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Teorema di Abel per le serie di potenze

Teoria Serie di potenze

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Autori e revisori

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Introduzione

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Cosa afferma il teorema di Abel per le serie di potenze?

Consideriamo una serie di potenze \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k centrata in x_0. È abbastanza facile dimostrare (lemma 2.2 di Serie di potenze – Teoria) che la convergenza della serie in x_1>x_0 assicura la convergenza uniforme negli intervalli [x_0,t] per t <x_1, implicando la continuità della funzione somma S nell’intervallo aperto [x_0 ,x_1) e conducendo quindi alla nozione di raggio di convergenza. Tale analisi lascia però due domande aperte.

\[\quad\]

  1. Cosa si può dire della convergenza uniforme nell’intervallo chiuso [x_0,x_1] e della continuità della funzione somma S in x_1?

    2.  

  2. Se la somma della serie in x_1 è infinita, cosa si può affermare del limite \lim_{x \to x_1} S(x)?

I due teoremi che presentiamo in questo articolo, dovuti al matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), rispondono rispettivamente alle precedenti questioni.

\[\quad\]

  1. Il primo teorema di Abel afferma che, se \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x_1-x_0)^k è convergente, allora la serie di potenze converge uniformemente nell’intero intervallo chiuso [x_0,x_1] e, di conseguenza, la somma della serie è una funzione continua in tale intervallo.

    2.  

  2. Il secondo teorema di Abel assicura che, qualsiasi sia il valore della somma \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x_1-x_0)^k, esso coincide col limite della somma S(x) per x \to x_1.

 
 

Convergenza uniforme agli estremi dell’intervallo di convergenza: primo teorema di Abel

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