Teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze

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Cosa affermano i teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze?

Dalla teoria delle derivate e dell’integrazione, discende che tali operazioni “commutano” con la somma di un numero fissato di funzioni: la derivata e l’integrale della somma di funzioni è pari alla somma delle derivate e degli integrali di ognuna delle funzioni. È naturale chiedersi se si possano stabilire analoghe proprietà per le serie di funzioni, ossia per somme infinite di funzioni.

• Sotto quali ipotesi la somma di una serie di funzioni è derivabile e la sua derivata è pari alla serie delle derivate ?

 

• In quale caso è integrabile e si può concludere che il suo integrale è pari alla serie degli integrali delle funzioni ?

Tali domande sono state ad esempio indagate nella sezione 4 di Serie di funzioni – Teoria, basandosi sull’estensivo studio effettuato nelle sezioni 2.1 e 2.2 di Successioni di funzioni – Teoria.

In questo articolo vogliamo occuparci di quali risposte particolari assumano le medesime domande relativamente alle serie di potenze. Le serie di potenze possiedono proprietà speciali: la convergenza in un solo punto implica quella totale e uniforme in un intero intervallo. È dunque ragionevole aspettarsi che, anche in relazione alle precedenti domande, le serie di potenze riservino delle sorprese.

Vedremo infatti che, all’interno del raggio di convergenza, le serie di potenze possono essere derivate (infinite volte) e integrate, e che derivata e integrale della funzione somma si ottengono rispettivamente dalla somma delle derivate e dell’integrale di ciascun termine. Mostriamo poi alcuni esempi di applicazione di tali risultati, e come essi possano portare a determinare esplicitamente la somma di alcune serie.