle successioni.

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa offre una serie di esercizi sullo studio di successioni reali, con un livello di difficoltà che varia dal medio all’avanzato. Gli esercizi proposti richiedono l’impiego di tecniche specifiche, richiamate all’inizio della dispensa. Tra gli strumenti principali usati per la risoluzione si trovano il teorema di Stolz-Cesaro, le approssimazioni di Stirling e il metodo delle somme di Riemann. Alcuni esercizi necessitano di manipolazioni algebriche ah hoc, mirate a semplificare le successioni e ottenere i risultati. Il calcolo dei limiti delle successioni rappresenta uno degli argomenti più complessi nei corsi di Analisi e questa dispensa offre un quadro esaustivo delle principali tecniche per affrontare i problemi più comuni. È inoltre disponibile una dispensa complementare, dedicata esclusivamente allo studio delle successioni asintotiche, fornendo ulteriori strumenti per la risoluzione di problemi avanzati.

Autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.

Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.

Richiami di teoria

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Definizione 1 (successione). Una successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori reali è una funzione

(1) $\begin{equation*} \begin{aligned} a \colon \mathbb{N} & \to \mathbb{R}\\ n & \mapsto a_n=a(n). \end{aligned} \end{equation*}$

Solitamente, l’immagine $a(n)$ viene indicata col simbolo $a_n$ ed è detta termine $n$ -esimo della successione. Quando non vi sia possibilità di equivoco, una successione si denoterà semplicemente indicando il suo termine generale $a_n$ .

Definizione 2 (successioni monotone). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a valori in $\mathbb{R}$ . Diremo che

$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è crescente se $a_{n+1}\geq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è strettamente crescente se $a_{n+1}> a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è decrescente se $a_{n+1}\leq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è strettamente decrescente se $a_{n+1}< a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

La successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è detta monotona se rientra in uno dei casi precedenti.

Definizione 3 (limiti di successioni). Sia $a_n$ una successione reale e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $a_n$ ha limite $\ell$ oppure tende a $\ell$ se, per ogni intorno $I$ di $\ell$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(2) $\begin{equation*} a_n \in I \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(3) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n=\ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} \ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \to \ell. \end{equation*}$

Se $\ell \in \mathbb{R}$ , $a_n$ si dice convergente a $\ell$ . Se $\ell=0$ , $a_n$ si dice anche infinitesima.
Se $\ell \in \{-\infty,+\infty\}$ , $a_n$ si dice divergente a $\ell$ .

Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari, mentre le successioni che non ammettono limite si dicono non regolari.

Teorema 4 (unicità del limite). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione tale che

$\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}; \end{equation*}$

allora tale limite è unico.

Teorema 5 (prodotto di successioni limitate per infinitesime). Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni tali che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0 \end{equation*}$

e $b_n$ limitata. Allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n\cdot b_n=0. \end{equation*}$

Teorema 6 (del confronto). Siano $a_n, b_n, c_n$ successioni, si supponga che esista $N_1\in\mathbb{N}$ tale che

(4) $\begin{equation*} a_n \leq b_n \leq c_n, \;\;\; \forall n \geq N_1 \end{equation*}$

e che valga

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \ell \in \mathbb{R}.$

Allora

$\lim_{n \to \infty} b_n = \ell .$

Teorema 7 (del confronto: $\ell=\pm \infty$ ). Siano $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ due successioni e supponiamo che esista $N_1 \in \mathbb{N}$ tale che

(5) $\begin{equation*} a_n \leq b_n \qquad \forall n \geq N_1. \end{equation*}$

Se $a_n \to +\infty$ , allora $b_n \to + \infty$ .
Se $b_n \to - \infty$ , allora $a_n \to - \infty$ .

Proposizione 8 (del confronto: $\ell=\pm \infty$ ). Si ha

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{x}{n}\right )^n=e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Inoltre, se $x>0$ , la successione $\left (1+\frac{x}{n}\right )^n$ è crescente.

Teorema 9 (criterio del rapporto). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a termini positivi tale che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell. \end{equation*}$

Allora

se $\ell>1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,$
se $\ell<1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.$

Teorema 10 (criterio della radice). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a termini positivi tale che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\ell. \end{equation*}$

Allora

se $\ell>1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,$
se $\ell<1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.$

Definizione 11 (successioni asintotiche). Due successioni $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ di numeri reali con $b_n\neq 0$ definitivamente, si dicono asintotiche se

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}$

In tal caso scriverempo che $a_n\sim b_n$ per $n\rightarrow +\infty$ .

Teorema 12 (proprietà delle successioni asintotiche). Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni; allora valgono le seguenti proprietà:

se $a_n\sim b_n$ e $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell\in\mathbb{R}$ , allora $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\ell\in\mathbb{R}$ .
Se $a_n\sim b_n$ e $b_n\sim c_n$ , allora $a_n\sim c_n$ .
(Principio di sostituzione) Siano $a_n, b_n, c_n\neq 0$ definitivamente; se $a_n\sim b_n$ , allora per ogni successione $c_n$ si ha
$\begin{equation*} a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n,\qquad\frac{a_n}{c_n}\sim \frac{b_n}{c_n},\qquad\frac{c_n}{a_n}\sim\frac{c_n}{b_n}. \end{equation*}$

Teorema 13 Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni tali che

$b_n>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ ;
$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n} b_k=+\infty$ ;
$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell\qquad\ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\}.$

Allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}=\ell. \end{equation*}$

Teorema 14 (Stolz-Cesaro). Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni di numeri reali. Se

$b_n>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ ,
$b_n$ è strettamente crescente,
$b_n$ è illimitata,
esiste $\ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\}$ tale che
$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell, \end{equation*}$

allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell. \end{equation*}$

Corollario 15. Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione positiva tale che $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=\ell\in [0;\infty)\cup\{+\infty\}$ . Allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_k}=\ell. \end{equation*}$

Corollario 16. Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione positiva. Se la successione $\left\{\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ è regolare, anche la successione $\left\{\sqrt[n]{a_n}\right\}$ è regolare e si ha

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}. \end{equation*}$

Lemma 17. Sia $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una funzione continua, allora vale

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx. \end{equation*}$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite di successione se esiste:

$\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\displaystyle\prod_{k\ge1} \left( \dfrac{2k^2+k}{2k-1} \right)}{n!5n}.$

Svolgimento.

Si osserva che:

$\prod_{k=1}^n \dfrac{2k^2+k}{2k-1} = \prod_{k=1}^n \dfrac{k(2k+1)}{(2k-1)}=n! \left(\dfrac{3}{1} \right)\left(\dfrac{5}{3} \right)\left(\dfrac{7}{5} \right) \left(\dfrac{9}{7} \right)\dots (2n+1)=n!(2n+1).$

Dimostriamo tale identità applicando il principio di induzione.

Base induttiva per $n=1$ , si ha $3=3$ e quindi è dimostrata.

Passaggio induttivo per $n+1$ avendo l’ipotesi induttiva per $n$ :

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n+1} \dfrac{2k^2+k}{2k-1} & = \dfrac{2(n+1)^2+(n+1)}{2(n+1)-1}\cdot \prod_{k=1}^{n} \left( \dfrac{2k^2+k}{2k-1} \right) \overset{*}{=}\\ & \overset{*}{=} \dfrac{(n+1)(2n+3)}{2n+1} \cdot n!(2n+1) = \\ & = (n+1)n! \, (2n+3) = (n+1)! \, (2n+3) \end{aligned} \end{equation*}$

dove in $*$ abbiamo utilizzato l’ipotesi induttiva.

Il passaggio induttivo è verificato, quindi possiamo usare l’identità:

$\prod_{k=1}^n \left( \dfrac{2k^2+k}{2k-1} \right)=n!(2n+1).$

Tornando al limite:

$\lim_{n} \dfrac{\displaystyle\prod_{k>1}\left( \dfrac{2k^2+k}{2k-1} \right)}{n!5n}= \lim_{n} \dfrac{2n+1}{5n} =\dfrac{2}{5}.$

Concludiamo dunque

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n} \dfrac{\displaystyle\prod_{k>1}\left( \dfrac{2k^2+k}{2k-1} \right)}{n!5n}=\dfrac{2}{5}. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

$\lim_{n}\dfrac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+... +\frac{1}{n}}{\ln n}.$

Svolgimento.

Applichiamo il teorema di Stolz-Cesàro:

(8) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\lim_{n} \dfrac{\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} \right)-\left( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}\right)}{\ln n-\ln(n-1)}=\\ &=\lim_{n}\dfrac{\frac{1}{n}}{\ln \left(\frac{n}{n-1} \right)}= \lim_{n} \dfrac{\frac{1}{n}}{-\ln \left(\frac{n-1}{n} \right)}=\lim_{n}\dfrac{\frac{1}{n}}{-\ln \left(1-\frac{1}{n} \right)}\\ &=\lim_{n}\dfrac{1}{\ln \left(1-\frac{1}{n} \right)^{-n}}=\dfrac{1}{\ln e}=1. \end{aligned} \end{equation*}$

Concludiamo dunque

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n}\dfrac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+... +\frac{1}{n}}{\ln n}=1. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste

$\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\sum_{k=1}^n \, \log k}{n \log n}.$

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